A515 : Chassé-croisé entre les puissances

A515 : Chassé-croisé entre les puissances

S’il existait a et b tels que 2^a=5^b*10^c+e et 5^a=2^b*10^d+f avec a, b, c, d, e, f entiers et 0<e<10^c et 0<f<10^d, on aurait alors :

10^a=2^a*5^a=(5^b*10^c+e)(2^b*10^d+f)

10^a =10^b+c+d+2^b*10^d*e+5^b*10^c*f+ef, soit en divisant par 10^b+c+d 10^a-b-c-d = 1+e/(5^b10^c)+f/(2^b10^d)+ef/10^c+d

Or les trois termes qui suivent le 1 dans l’expression ci dessus sont chacun strictement compris entre 0 et 1 : le second membre est donc strictement compris entre 1 et 4, et il ne peut donc y avoir égalité avec le premier membre qui vaut, au plus près, 1 ou 10.

Plus généralement, si p^a=q^b10^c+e et q^a=p^b10^d+f avec 0<e<10^c et 0<f<10^d p^a/q^b=10^c+e/q^b et q^a/p^b=10^d+f/p^b , soit, en prenant les logarithmes

décimaux :

a*logp-b*logq=c+x et a*logq-b*logp=d+y avec 0<x<log(1+1/q^b) et 0<y<log(1+1/p^b)

Ce qui est possible, en vertu de la densité des rationnels sur l’ensemble des réels, sauf s’il existe des entiers relatifs i, j, k, tels que i*logp+jlogq=k, ce qui élimine les cas :

p=2, q=5 (logp+logq=1) ; p=2, q=4 ; p=2, q=8 ; et p=3, q=9.

Citons la solution la plus simple : p=2, q=3, a=5, b=1 : 2⁵=32, 3⁵=243