PGCD 1
Notions de diviseurs et multiples
Définition : On dit que est un diviseur de si le reste de la division euclidienne de par est égale à 0. On dit aussi que est un multiple de .
Exemple : 6 × 7 = 42
6 et 7 sont des diviseurs de 42 et 42 est un multiple de 6 et de 7
Exercices d’application
Exercice 1 : Déterminer dans chacune des opérations suivantes, quel est le multiple et quel est le diviseur.
) 25 × 2 = 50 ) 4 × 16 = 64 ) 48 ÷ 8 = 6
!) 56 14= 4
") 7 × 11 = 77
Exercice 2 : Vrai ou Faux. Justifier vos réponses ) 8 est un diviseur de 192
) 65 est un multiple de 9 ) 4 est divisible par 8
!) 18 est divisible par 6
") 3 est un multiple de 18
') 9 est divisible par 27 () 42 est un multiple de 6 ℎ) 5 est un diviseur de 25
*) 52 est divisible par 13 +) 64 est un diviseur de 8
Exercice 3 : Déterminer si les nombres suivants sont divisibles par 2, 3, 4, 5, 6, 9 et 10.
Méthode MéthodeMéthode Méthode ::::
Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (= s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8) Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (= s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8)Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (= s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8) Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (= s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8) Un nombre est divisible par
Un nombre est divisible parUn nombre est divisible par
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ces chiffres est divisible par 33 si la somme de ces chiffres est divisible par 33 si la somme de ces chiffres est divisible par 33 si la somme de ces chiffres est divisible par 3
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ces deux derniers chiffres est Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ces deux derniers chiffres est Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ces deux derniers chiffres est Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ces deux derniers chiffres est divisible par 4
divisible par 4divisible par 4 divisible par 4
Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible
Un nombre est divisible par 6 s’il est divisibleUn nombre est divisible par 6 s’il est divisible
Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible à la fois par 2 et par 3à la fois par 2 et par 3à la fois par 2 et par 3à la fois par 2 et par 3
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9Un nombre est divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9 Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0
Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0 Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0
2 3 4 5 6 9 10
2
63
147
4 212
2 584
6 755
5 813
1 460
177
Nombres premiers
Définition 1 : On dit qu’un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même.
Exemple : 7 est un nombre premier car 7 est uniquement divisible par 1 et par 7
Définition 2 : On dit que deux nombres premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1.
Exemple :
Les nombres 18 et 11 sont premiers enbtre eux.
En effet :
- les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18 - les diviseurs de 11 sont : 1, 11
Le plus grand diviseur qu’ils aient en commun est 1.
Contre-exemple :
Les nombres 18 et 12 ne sont pas premiers entre eux. Pourquoi ? - les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18
- les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Le plus grand diviseur qu’ils aient en commun est 6 (≠ 1).
Exercices d’application
Exercice 4 : Déterminer tous les diviseurs des nombres suivants et déduisez-en s’ils sont premiers ou non.
a) 35 b) 41
c) 292 d) 139
e) 16 f) 39
g) 461
a) 15 et 33 b) 67 et 13 c) 40 et 28 d) 147 et 12
3
Fractions irréductibles
Définition ∶ On dit que la fraction
est irréductible lorsque et sont premiers entre eux.
Exemple : 13
17 est une fraction irréductible.
Méthode :
On obtient une fraction irréductible lorsque l’on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun.
Exercices d’application
Exercice 6 : Déterminer la fraction irréductible des fractions suivantes.
) 48
18 ) 243
15 ) 130
78
CORRECTION 4
Exercice 1 : ) 25 × 2 = 50
25 et 2 sont les diviseurs de 50 50 est le multiple de 25 et 2
) 4 × 16 = 64
4 et 16 sont les diviseurs de 64 64 est le multiple de 4 et 16
) 48 ÷ 8 = 6
L’opération peut s’écrire : 8 × 6 = 48 8 et 6 sont les diviseurs de 48
48 est le multiple de 8 et 6
!) 56 14= 4
L’opération peut s’écrire : 14 × 4 = 56 14 et 4 sont les diviseurs de 56
56 est le multiple de 14 et 4
") 7 × 11 = 77
7 et 11 sont les diviseurs de 77 77 est le multiple de 7 et 11
Exercice 2 :
) 8 est un diviseur de 192 Vrai car 8 × 24 = 192
) 65 est un multiple de 9 Faux car 65 ÷ 9 = 7,22
) 4 est divisible par 8 Faux car 8 est divisible par 4 Ici 4 est un diviseur de 8
!) 18 est divisible par 6 Vrai car 18 ÷ 6 = 3
") 3 est un multiple de 18 Faux car 3 est un diviseur de 18
') 9 est divisible par 27
Faux car 9 est un diviseur de 27
() 42 est un multiple de 6 Vrai car 6 × 7 = 42
ℎ) 5 est un diviseur de 25 Vrai car 5 × 5 = 25
*) 52 est divisible par 13 Vrai car 52 ÷ 13 = 4
+) 64 est un diviseur de 8
Faux car 8 est un diviseur de 64
2 3 4 5 6 9 10
5
63
147
4 212
2 584
6 755
5 813
1 460
177
Exercice 4 :
a) 35 est divisible par : 1, 5, 7, 35 35 n’est pas un nombre premier b) 41 est divisible par : 1, 41 42 est un nombre premier
c) 292 est divisible par : 1, 2, 4, 73, 146, 292 292 n’est pas un nombre premier d) 139 est divisible par : 1, 139 139 est un nombre premier
e) 16 est divisible par : 1, 2, 4, 16 16 n’est pas un nombre premier f) 39 est divisible par : 1, 3, 13, 39 39 n’est pas un nombre premier g) 461 est divisible par : 1, 461 461 est un nombre premier
Exercice 5 : a) 15 et 33
15 est divisible par 1, 3, 5, 15 33 est divisible par 1, 3, 11, 33
Leur plus grand diviseur commun est 3 donc 15 et 33 ne sont pas premiers entre eux.
b) 67 et 13
67 est divisible par 1, 67 13 est divisible par 1, 13
Leur plus grand diviseur commun est 1 donc 67 et 13 sont premiers entre eux.
c) 40 et 28
40 est divisible par 1, 2, 4, 10, 40 28 est divisible par 1, 2, 4, 7, 14, 28
Leur plus grand diviseur commun est 4 donc 40 et 28 ne sont pas premiers entre eux.
d) 147 et 12
147est divisible par 1, 3, 49, 147 12 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 12
Leur plus grand diviseur commun est 3 donc 147 et 12 ne sont pas premiers entre eux.
Exercice 6 :
6
) 48 18
48 est divisible par 1, 2, 3, 6, 8, 16, 24, 48 18 est divisible par 1, 2, 3, 6, 9, 18
Leur plus grand diviseur commun est 6 48
18= 48÷ = 18÷ ==>
?
) 243 15
243 est divisible par 1, 3, 9, 27, 81, 243 13=5 est divisible par 1, 3, 5, 15
Leur plus grand diviseur commun est 3 243
15 =243÷ ? 15÷ ? = >@
A
) 130 78
130 est divisible par 1, 2, 5, 10, 13, 130 78 est divisible par 1, 2, 3, 26, 39, 78 Leur plus grand diviseur commun est 2
130
78 =130÷ B 78÷ B ==A
?C
