A549. Subreptice(s) intrusion(s) ****
Zig choisitknombres premiers distinctspi (i=1, 2..,k) strictement supérieurs à 7 et pour chaquepi il demande à Puce de trouver un ensembleEi de cinq entiers distincts strictement positifs<pi tels que les divisions respectives parpi de leurs puissances cinquièmes donnent toujours le même reste. Puce calcule alors les sommesSi des cinq entiers appartenant à chaque ensembleEi. Il obtient une suite dek termes à laquelle Diophante a subrepticement introduit au moins un intrus, ce qui donne une suite de 11 entiers : 22, 68, 93, 94, 122, 123, 155, 202, 246, 284, 292.
Déterminer le ou les nombre(s) intrus introduit(s) par Diophante et les nombres premiers choisis par Zig.
Solution de Claude Felloneau
Les intrus sont 68, 94, 155, 246 et 292.
Les nombres premiers choisis par Zig sont 11, 31, 61, 41, 101 et 71.
Soitpest un entier premier pour lequel il existe 5 entiers distinctsa1,a2,a3,a4,a5, strictement positifs et strictement inférieurs àptels que les divisions respectives parpde leurs puissances cinquièmes donnent toujours le même reste que nous notonsr. Cela signifie que l’équationX5−r =0 admet cinq solutions (lesai, classe deaimodulop) dans le corps¡
Z/pZ,+, .¢ .
SiSest la somme desai,Sn’est autre que le coefficient deX4dans le polynômeX5−r, doncS≡0 [p].
Soitb l’inverse dea1 dansZ/pZ, etx=ba2, on ax5=1 donc l’ordre dex dans le groupe multiplicatif
¡Z/pZ¢∗
est donc un diviseur de 5 strictement supérieur à 1 donc égal à 5. Il divise l’ordre du groupe qui estp−1. Ainsip≡1 [5].
Les éléments de la liste qui n’ont pas de diviseurs premiers congrus à 1 modulo 5 sont donc des intrus : 68, 94, 292.
22=2×11,p1=11, 22=9+1+3+4+5 et 95≡15≡35≡45≡55≡1 [11]
93=3×31,p2=31, 93=11+22+13+26+21 et 115≡225≡135≡265≡215≡6 [31]
122=2×61,p3=61, 122=1+9+20+34+58 et 15≡95≡205≡345≡585≡1 [61]
123=3×41,p4=41, 123=11+12+28+34+38 et 115≡125≡285≡345≡385≡3 [41]
155=3× ×31 et 155>5×31 donc 155 est un intrus.
202=2×101,p5=101, 202=4+33+43+45+77 et 45≡335≡435≡455≡775≡14 [101]
246=2×3×41 et 246>5×41 donc 246 est un intrus.
284=22×71,p6=71, 284=42+51+56+67+68 et 425≡515≡565≡675≡685≡41 [71]
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