E337. Congrua exercitatio. ***
Zig dit à Puce : "J'ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p
< 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge. Que vaut X ?"
Puce qui connaît l'âge de Zig dit : " Je ne sais pas répondre".
Zig dit alors : " Si je t'avais précisé d'entrée de jeu que mon âge était égal à q, tu aurais su répondre du premier coup".
Puce : "Cette fois-ci, je sais répondre".
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
Solution proposée par Michel Lafond:
On a donc et donc
En effectuant un balayage pour N allant de 2 à 97 de tous les X convenables, on trouve :
N X p q
13 120 17 7
17 240 23 7
25 336 31 17
37 840 47 23
53 2520 73 17
65 2016 79 47
65 3696 89 23
85 2184 97 71
Si Puce ne peut pas répondre à la question « Que vaut X ? » c’est que l’âge figure au moins dans deux lignes.
Cet âge est donc parmi {7, 17, 23, 47}
La précision « Cet âge est q » entraîne la réponse.
Cela exclut q = 7 [ambiguïté X = 120 ou X = 240]
Cela exclut q = 17 [ambiguïté X = 336 ou X = 2520]
Cela exclut q = 23 [ambiguïté X = 840 ou X = 3696]
Il reste q = 47 qui apparaît dans 2 lignes du tableau, mais une seule fois dans la colonne q.
Maintenant, Puce sait que q = 47, donc X = 2016 [Quelle coïncidence !]
