1. Examinons d'abord les puissances de S . Pour k entre 1 et n − 1 :

Problème 1

1. Examinons d'abord les puissances de S . Pour k entre 1 et n − 1 :

S

^k

=



























0 · · · · · · 0

... ...

0 · · · · · · 0

1 0 0

0 ... ... ...

... ... ... ... ...

0 · · · 0 1 0 · · · 0



























← ligne k + 1

Ceci peut se montrer à l'aide seulement de la dénition du produit matriciel.

On comprend mieux la situation en interprétant S comme la matrice d'un endomor- phisme f de R

ⁿ

dans la base canonique (e

1

, · · · , e

n

) . En eet, un tel endomorphisme vérie

∀i ∈ {1, · · · , n} : f (e

i

) = e

i+1

en convenant que e

l

= 0

_Rⁿ

dès que l > n . Il est alors immédiat que f

^k

vérie

∀i ∈ {1, · · · , n} : f

^k

(e

i

) = e

i+k

dont la matrice dans la base canonique est celle indiquée au début.

La famille (1, S, · · · , S

ⁿ⁻¹

) est libre car la première colonne d'une combinaison linéaire λ

0

I + · · · + λ

_n−1

S

ⁿ⁻¹

est









 λ

₀

λ

₁

...

λ

_n1











Si une telle combinaison est nulle, tous les coecients sont évidemment nuls.

On en déduit que la dimension de S est nulle.

Considérons maintenant l'endomorphisme g de R

ⁿ

dont la matrice dans la base cano- nique est T . Il est clair que g permute circulairement les vecteurs de base. Ceci entraîne g

ⁿ

est l'identité et que, pour k entre 1 et n − 1 , :

∀i ∈ {1, · · · , n} : g

^k

(e

i

) = e

i+k

en convenant cette fois que e

l

= e

^l−n

dès que l > n .

Montrons maintenant que (I, T, · · · , T

ⁿ⁻¹

) est libre en montrant que (Id, g, · · · , g

ⁿ⁻¹

)

est libre.

Considérons une combinaison linéaire nulle :

λ

0

Id + λ

1

g + · · · + λ

_n−1

g

ⁿ⁻¹

= 0

_L(Rn)

Appliquons cette identité fonctionnelle en e

1

. On obtient

λ

₀

e

₁

+ λ

₁

e

₂

+ · · · + λ

_n−1

e

_n

= 0

_Rn

Ceci entraîne que tous les λ

i

sont nuls car (e

1

, · · · , e

n

) est libre (c'est la base canonique).

La dimension de T est donc n .

Étudions maintenant l'intersection en restant dans l'interprétation avec des endomor- phismes. Si un endomorphisme h est dans les sous-espaces engendrés par f et g , il s'écrira

h = λ

₀

Id + λ

₁

f + · · · + λ

_n−1

f

ⁿ⁻¹

= µ

₀

Id + µ

₁

g + · · · + µ

_n−1

g

ⁿ⁻¹

pour certains λ

i

et µ

j

. Si on applique cette identité fonctionnelle en e

1

, on obtient

λ

0

e

1

+ λ

1

e

2

+ · · · + λ

_n−1

e

n

= µ

0

e

1

+ µ

1

e

2

+ · · · + µ

_n−1

e

n

Ce qui entraîne

λ

0

= µ

0

, · · · , λ

_n−1

= µ

_n−1

Si on applique l'identité fonctionnelle en e

₂

, on obtient

λ

0

e

2

+ λ

1

e

3

+ · · · + λ

n−2

e

n

= µ

0

e

2

+ µ

1

e

3

+ · · · + µ

n−2

e

n

+ µ

n−1

e

1

ce qui entraîne µ

_n−1

= λ

_n−1

= 0 . On procède de même avec les autre vecteurs de base pour montrer que tous les coecients sont nuls sauf ceux d'indice 0 qui sont égaux.

Finalement :

S ∩ T = {I}

2. La matrice S

^k

est constituée d'une seule bande de 1 parallèle à la diagonale principale et qui "descend" vers la gauche quand k augmente, tout le reste étant nul. La matrice de T

^k

possède la même bande de 1 et possède en plus une autre bande de 1 cette fois au dessus de la diagonale. Chaque 1 qui "disparait" en bas "réapparait" en haut. Ceci se traduit par :

∀k ∈ {1, · · · , n − 1} : T

^k

= S

^k

+

^t

(S

^n−k

)

Cette formule est aussi valable pour n car S

ⁿ

= 0

_n

et S

⁰

= I

_n

.

3. Les propriétés de bilinéarité du produit matriciel et de linéarité de la trace montrent le caractère bilinéaire de (/) .

Le caractère symétrique vient de propriétés bien connues de la trace et de la transpo- sition :

t

(AB) =

^t

B

^t

A tr(

^t

A) = tr(A) Dans ce contexte :

(B/A) = tr(B

^t

A) = tr

^t

(B

^t

A)

= tr(A

^t

B) = (A/B)

Le caractère positif vient de ce que tr(A

^t

A)) est la somme des carrés de tous les termes de la matrice A .

4. Pour calculer des produits scalaires de matrices S

^k

, il est commode de remarquer que terme i, j de S

^k

= δ

_i−k,j

où δ

u,v

est le symbole de Kronecker qui vaut 1 si u = v et 0 sinon. Pour tous p et q entre 0 et n − 1 , on peut alors écrire :

(S

^p

/S

^q

) = 1 n

X

(i,j)∈{1,···,n}²

δ

_i−p,j

δ

_i−q,j

Seuls contribuent réellement à la somme les (i, j) pour lesquels les deux δ valent 1 . Ceci ne peut se produire que si

i − p = j = i − q ⇒ p = q

Donc pour i 6= q , les matrices S

^p

et S

^q

sont orthogonales. La famille des S

^k

est orthogonale.

Pour évaluer les produits scalaires entre puissances de T , utilisons l'expression trouvée en 2. et développons :

(T

^p

/T

^q

) = (S

^p

/S

^q

) + (

^t

S

^n−p

/S

^q

) + (S

^p

/

^t

S

^n−q

) + (

^t

S

^n−p

/

^t

S

^n−q

) Parmi ces termes : (S

^p

/S

^q

) est nul par orthogonalité sauf si p = q .

(

^t

S

^n−p

/S

^q

) = 1

n tr(

^t

S

^{n−p t}

S

^q

) = 1

n tr(S

^q

S

^n−p

) = 1

n tr(S

^n+q−p

)

qui vaut 0 sauf si p = q car la diagonale des puissances de S est nulle. Le calcul et le résultats sont les mêmes pour (S

^p

/

^t

S

^n−q

) .

En ce qui concerne le dernier terme :

(

^t

S

^n−p

/

^t

S

^n−q

) = (S

^n−q

/S

^n−p

)

car on peut permuter deux matrices sans changer la trace de leur produit. Ce terme est nul par orthogonalité des puissances de S sauf si p = q .

En conclusion, la famille des puissances de T est orthogonale. Elle est même ortho- normée car on a vu que (A/A) est la somme des carrés des termes divisée par n . Les puissances de T contiennent exactement n fois 1 et le reste de 0 .

5. Pour montrer que S

^p

est la projection orthogonale de T

^p

sur S , on va montrer que T

^p

− S

^p

est orthogonale à S pour tous les p entre 1 et n − 1 .

Pour tous les q entre 0 et n − 1 :

(T

^p

− S

^p

/S

^q

) = (T

^p

/S

^q

) − (S

^p

/S

^q

) = (S

^p

/S

^q

) + (

^t

S

^n−p

/S

^q

) − (S

^p

/S

^q

)

= 1

n tr(S

^n−p+q

) = 0

Problème 2

Partie 1. Dénitions - Exemples

1. a. Comme la paramétrisation est normale, z

⁰

(s) est l'axe complexe de − → τ (s) . Le vecteur − → n est obtenu à partir de − → τ par une rotation de

^π₂

qui se traduit par la multiplication par i pour les axes. La relation (2) est donc simplement la traduction complexe de la dénition de la courbure par :

−

→ τ

⁰

= c − → n Les deux relations sont donc équivalentes

b. Lorsque c

0

est un réel xé, cherchons les solutions de l'équation diérentielle z

⁰⁰

= ic

0

z

⁰

Si c

0

= 0 , l'équation devient z

⁰⁰

= 0 dont les solutions sont de la forme s → as + b

avec a et b complexes xés ( a de module 1 ) pour que la paramétrisations soit normale. Le support de ces paramétrisations sont des droites.

Si c

0

6= 0 . D'après le cours sur les équations diérentielles linéaires du premier ordre :

z

⁰

(s) = z

⁰

(0)e

^ic0s

⇒ z(s) = z(0) − i z

⁰

(0) c

0

e

^ic0s

Le support d'une telle courbe paramétrée est un cercle.

En conclusion, le support d'une courbe paramétrée dont tous les points sont des

sommets est une droite ou un cercle.

c. D'après le cours sur les équations diérentielles linéaires du premier ordre, les solutions de

y

⁰

(s) = i 1 + s

²

y sont les fonctions de la forme

λe

^iF

où F est une primitive de s →

_1+s¹2

. Une telle primitive est arctan . En tenant compte de la condition initiale z

⁰

(0) = 1 on obtient donc

z

⁰

(s) = e

^iarctans

Pour θ dans ] −

^π₂

,

^π₂

[ (ce qui est le cas si θ = arctan s ), on a cos θ = 1

√

tan

²

θ sin θ = tan θ

√ tan

²

θ Avec θ = arctan s , on déduit :

z

⁰

(s) = 1 + is

√ 1 + s

²

Le calcul de z revient à un calcul d'intégrale :

z(s) = i

=z(0)

+ Z

s

0

1 + iu

√ 1 + u

²

du On eectue un changement de variable u = sh t et on obtient

z(s) = argsh s + i(s − 1)

Il apparait alors que le support est le même que celui de la paramétrisation t → 1 + i(ch t − 1)

obtenue avec le changement de paramètre admissible t = sh s .

Ce support est une courbe appelée chaînette qui ressemble de loin à une parabole mais n'en n'est pas une.

2. a. Pour la parabole, les calculs sont immédiats :

−

→ f

⁰

(t) = − → i + t

²

2p

−

→ j

−

→ f

⁰⁰

(t) = 1 p

−

→ j

On en déduit que la paramétrisation n'est pas normale. La vitesse n'est pas de norme 1 mais

k − → f

⁰

(t)k =

p p

²

+ t

²

p

−

→ τ (t) = p p p

²

+ t

²

− → i + t

p

−

→ j

−

→ n (t) = p p p

²

+ t

²

− t p

−

→ i + − → i

L'équation de la tangente en f (t) est det( −−−−→

f (t)M , − →

f

⁰

(t)) = 0 ⇔

x − t 1 y − t

²

2p t p

= 0

b. Le calcul de la courbure se fait à l'aide du déterminant : γ(f (t)) = det( − →

f

⁰

(t), − → f

⁰⁰

(t)) k − →

f

⁰

(t)k = p

²

(p

²

+ t

²

)

⁻³²

La dérivée de cette fonction

−3p

²

t(p

²

+ t

²

)

⁻⁵²

s'annule seulement pour t = 0 qui correspond à l'origine et au sommet de la parabole.

Rappelons que pour une conique, le terme sommet désigne un point d'intersection avec l'axe focal.

3. a. Pour l'ellipse, les calculs sont immédiats :

−

→ f

⁰

(t) = − a sin t − →

i + b cos t − → j

−

→ f

⁰⁰

(t) = − a cos t − →

i − b sin t − → j

On en déduit que la paramétrisation n'est pas normale. La vitesse n'est pas de norme 1 mais

k − →

f

⁰

(t)k = p

a

²

sin

²

t + b

²

cos

²

t

−

→ τ (t) = 1

p a

²

sin

²

t + b

²

cos

²

t

−a sin t − →

i + b cos t − → j

−

→ n (t) = 1

p a

²

sin

²

t + b

²

cos

²

t

−b cos t − →

i + a sin t − →

j

L'équation de la tangente en f (t) est det( −−−−→

f (t)M , − →

f

⁰

(t)) = 0 ⇔

x − a cos t −a sin t y − b sin t b cos t

= 0

b. Le calcul de la courbure se fait à l'aide du déterminant : γ(f (t)) = det( − →

f

⁰

(t), − → f

⁰⁰

(t)) k − →

f

⁰

(t)k = ab(a

²

sin

²

t + b

²

cos

²

t)

⁻³²

La dérivée de cette fonction

−3ab(a

²

− b

²

) sin t cos t(a

²

sin

²

t + b

²

cos

²

t)

⁻⁵²

s'annule seulement pour t congru à 0 modulo

^π₂

. Il existe donc quatre sommets qui correspondent aux intersection avec les deux axes de symétrie. Pour une co- nique les intersections avec le petit-axe ne sont pas habituellement appelées des sommets.

M1

M2

(M1, M2)

D M(w)

Fig. 1: Droites passant par M (w)

Partie 2. Courbe fermée strictement convexe

1. a. La fonction Y est continue, les valeurs Y (u) et Y (v) sont de signes opposés.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe w entre u et v tel que Y (w) = 0 .

Par dénition, M (w) est sur la droite (M

1

, M

2

) et même sur le segment [M

1

, M

2

] . Considérons toutes les droites D passant par M (w) (Fig. 1). Parmi ces droites doit se trouver la tangente en M (w) .

Si D n'est pas (M

1

, M

2

) . Les deux points M

1

et M

2

ne sont pas dans le même des deux demi-plans ouverts dénis par D . Chacun est dans un (diérent) des deux.

Si D est (M

₁

, M

₂

) . Aucun des des deux points M

₁

et M

₂

n'est dans un des demi-plans ouverts dénis par D .

Or, d'après la convexité de la courbe, lorsque D est la tangente en M (w) , les deux points devraient se trouver dans le même des deux demi-plans ouverts dénis par la tangente. Il est donc impossible que Y change de signe entre s

1

et s

2

.

b. Montrer que tous les points M (s) avec s

1

< s < s

2

se trouvent dans le même des deux demi-plans dénis par la droite (M

1

, M

2

) est une reformulation de la question précédente. S'ils ne s'y trouvaient pas, la fonction Y changerait de signe.

On peut raisonner entre s

2

et s

1

+L comme entre s

1

et s

2

. (Fig. 2) Il faut toutefois jistier que la deuxième portion de courbe n'est pas du même côté de la droite.

Cela se fait en considérant ce qui se passe autour de M

₂

. Comme (M

₁

, M

₂

) ne peut être tangente, la tangente en M

₂

traverse la droite (M

₁

, M

₂

) . Pour s > s2 le point se trouvera donc de l'autre côté.

2. a. La fonction c est continue et périodique de période L . Sa restriction à un segment de longueur L est donc bornée et atteint ses bornes. Comme l'ensemble des valeurs prises par la fonction est aussi l'ensemble des valeurs prises par une restriction à un segment de longueur L , la fonction complète est donc bornée et atteint ses bornes.

Notons s

1

un réel tel que

c(s

1

) = min {c(s), s ∈ R }

Comme la restriction de c à [s

₁

, s

₁

+ L] atteint sa borne supérieure, il existe alors un s

₂

∈ [s

₁

, s

₁

+ L] tel que

c(s

₂

) = max {c(s), s ∈ R }

Les réels s

1

et s

2

réalisent des extréma absolus de la fonction c et la fonction c

est dérivable dans R. On en déduit que c

⁰

(s

1

) = c

⁰

(s

2

) = 0 . Les points M (s

1

) et

M (s

₂

) sont des sommets de la courbe.

M1=M(s1) M2=M(s2)

X

Y lesM(s)avecs∈]s2, s1+L[

lesM(s)avecs∈]s₁, s2[

Fig. 2: Intersection avec une corde

b. On suppose dans cette question que c

⁰

ne s'annule qu'en s

1

et s

2

. Elle garde donc un signe constant dans ]s

1

, s

2

[ et dans ]s

2

, s

1

+ L[ . Comme s

1

réalise le minimum de c et s

2

le maximum, la fonction est croissante sur ]s

1

, s

2

[ et décroissante sur ]s

₂

, s

₁

+L[ . Les signes se combinent alors pour que l'intégrale (fonctions continues) soit positive.

Z

s1+L s1

c

⁰

(s)Y (s)ds = Z

s2

s1

c

⁰

(s)

>0

Y (s)

>0

ds + Z

s1+L

s2

c

⁰

(s)

<0

Y (s)

<0

ds > 0

En fait on va montrer que cette intégrale est nulle ce qui conduit évidemment à une contradiction et à l'existence d'une troisième valeur s

3

où c

⁰

s'annule.

Le calcul utilise une intégration par parties et la dénition de la courbure. Com- mençons par la courbure. On exprime la vitesse dans le repère indiqué par

l'énoncé :

−

→ τ (s) =X

⁰

(s) − →

i + Y

⁰

(s) − → j

−

→ n (s) = − Y

⁰

(s) − →

i + X

⁰

(s) − → j

−

→ τ

⁰

(s) =c(s) − → n (s)



 



 



⇒



 

 

X

⁰⁰

(s) = − c(s)Y

⁰

(s)

Y

⁰⁰

(s) =c(s)X

⁰

(s) Utilisons maintenant l'intégration par parties

Z

s1+L s₁

c

⁰

(s)Y (s)ds = [c(s)Y (s)]

^s_s^1+L

1

| {z }

=0 par périodicité

− Z

s1+L

s₁

c(s)Y

⁰

(s)ds

= Z

s₁+L

s1

X

⁰⁰

(s)ds = [X

⁰

(s)]

^s_s^1+L

1

= 0 par périodicité

s1 s3 s4 s2

s

₁

+ L

Fig. 3: Graphe de c

c. On a montré à la question précédente l'existence d'un s

₃

en lequel c

⁰

s'annule. Si c

⁰

ne change pas de signe en s

₃

, le raisonnement de la question précédente sur la stricte positivité de l'intégrale s'applique encore en contradiction avec le calcul qui montre qu'elle est nulle. La fonction c

⁰

doit donc changer de signe en s

3

ce qui prouve que s

3

est un extrémum relatif pour c .

Comme s

1

est le minimum absolu, s

3

ne peut être qu'un maximum relatif si c

⁰

ne change pas de signe avant. Il existe alors forcément un minimum relatif s

4

entre s

3

et le maximum absolu s

1

+ L (Fig. 3).

Ceci prouve l'existence d'un quatrième sommet.