Un rangement hypothétique
Problème D334 de Diophante.
Proposé par Michel Lafond
Peut-on mettre un parallélépipède de dimensions 4 x 5 x 18 dans le cube de côté 15 ? Solution
La réponse est oui ! Le parallélépipède P de dimensions 4 x 5 x 18 peut être disposé dans le cube C de côté 15, de telle manière que les faces de dimensions 4 x 18 soient dans des plans parallèles, à distance 2,5, d’un plan diagonal de C.
En effet, les coupes de C par ces plans sont des rectangles de hauteur 15 et de largeur 15√2 – 5 (16,2132 …), dans lesquels, on peut loger un rectangle R de cotés 4 et 18 (en rose), comme dans la figure ci-dessous à droite.
Le cercle tracé a pour rayon
√85, valeur de la demi-diagonale de R. Il coupe AS en U et BS en V et nous constatons que ces deux points sont distants de plus de 4.
Par Pythagore, on calcule : AU = 4,391 … et BV = 5,361 …
D’où US = 3,1 et VS = 2,7 (par défaut) et enfin :
US2 + VS2 = 16,9 > 42.
Il y a un peu de jeu et P peut-être totalement à l’intérieur de C.
V S
U B
A O
