sont tous des nombres d’Achille

A382. Achille est fort ***

Un nombre entiern est dit « puissant » si pour chaque facteur premierp de cet entier,p² est aussi un diviseur den.

Un nombre d’Achille⁽¹⁾est un entier puissant sans être une puissance parfaite.

Par exemplen=72=2³×3²est un nombre d’Achille maisn=216=2³×3³ne l’est pas car 216=6³. ϕ(n) étant la fonction indicatrice d’Euler den, c’est-à-dire le nombre d’entiers strictement positifs infé- rieurs ou égaux ànet premiers avecn, un nombre d’Achillenest dit « fort » jusqu’au degréksi les entiers successifsϕ(n),ϕ⁽²⁾(n)=ϕ(ϕ(n)), ...,ϕ^(k)(n)=ϕ(ϕ(...ϕ(ϕ(n)))) sont tous des nombres d’Achille.

Q1 Recenser les nombres d’Achille62019.

Q2 Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.

Q3 Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 10⁷.

(1)Nota: Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puis- sants, mais pas parfaits.

Solution de Claude Felloneau

Q₁ Il y a 22 nombres d’Achille qui sont inférieurs à 2019 :

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000

Il est clair que les nombres d’Achille sont les entiers de la formep₁^α1p₂^α2...p^α_k^k vérifiant les 3 conditions suivantes :

— p₁,p₂, ...,p_kest une liste strictement croissante d’entiers premiers,

— pour touticompris entre 1 etk,αi>^2,

— PGCD(α1,α2, ...,αk)=1

On peut obtenir la liste cherchée avec un programme ou à la main.

Comme (2×3×5×7)²>2019,k6^3.

— Pourk=3, comme (3×5×7)²>2019,p1=2. Or 3²×5²=225 donc 2^α16^{8 d’où}α16^3.

Le plus petit nombre d’Achille avecα1 =2 est 2²×3³×5²=2700>2019 donc α1>3. Donc α1=3. Le plus petit est alors 2³×3²×5²=1800 et le suivant est 2³×3³×5²qui est strictement supérieur à 2019.

— Pourk=2, ceux qui sont inférieurs à 2019 sont :

Avec le facteur 2²: 2²×3³=108, 2²×3⁵=972, 2²×5³=500, 2²×7³=1372 Avec le facteur 2³: 2³×3²=72, 2³×3⁴=648, 2³×3⁵=1944, 2³×5²=200,

2³×7²=392, 2³×11²=968, 2³×13²=1352 Avec le facteur 2⁴: 2⁴×3³=432, 2⁴×5³=2000,

Avec le facteur 2⁵: 2⁵×3²=288, 2⁵×3³=864, 2⁵×5²=800, 2⁵×7²=1568, Avec le facteur 2⁷: 2⁷×3²=1152

Sans le facteur 2 : 3²×5³=1125, 3³×5²=675, 3³×7²=132 Q2 Les entiers inférieurs à 2019 qui sont forts jusqu’au premier degré sont :

500, 864, 1944 et 2000.

Sinun entier fort jusqu’au premier degré, inférieur ou égal à 2019 tel quen=p^α₁¹p^α₂²...p_k^αkavecp1,p2, ...,pk

premiers tels quep₁<p₂<...<p_ket pour touti,αi>^{1, on a}

ϕ(n)=p^α₁¹⁻¹p^α₂²⁻¹...p^α_k^k−1(p1−1)(p2−1)...(p_k−1)

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et l’exposant depk dans la décomposition deϕ(n) en facteurs premiers estαk−1. Il est donc nécessaire queαk>^3.

D’aprèsQ₁,k=2.

Commeϕ(1125)=ϕ¡ 3²×5³¢

=3×5²×4=2²×3×5²n’est pas un nombre d’Achille, d’aprèsQ1on ap1=2.

ϕ(n)=2^α1−1p^α₂²⁻¹(p2−1) avecα2>^3.

ϕ(n) est un nombre d’Achille inférieur à 2019. Il est impossible qu’il soit divisible par 3 facteurs premiers distincts sinon, d’aprèsQ1, on auraitϕ(n)=1800 doncp2égal à 3 ou 5 doncp2−1 serait une puissance de 2 etϕ(n)=2^αp^α₂²⁻¹n’aurait que 2 facteurs premiers.

Ainsiϕ(n) n’a que 2 facteurs premiers et commep₂ne divise pasp₂−1,p₂−1 est une puissance de 2 et, compte tenu deQ1,p2=3 oup2=5.

Réciproquement,

- sin=2^α13^α2 est un nombre d’Achille avecα2>3,ϕ(n)=2^α13^α2−1est un nombre d’Achille si et seule- ment si PGCD(α1,α2−1)=1. Compte tenu deQ1, les seuls qui conviennent sont 2³3⁵=1944 et 2⁵3³=864.

- sin =2^α15^α2 est un nombre d’Achille avec α2 >^3, ϕ(n)=2^α1+15^α2−1 est un nombre d’Achille si et seulement si PGCD(α1+1,α2−1)=1. Compte tenu deQ₁, les seuls qui conviennent sont 2²5³=500 et 2⁴5³=2000.

Q₃ Il y a 32 nombres d’Achille forts jusqu’au 3^edegré :

12500=2²5⁵, 31104=2⁷3⁵, 93312=2⁷3⁶, 200000=2⁶5⁵, 497664=2¹¹3⁵, 500000=2⁵5⁶, 605052=2²3²7⁵, 629856=2⁵3⁹, 800000=2⁸5⁵, 1250000=2⁴5⁷, 1492992=2¹¹3⁶, 1815156=2²3³7⁵, 1990656=2¹³3⁵, 2000000=2⁷5⁶, 2278125=3⁶5⁵, 2420208=2⁴3²7⁵, 3125000=2³5⁸, 3341637=n=3²13⁵, 3630312=2³3³7⁵, 3796875=3⁵5⁶, 4026275=n=5²11⁵, 4478976=2¹¹3⁷, 5000000=2⁶5⁷, 5445468=2²3⁴7⁵, 5679428=2²17⁵, 5971968=2¹³3⁶, 6075000=2³3⁵5², 6834375=3⁷5⁵, 7812500=2²5⁹, 8470728=2³3²7⁶, 9112500=2²3⁶5⁵, 9680832=2⁶3²7⁵

Preuve :

Soitn=p^α₁¹p^α₂²...p^α_k^k avecp₁,p₂, ...,p_kpremiers tels quep₁<p₂<...<p_ket pour touti,αi>1.

On suppose quenest fort jusqu’au 3^edegré.

L’exposant dep_kdans la décomposition deϕ⁽³⁾(n) en facteurs premiers estαk−3. Commeϕ⁽³⁾(n) est un nombre d’Achille,αk>5.

Comme 2²3²5²7⁵>10⁷,k63. De plus,nn’étant pas une puissance,k>^2.

• Pourk=3 on a 2²3²13⁵>10⁷doncp_k611.

- Sip3=11, 5 diviseϕ(n) donc l’un despiest 5. Or 2²5²11⁵>10⁷donc c’est impossible.

- Sip3=7, on an=2^α13^α27^α3avecα1>^2,α2>^{2 et}α3>5 : en effet, si 5 divisen, 5 diviseϕ⁽³⁾(n) donc 5²diviseϕ⁽³⁾(n) d’où 5⁵divisenetn>⁵⁵⁷⁵>10⁷.

En écartant les puissances parfaites, on en déduit la liste des valeurs possibles den: 2²3²7⁵, 2²3³7⁵, 2²3⁴7⁵, 2³3²7⁵, 2³3²7⁶, 2³3³7⁵, 2⁴3²7⁵, 2⁵3²7⁵, 2⁶3²7⁵ Parmi ces valeurs, il faut encore écarter 2³3²7⁵et 2⁵3²7⁵pour lesquelsϕ(n) est un carré. Les autres conviennent.

- Sip₃=5 alorsn=2^α13^α25^α3avecα1>2,α2>5 (car 3 diviseϕ⁽³⁾(n)) etα3>5.

On en déduit que les entiersn qui conviennent sont 2²3⁶5⁵et 2³3⁵5². On écarte 2²3⁵5⁵ pour lequelϕ(n)=2⁴3⁴5⁴est un carré.

• Pourk=2, comme 2²23⁵>10⁷on ap26^19.

- Sip2=19 on obtientn=2²19⁵etϕ(n)=2²3²19⁴qui est un carré. Pas de solution dans ce cas.

- Sip₂=17 on an=2²17⁵. On vérifie qu’il convient.

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- Sip2=13 alors 3 diviseϕ(n) doncp1=3 et on obtientn=3²13⁵. On vérifie qu’il convient.

- Sip2=11 alors 5 diviseϕ(n) doncp1=5 et on obtientn=5²11⁵.

- Sip₂=7 alors 3 diviseϕ(n) doncp₁=3 et on obtientn=3^α17^α2avecα2>5 etα1impair>3 (car siα1est pair alorsα2est impair etϕ(n)=2²3^α17^α2−1est un carré). L’unique valeur possible denest alors 3³7⁵qu’il faut exclure carϕ⁽²⁾(n)=2³3³7³est un cube. Aucune solution dans ce cas.

- Sip2=5 alorsp1=2 oup1=3.

* Sip1=2,n=2^α15^α2 avecα2>^{5 et}α1>^{2. Commenet}ϕ(n)=2^α1+15^α2−1ne sont pas des carrés,α1etα2sont de parités différentes. La liste des valeurs possibles denest :

2²5⁹, 2²5⁷, 2²5⁵, 2³5⁸, 2⁴5⁷, 2⁴5⁵, 2⁵5⁶, 2⁶5⁷, 2⁶5⁵ 2⁷5⁶, 2⁸5⁵

Il faut exclure 2²5⁷(pour lequelϕ(n)=2³5⁶est un cube) et 2⁴5⁵(pour lequelϕ⁽²⁾(n)=2⁶5³ est un cube). Les autres conviennent.

* Sip1=3,n=3^α15^α2avecα2>5 etα1>5 (car 3 diviseϕ⁽³⁾(n)). Les valeurs qui conviennent dans ce cas sont 3⁵5⁶, 3⁶5⁵et 3⁷5⁵.

- Sip₂=3 alorsn=2^α13^α2avecα1>^{2 et}α2>^5.

ϕ(n)=2^α13^α2−1,ϕ⁽²⁾(n)=2^α13^α2−2,ϕ⁽³⁾(n)=2^α13^α2−3. Doncα1 est premier avecα2,α2−1, α2−2,α2−3 doncα1est impair et non divisible par 3. Les valeurs denqui conviennent sont :

2⁵3⁹, 2⁷3⁵, 2⁷3⁶, 2¹¹3⁵, 2¹¹3⁶, 2¹¹3⁷, 2¹³3⁵, 2¹³3⁶

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