A476 – Passage d’une année à l’autre [*** à la main]
Les entiers naturels x et y positifs obéissent à la relation 2010 x² + x = 2011y² + y.
Prouver que x – y est un carré parfait p² dont on donnera les trois plus petites valeurs possibles.
Solution proposée par Patrick Gordon La relation peut s'écrire :
[2010 (x + y) + 1] (x – y) = y² Si (x – y) n'est pas un carré parfait, on a :
(x – y) = p²q,
en notant p² le produit de ses facteurs premiers d'exposants pairs et q un nombre non carré parfait jusqu'à preuve du contraire (si q est égal à 1 ou à un carré parfait, (x–y) est un carré parfait).
De même, alors, on a :
[2010 (x + y) + 1] = r²q et donc :
pqr = y.
Donc :
x + y = (x – y) + 2y = p²q + 2pqr = pq (p+2r) et par conséquent :
[2010 (x + y) + 1] = 2010 pq (p+2r) + 1 = r²q Donc :
[r² – 2010 p (p+2r)] q = 1
Le produit de deux entiers ne peut être égal à 1 que si les deux le sont. Donc q = 1 et il est donc établi que (x–y) est un carré parfait. Cela implique, au passage, que [2010 (x + y) + 1] est lui-même un carré parfait.
En outre, on a aussi :
r² – 2010 p (p+2r) = 1
Ce qui se réécrit sous la forme d'une équation de Pell : 2010 p² + 4020 pr – r² + 1 = 0
Sur le site de Dario Alpern, on trouve la solution générale :
If (x,y) is a solution.
Xn+1 = P Xn + Q Yn Yn+1 = R Xn + S Yn
P = 1 Q = 2 R = 4020 S = 8041
Or une solution connue est :
p = 2 r = 8041 Les suivantes sont :
p = 16 084 p = 129 347 526
