11. Cinématique relativiste
A. La transformation de Lorentz.
L’extension du principe de la relativité à toutes les lois de la physique (y compris l’électromagnétisme) conduit à rejeter la notion de temps absolu.
Deux observateurs, appartenant à deux référentiels galiléens (R) et (R’), en translation relative à la vitesse (constante) ve suivant la direction de Ox et Ox’, et dont les origines O et O’ coïncident pour t = t’ = 0 (conditions de la transformation spéciale de Lorentz), relient leurs observations par la transformation :
( )
(
2)
2 2' ; ' ; ' ;
' / ; avec 1/ 1 / .
e e
e e e e
x x v t y y z z
t t v x c v c
γ
γ γ
= − = =
= − = −
Cette transformation porte le nom de transformation de Lorentz ; on l’inverse facilement en changeant ve en – ve.
La transformation de Lorentz laisse invariante l’expression :
( )
2( )
2( )
2( )
22
2 1 2 1 2 1 2 1
c t − t − x − x − y − y − z − z
Appelée intervalle (ou carré de l’intervalle) entre l’évènement (x1, y1 , z1, t1) et l’évènement (x2, y2, z2 , t2). L’invariance de l’intervalle peut s’établir de façon directe, comme conséquence du principe de relativité, et on peut en déduire la transformation de Lorentz.
Suivant le signe de cette expression, on distingue les intervalles du genre temps (intervalles positifs), des intervalles du genre espace (intervalles négatifs).
B. Dilatation du temps.
Une horloge d’un référentiel (R’) est un système cyclique, fixe dans (R’), découpant des laps de temps égaux
T
0', mesurés dans (R’) ;T
0' est la période propre de cette horloge.Dans (R), sa période apparente est :
' ' 2 2 '
0 e 0
/ 1
e/
0T = T γ = T − v c > T
.C’est le phénomène de dilatation des temps.
C. Contraction des longueurs.
Pour mesurer dans (R) une règle placée dans (R’), et de longueur
L
'0 dans (R’) (longueur propre), on doit repérer ses deux extrémités au même instant t de (R ), un observateur de (R) lui attribue alors la longueur :' ' 2 2 '
0
/
e 01
e/
0L = L γ = L − v c < L
C’est le phénomène de contraction des longueurs.
D. Composition des vitesses.
La « composition des vitesses » se traduit par les relations :
( ) ( )
2 2
' '
2 2
1 /
, .
1 / 1 /
e e
e e
v v c
v v
v v
v v c v v c
⊥
⊥
− −
= =
− −
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ Ⅱ
E. Univers de Minkowsky.
On considère un évènement comme un point de cordonnées (x, y, z, ct) dans un espace à quatre dimensions. Cet espace, muni de la pseudo-norme correspondant à l’intervalle, s’appelle l’espace-temps ou univers de Minkowsky. La transformation de Lorentz peut s’écrire sous forme matricielle :
0 0 '
' 0 1 0 0 ' 0 0 1 0 0 0 '
e
e e
e
e e
x v x
c
y y
z z
v
ct ct
c
γ γ
γ γ
−
= =
−
La transformation de Lorentz s’interprète alors comme un changement de base dans l’espace-temps ; autrement dit, la matrice (4
×
4) que nous avons introduite, et qui porte le nom de matrice de Lorentz, traduit une rotation dans l’espace-temps.Un changement de référentiel galiléen correspond donc à une rotation dans l’espace-temps.
F. Principe de relativité.
L’introduction de l’espace-temps, ou univers de Minkowsky, permet de donner une forme très simple au principe de relativité, suivant lequel la forme des lois physiques est invariante par changement de référentiel galiléen.
Le principe de relativité revient en effet à dire que les lois physiques doivent être invariantes vis-à-vis d’une rotation (ou plus généralement d’un déplacement) dans l’espace-temps, donc qu’elles doivent s’exprimer par l’égalité de deux « êtres géométriques » de même nature de l’espace-temps (égalité de deux scalaires invariants, de deux quadrivecteurs, de deux tenseurs…).
G. Quadrivecteurs.
Quatre quantités A1, A2, A3, A4 sont les composantes d’un quadrivecteur noté A% , si, dans un changement de référentiel galiléen, elles se transforment par la matrice de Lorentz.
Le « produit scalaire » de deux quadrivecteurs A% et B% a pour expression :
( A B
1 1A B
2 2A B
3 3) A B
4 4= − + + +
A.B% % .
On peut facilement vérifier que « le produit scalaire » de deux quadrivecteurs est un invariant vis-à-vis de la transformation de Lorentz.
Un quadrivecteur est dit du genre temps ou du genre espace, suivant que
( )
A% 2est une quantité positive ou négative.On forme des quadrivecteurs à partir de M% qui a pour composantes :
( , , , x y z ct )
=
M% noté aussi M%
= ( , )
rct
.Citons en particulier le quadrivecteur vitesse d’une particule animée d’une vitesse v dans un référentiel (R) :
( γ γ c )
V =% v, avec
γ = 1/ 1 − v
2/ c
2 .En dynamique relativiste, on introduit le quadrivecteur impulsion énergie :
( / E c )
P = p,% avec p =
γ m
v etE = γ mc
2.Pour une onde électromagnétique plane, on introduit le quadrivecteur d’onde :
( ω / c )
=
K% k,Si l’on applique la transformation de Lorentz au quadrivecteur vitesse, on retrouve la « composition des vitesses » ; appliquée au quadrivecteur d’onde, la transformation de Lorentz fournit à la fois la théorie de l’effet Doppler, et celle de l’aberration.
Remarque : le temps propre d’une particule.
Considérons une particule en mouvement quelconque dans un référentiel (R) ; à l’instant t, elle occupe le point de coordonnées (x, y, z), et à l’instant t + dt, le point de coordonnées (x + dx, y + dy, z + dz). Du fait de l’invariance du carré de l’intervalle, l’expression :
( )
2( )
2( )
2( ) ( )2
2 2 2 2
d d d d d
c t − x + y + z = c − v t
.( d x = v t
xd )
où v est la vitesse de la particule dans (R), est manifestement un invariant relativiste ; on pose :
( c2 − v
2) ( ) d t 2 = c
2( d τ )
2
= c
2( d τ )
2soit
d t = d τ
avecγ = 1/ 1 − v
2/ c
2Le temps propre
τ
ainsi introduit, qui est un invariant, est très commode pour« construire » des quadrivecteurs, en particulier V%
= d
M%/ d τ
et
d / d τ
Γ%=
V%
0 0 '
' 0 1 0 0 ' 0 0 1 0
0 0 '
e
e e
e
e e
