Éléments de correction de l’examen de janvier 2013 Exercice I. 1. (a) Voir cours.
(b) La hessienne defest une matrice symétrique.
2. (a)Eest le complémentaire d’un fermé, donc c’est un ouvert. Donc il n’est pas compact.
(b) festC∞comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas surE.
(c) ∇f(x, y) =
y3(y2−x2)
(x2+y2)2,xy2(3x2+y2) (x2+y2)2
T
. L’ensemble des points critiques def est la droite d’équationy= 0.
(d) On a par exemple|f(x, y)| ≤ |xy| ≤ k(x, y)k22/2qui tend vers0vers0quand(x, y)tend vers(0,0).
(e) Commef(x,0)−f(0,0) = 0pour toutx, on en déduit que∂xf(0,0)est défini et vaut0. De même pour∂yf(0,0) = 0.
(f) On prouve que∂xfet∂yfsont continues en(0,0): ainsi,|∂xf(x, y)−∂xf(0,0)| ≤ |y| ≤ k(x, y)k2. (g) Les quantités∂2xyf(0,0)et∂yx2f(0,0)valent toutes deux0.
(h) On montre par exemple que∂2xyfn’est pas continue en(0,0), alors que les deux dérivées partielles croisées coïncident.
3. (a)F(t) =g(a2+t)−g(a2).
(b) g′(y) =∂2f(a1+t, y)−∂2f(a1, y).
(c) Grâce au TAF appliqué àg, il existeβ∈]0,1[tel queF(t) =tg′(a2+βt).
(d) Par (b), on aF(t) =t[∂2f(a1+t, a2+βt)−∂2f(a1, a2+βt)]. On applique encore le TAF pour avoir l’existence deα∈]0,1[tel queF(t) =t2∂212f(a1+αt, a2+βt). CommefestC2,F(t)/t2tend vers∂122f(a1, a2)quandttend vers0.
(e) De la même façon, on montre cette fois-ci queF(t)/t2tend vers∂212f(a1, a2)quandttend vers0.
(f) Par unicité de la limite, on obtient la relation de Schwartz.
Exercice II. 1. L’intégrale vautπa3grâce au changement de coordonnées cylindriques.
2. (a)γ(t) = (1 + 2 cost,2 sint)T, avect∈[−π/3, π/3].
(b) La circulation degle long deΓvaut Z π/3
−π/3
g(γ(t))·γ′(t)dt, soit−8π/3.
(c) Voir cours pour la formule de Green-Riemann, valable seulement pour des courbes fermées orientées.
Éléments de correction de l’examen de janvier 2013 Exercice I. 1. (a) Voir cours.
(b) La hessienne defest une matrice symétrique.
2. (a) Eest le complémentaire d’un fermé, donc c’est un ouvert. Donc il n’est pas compact.
(b) festC∞comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas surE.
(c) ∇f(x, y) =
y3(y2−x2)
(x2+y2)2 ,xy2(3x2+y2) (x2+y2)2
T
. L’ensemble des points critiques def est la droite d’équationy= 0.
(d) On a par exemple|f(x, y)| ≤ |xy| ≤ k(x, y)k22/2qui tend vers0vers0quand(x, y)tend vers(0,0).
(e) Commef(x,0)−f(0,0) = 0pour toutx, on en déduit que∂xf(0,0)est défini et vaut0. De même pour∂yf(0,0) = 0.
(f) On prouve que∂xfet∂yfsont continues en(0,0): ainsi,|∂xf(x, y)−∂xf(0,0)| ≤ |y| ≤ k(x, y)k2. (g) Les quantités∂xy2 f(0,0)et∂2yxf(0,0)valent toutes deux0.
(h) On montre par exemple que∂xy2 fn’est pas continue en(0,0), alors que les deux dérivées partielles croisées coïncident.
3. (a) F(t) =g(a2+t)−g(a2).
(b) g′(y) =∂2f(a1+t, y)−∂2f(a1, y).
(c) Grâce au TAF appliqué àg, il existeβ∈]0,1[tel queF(t) =tg′(a2+βt).
(d) Par (b), on aF(t) =t[∂2f(a1+t, a2+βt)−∂2f(a1, a2+βt)]. On applique encore le TAF pour avoir l’existence deα∈]0,1[tel queF(t) =t2∂122f(a1+αt, a2+βt). CommefestC2,F(t)/t2tend vers∂122f(a1, a2)quandttend vers0.
(e) De la même façon, on montre cette fois-ci queF(t)/t2tend vers∂221f(a1, a2)quandttend vers0.
(f) Par unicité de la limite, on obtient la relation de Schwartz.
Exercice II. 1. L’intégrale vautπa3grâce au changement de coordonnées cylindriques.
2. (a) γ(t) = (1 + 2 cost,2 sint)T, avect∈[−π/3, π/3].
(b) La circulation degle long deΓvaut Zπ/3
−π/3
g(γ(t))·γ′(t)dt, soit−8π/3.
(c) Voir cours pour la formule de Green-Riemann, valable seulement pour des courbes fermées orientées.
