tout point de celle-ci où la dérivée de la courbure s'annule.

Énoncé

On appelle

sommet d'une courbe paramétrée régulière normale de classe C

tout point de celle-ci où la dérivée de la courbure s'annule.

Dans les questions 2 et 3, on compare pour les paraboles et les ellipses la notion usuelle de sommet d'une conique avec celle dénie ici. On établit ensuite que toute courbe fermée simple et strictement convexe (Fig. 1) admet au moins quatre sommets.

On adopte un certain nombre de notations valables dans tout le problème.

E est un plan ane de direction E . (O, ( − →

i , − →

j )) est un repère xé. Les coordonnées et les axes complexes sont relatifs à ce repère.

M est une fonction dénie dans R et à valeurs dans E qui est une courbe paramétrée normale. Pour tout s réel, sa dérivée en s notée

− →

M

(s) = − → τ (s) est un vecteur unitaire de E .

− → n (s) est le vecteur unitaire directement orthogonal à − → τ (s) .

γ(f (t)) désigne la courbure au point f (t) du support d'une courbe paramétrée (pas forcément normale f ). Ce nombre sera aussi parfois noté c(s) .

Partie 1. Dénitions - Exemples 1. Étude d'une équation diérentielle

Pour tout réel s , on désigne par z(s) l'axe complexe de M (s) et par x(s) et y(s) les parties réelles et imaginaires de z(s) .

a. Soit c une fonction continue de R dans R. Montrer l'équivalence entre les deux propriétés suivantes :

(1) ∀s ∈ R : c(s) = γ(M (s)) (2) ∀s ∈ R : z

(s) = ic(s)z

(s) b. On étudie les courbes dont la courbure est constante égale à c

.

En distinguant les deux cas c

= 0 et c

6= 0 , déterminer l'expression de z . En déduire les courbes dont tous les points sont des sommets.

c. On étudie les courbes d'axe z dont la courbure est donnée par une fonction c dénie dans R et par des conditions initiales :

∀s ∈ R : c(s) = 1

1 + s

, z(0) = i, z

(0) = 1

1d'après École de l'air 2005

M(0) =M(L)

Fig. 1: Courbe fermée, sans point double, strictement convexe

Montrer que

z

(s) = 1 + is

√ 1 + s

En déduire z et reconnaître la courbe en posant s = sh t . 2. Étude des sommets de la parabole

Soit p un réel strictement positif xé, une parabole est donnée par une paramétrisation f dénie dans R

f (t) = 0 + t − → i + t

2p

−

→ j

a. La courbe paramétrée f est-elle normale ? Déterminer − → τ (f (t)) , − → n (f (t)) , une équation cartésienne de la tangente en f(t) (sous la forme d'un déterminant non développé).

b. Calculer γ(f(t)) . En quel point de la parabole la dérivée de cette fonction s'annule- t-elle ?

3. Étude des sommets de l'ellipse

Soient a et b des réels strictement positifs distincts xés, une ellipse est donnée par une paramétrisation f dénie dans R par : .

f (t) = 0 + a cos t − →

i + b sin t − →

j

a. La courbe paramétrée f est-elle normale ? Déterminer − → τ (f (t)) , − → n (f (t)) , une équation cartésienne de la tangente en f (t) (sous la forme d'un déterminant non développé).

b. Calculer γ(f(t)) . En quel point de l'ellipse la dérivée de cette fonction s'annule- t-elle ?

Partie 2. Courbe fermée strictement convexe

M1=M(s1) M₂=M(s₂)

Fig. 2: Intersection avec une sécante

Dans cette partie, on suppose que la courbe paramétrée normale M est C

( R ) et qu'elle vérie trois hypothèses supplémentaires.(Fig. 1)

Elle est fermée et de longueur L > 0 . Cela signie que la fonction M est périodique de plus petite période L .

Elle est sans point double. Cela signie que la restriction à [0, L[ de la fonction M est injective.

Elle est strictement convexe. Cela signie que, pour tout s

réel, l'ensemble des M (s) (pour s non congru à s

modulo L ) est contenu dans un des demi-plans ouverts dénis par la tangente à la courbe en M (s

) .

1. Position par rapport à une sécante

On considère deux réels s

et s

dans une même période tels que s

< s

< s

+ L . On pose M

= M (s

) et M

= M (s

) . On considère un repère orthonormé direct dont l'origine est en M

et dont l'axe M

X est la droite orientée (M

M

) (Fig.2). On désigne par X(s) et Y (s) les coordonnées de M (s) dans ce repère.

a. On suppose qu'il existe des réels u et v tels que s

< u < v < s

et Y (u)Y (v) < 0 . Montrer qu'il existe un réel w tel que s

< w < s

et Y (w) = 0 .

En déduire une contradiction avec les propriétés de la courbe.

b. Montrer que tous les points M (s) où s

< s < s

appartiennent à un des deux demi-plans ouverts délimités par la droite (M

M

) . Montrer que tous les points M (s) où s

< s < s

+ L appartiennent à l'autre demi-plan ouvert.

2. Sommets

On note c(s) = γ(M (s)) et on suppose que cette fonction n'est pas constante.

a. Montrer qu'il existe des réels s

et s

tels que

∀s ∈ R : c(s

) ≤ c(s) ≤ c(s

) s

< s

< s

+ L

En déduire que M

= M (s

) et M

= M (s

) sont des sommets de la courbe.

b. On suppose que, sur [s

, s

+ L[ , la dérivée c

ne s'annule qu'en s

et s

.

On considère à nouveau le repère de la question 1. et on suppose Y (s) > 0 pour tous s vériant s

< s < s

.

Montrer que

Z

c

(s)Y (s)ds > 0

Montrer que

Z

c

(s)Y (s)ds = 0

Déduire de cette contradiction que la courbe admet au moins un troisième sommet M

= M (s

) avec s

< s

< s

+ L .

c. On suppose que, sur [s

, s

+ L[ , la dérivée c

ne s'annule qu'en s

, s

et s

. Que peut-on dire alors de c

en s

? Établir une contradiction en reprenant le raisonnement précédent.

Ainsi, une courbe fermée sans point double et strictement convexe admet au moins

quatre sommets.

Corrigé

Partie 1. Dénitions - Exemples

1. a. Comme la paramétrisation est normale, z

(s) est l'axe complexe de − → τ (s) . Le vecteur − → n est obtenu à partir de − → τ par une rotation de

qui se traduit par la multiplication par i pour les axes. La relation (2) est donc simplement la traduction complexe de la dénition de la courbure par :

−

→ τ

= c − → n Les deux relations sont donc équivalentes

b. Lorsque c

est un réel xé, cherchons les solutions de l'équation diérentielle z

= ic

z

Si c

= 0 , l'équation devient z

= 0 dont les solutions sont de la forme s → as + b

avec a et b complexes xés ( a de module 1 ) pour que la paramétrisations soit normale. Le support de ces paramétrisations sont des droites.

Si c

6= 0 . D'après le cours sur les équations diérentielles linéaires du premier ordre :

z

(s) = z

(0)e

⇒ z(s) = z(0) − i z

(0) c

e

Le support d'une telle courbe paramétrée est un cercle.

En conclusion, le support d'une courbe paramétrée dont tous les points sont des sommets est une droite ou un cercle.

c. D'après le cours sur les équations diérentielles linéaires du premier ordre, les solutions de

y

(s) = i 1 + s

y sont les fonctions de la forme

λe

où F est une primitive de s →

. Une telle primitive est arctan . En tenant compte de la condition initiale z

(0) = 1 on obtient donc

z

(s) = e

Pour θ dans ] −

,

[ (ce qui est le cas si θ = arctan s ), on a cos θ = 1

√

tan

θ sin θ = tan θ

√ tan

θ Avec θ = arctan s , on déduit :

z

(s) = 1 + is

√ 1 + s

Le calcul de z revient à un calcul d'intégrale : z(s) = i

=z(0)

+ Z

0

1 + iu

√ 1 + u

du

On eectue un changement de variable u = sh t et on obtient z(s) = argsh s + i(s − 1)

Il apparait alors que le support est le même que celui de la paramétrisation t → 1 + i(ch t − 1)

obtenue avec le changement de paramètre admissible t = sh s .

Ce support est une courbe appelée chaînette qui ressemble de loin à une parabole mais n'en n'est pas une.

2. a. Pour la parabole, les calculs sont immédiats :

−

→ f

(t) = − → i + t

2p

−

→ j

−

→ f

(t) = 1 p

−

→ j

On en déduit que la paramétrisation n'est pas normale. La vitesse n'est pas de norme 1 mais

k − → f

(t)k =

p p

+ t

p

−

→ τ (t) = p p p

+ t

− → i + t

p

−

→ j

−

→ n (t) = p p p

+ t

− t p

−

→ i + − → i

L'équation de la tangente en f (t) est

det( −−−−→

f (t)M , − →

f

(t)) = 0 ⇔

x − t 1 y − t

2p t p

= 0

b. Le calcul de la courbure se fait à l'aide du déterminant :

γ(f (t)) = det( − → f

(t), − →

f

(t)) k − →

f

(t)k = p

(p

+ t

)

La dérivée de cette fonction

−3p

t(p

+ t

)

s'annule seulement pour t = 0 qui correspond à l'origine et au sommet de la parabole.

Rappelons que pour une conique, le terme sommet désigne un point d'intersection avec l'axe focal.

3. a. Pour l'ellipse, les calculs sont immédiats :

−

→ f

(t) = − a sin t − →

i + b cos t − → j

−

→ f

(t) = − a cos t − →

i − b sin t − → j

On en déduit que la paramétrisation n'est pas normale. La vitesse n'est pas de norme 1 mais

k − →

f

(t)k = p

a

sin

t + b

cos

t

−

→ τ (t) = 1

p a

sin

t + b

cos

t

−a sin t − →

i + b cos t − → j

−

→ n (t) = 1

p a

sin

t + b

cos

t

−b cos t − →

i + a sin t − → j

L'équation de la tangente en f (t) est

det( −−−−→

f (t)M , − →

f

(t)) = 0 ⇔

x − a cos t −a sin t y − b sin t b cos t

= 0

b. Le calcul de la courbure se fait à l'aide du déterminant :

γ(f (t)) = det( − → f

(t), − →

f

(t)) k − →

f

(t)k = ab(a

sin

t + b

cos

t)

La dérivée de cette fonction

−3ab(a

− b

) sin t cos t(a

sin

t + b

cos

t)

s'annule seulement pour t congru à 0 modulo

. Il existe donc quatre sommets qui correspondent aux intersection avec les deux axes de symétrie. Pour une co- nique les intersections avec le petit-axe ne sont pas habituellement appelées des sommets.

M

M

(M

, M

)

D M(w)

Fig. 3: Droites passant par M (w)

Partie 2. Courbe fermée strictement convexe

1. a. La fonction Y est continue, les valeurs Y (u) et Y (v) sont de signes opposés.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe w entre u et v tel que

Y (w) = 0 .

Par dénition, M (w) est sur la droite (M

, M

) et même sur le segment [M

, M

] . Considérons toutes les droites D passant par M (w) (Fig. 3). Parmi ces droites doit se trouver la tangente en M (w) .

Si D n'est pas (M

, M

) . Les deux points M

et M

ne sont pas dans le même des deux demi-plans ouverts dénis par D . Chacun est dans un (diérent) des deux.

Si D est (M

, M

) . Aucun des des deux points M

et M

n'est dans un des demi-plans ouverts dénis par D .

Or, d'après la convexité de la courbe, lorsque D est la tangente en M (w) , les deux points devraient se trouver dans le même des deux demi-plans ouverts dénis par la tangente. Il est donc impossible que Y change de signe entre s

et s

.

b. Montrer que tous les points M (s) avec s

< s < s

se trouvent dans le même des deux demi-plans dénis par la droite (M

, M

) est une reformulation de la question précédente. S'ils ne s'y trouvaient pas, la fonction Y changerait de signe.

On peut raisonner entre s

et s

+L comme entre s

et s

. (Fig. 4) Il faut toutefois jistier que la deuxième portion de courbe n'est pas du même côté de la droite.

Cela se fait en considérant ce qui se passe autour de M

. Comme (M

, M

) ne peut être tangente, la tangente en M

traverse la droite (M

, M

) . Pour s > s2 le point se trouvera donc de l'autre côté.

2. a. La fonction c est continue et périodique de période L . Sa restriction à un segment de longueur L est donc bornée et atteint ses bornes. Comme l'ensemble des valeurs prises par la fonction est aussi l'ensemble des valeurs prises par une restriction à un segment de longueur L , la fonction complète est donc bornée et atteint ses bornes.

Notons s

un réel tel que

c(s

) = min {c(s), s ∈ R }

Comme la restriction de c à [s

, s

+ L] atteint sa borne supérieure, il existe alors un s

∈ [s

, s

+ L] tel que

c(s

) = max {c(s), s ∈ R }

Les réels s

et s

réalisent des extréma absolus de la fonction c et la fonction c est dérivable dans R. On en déduit que c

(s

) = c

(s

) = 0 . Les points M (s

) et M (s

) sont des sommets de la courbe.

b. On suppose dans cette question que c

ne s'annule qu'en s

et s

. Elle garde donc un signe constant dans ]s

, s

[ et dans ]s

, s

+ L[ . Comme s

réalise le minimum de c et s

le maximum, la fonction est croissante sur ]s

, s

[ et décroissante sur

M1=M(s1) M2=M(s2)

X

Y lesM(s)avecs∈]s2, s1+L[

lesM(s)avecs∈]s₁, s2[

Fig. 4: Intersection avec une corde

]s

, s

+L[ . Les signes se combinent alors pour que l'intégrale (fonctions continues) soit positive.

Z

c

(s)Y (s)ds = Z

s1

c

(s)

>0

Y (s)

>0

ds + Z

s2

c

(s)

<0

Y (s)

<0

ds > 0

En fait on va montrer que cette intégrale est nulle ce qui conduit évidemment à une contradiction et à l'existence d'une troisième valeur s

où c

s'annule.

Le calcul utilise une intégration par parties et la dénition de la courbure. Com- mençons par la courbure. On exprime la vitesse dans le repère indiqué par l'énoncé :

−

→ τ (s) =X

(s) − →

i + Y

(s) − → j

−

→ n (s) = − Y

(s) − →

i + X

(s) − → j

−

→ τ

(s) =c(s) − → n (s)



 



 



⇒



 

 

X

(s) = − c(s)Y

(s)

Y

(s) =c(s)X

(s)

Utilisons maintenant l'intégration par parties Z

s₁

c

(s)Y (s)ds = [c(s)Y (s)]

1

| {z }

=0 par périodicité

− Z

s₁

c(s)Y

(s)ds

= Z

s1

X

(s)ds = [X

(s)]

1

= 0 par périodicité

s

s

s

s

s

+ L

Fig. 5: Graphe de c

c. On a montré à la question précédente l'existence d'un s

en lequel c

s'annule. Si c

ne change pas de signe en s

, le raisonnement de la question précédente sur la stricte positivité de l'intégrale s'applique encore en contradiction avec le calcul qui montre qu'elle est nulle. La fonction c

doit donc changer de signe en s

ce qui prouve que s

est un extrémum relatif pour c .

Comme s

est le minimum absolu, s

ne peut être qu'un maximum relatif si c

ne change pas de signe avant. Il existe alors forcément un minimum relatif s

entre s

et le maximum absolu s

+ L (Fig. 5).

Ceci prouve l'existence d'un quatrième sommet.