Trajet des rayons X dans un cristal parfait au voisinage de la réflexion totale

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Trajet des rayons X dans un cristal parfait au voisinage de la réflexion totale

André Authier

To cite this version:

André Authier. Trajet des rayons X dans un cristal parfait au voisinage de la réflexion totale. J. Phys.

Radium, 1962, 23 (12), pp.961-969. �10.1051/jphysrad:019620023012096100�. �jpa-00236737�

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

ET

LE RADIUM

TRAJET DES RAYONS X DANS UN CRISTAL PARFAIT AU VOISINAGE DE LA

RÉFLEXION

TOTALE Par ANDRÉ

AUTHIER,

Laboratoire de

Minéralogie-Cristallographie,

Faculté des Sciences, Paris.

Résumé. 2014 On

rappelle

les conditions aux limites à l’entrée d’une onde électromagnétique ^dans

un cristal pour le montage par réflexion. Un pinceau de rayons ^X peut ^{dans ce cas}

pénétrer

^dans

le cristal au voisinage de la réflexion totale. On se

place

^{dans le cas} particulier ^{où ce faisceau sort}

par ^une face latérale du cristal. On calcule théoriquement l’intensité des faisceaux émergents. ^A l’aide d’un montage utilisant la multiple réfraction des rayons X, ^{on met en évidence} expérimen-

talement l’existence des faisceaux émergents pour ^un angle d’incidence donné. Les mesures quanti-

tatives d’intensité sont en bon accord avec les valeurs théoriques. ^Le montage ^utilisé permet ^de

serrer de très près la courbe de réflexion intrinsèque ^{sur un cristal.}

Abstract. ²⁰¹⁴ The boundary conditions on the entry ^{of an} electromagnetic ^{wave in a}

perfect

crystal ^{for the} Bragg setting ^{are recalled. A} pencil ^of X-rays may then ^enter the crystal ^{set near}

total reflection. Calculations and experiments agree in the particular ^case where this beam

comes out through ^a side face of the crystal. The intensities of the emerging ^{beams are}

calculated theoretically. ^{With a} setting making ^{use of the} multiple refraction of X-rays, ^the

existence of the emerging ^{beams for a} given glancing angle ^{is shown} experimentally. Quanti- tative intensity measurements are in

good

^{agreement with the} theoretical values. The setting

used enables one to obtain a curve very ^near the intrinsic reflection curve of a crystal.

Tome 23 No 11 DÉCEMBRE 1962

I. Introduction. ^- La théorie

dynamique

^{de la}

diffraction des rayons X ^montre

qu’au voisinage

de la réflexion totale sur un cristal

parfait

^une

partie

^de

l’énergie pénètre

à l’intérieur du cristal et se propage suivant ^un

trajet

^bien

défini,

^fonc-

tion de

l’angle

d’incidence de l’onde

[1], [2].

Borrmann,

Hildebrandt et

Wagner [3]

^{ont révélé}

expérimentalement

l’existence de ce

phénomène.

Mais ils ne

disposaient

pas d’une onde incidente

plane

^et

monochromatique

^{et les}

phénomènes qu’ils

ont observés étaient des

phénomènes globaux

^dus

à la

présence

simultanée dans le cristal des

trajets correspondant

^{à tous les}

angles

d’incidence pos- sibles. Ceci leur

permet

d’ailleurs d’obtenir d’inté- ressants

phénomènes

d’interférence

[4].

^{A l’aide}

d’un

montage

décrit antérieurement

[5], [6],

^nous

avons montré la

possibilité

^{de faire}

l’analyse

^des

phénomènes

^en fonction de

l’angle

d’incidence

[7].

Nous nous proposons de décrire

qualitativement

^et

quantitativement

^ce

phénomène

^{dans le cas}

parti-

culier où

l’énergie

^sort par ^une face latérale du cristal.

’

II.

Rappel

^sur la surface de

dispersion.

^-

Lorsque

les conditions de

Bragg

^sont presque ^réa-

lisées, l’origine

^{0 et un autre noeud}

H(h, k, l)

^du

réseau

réciproque

^{sont au}

voisinage

^{de la}

sphère

d’Ewald. Il leur

correspond

l’existence dans le cristal de deux familles d’ondes dont les vecteurs d’onde sont

respectivement

presque

parallèles

^aux

directions incidente et réfléchie. Ces ondes se pro-

pagent

par

paires

constituées d’une onde de

chaque famille,

^et

appelées champs

d’ondes. Elles ^sont re-

présentées

^dans

l’espace réciproque

par leurs ^vec- teurs d’onde OP et HP. Le lieu du

point ^P,

^caracté-

ristique

^d’un

champ

^d’ondes

donné,

^est

appelé surface

^de

dispersion.

^{C’est une}

hyperbole

^{dont les}

asymptotes

^{sont les} cercles de centres 0 et H et de rayon

K,

^{confondus avec leurs}

tangentes To

^et

Th fig.1

^et

2) :

où k ⁼

1/À

^est le nombre d’onde dans le

vide,

n l’indice de réfraction du cristal pour les rayons X

(très légèrement

^inférieur

à 1)

et X. ^est le terme de rang ^zéro du

développement

^en série de Fourier de la

susceptibilité électrique.

Il contient une

partie imaginaire qui permet

^{de tenir}

compte

^de

l’absorp-

tion

photoélectrique.

Lorsque

^le

point

^P

s’éloigne

^{de la}

partie

^centrale

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019620023012096100

962

de

l’hyperbole

pour ^{se trouver sur} l’un des deux cercles

asymptotes,

^il

correspond

^{à la}

propagation

banale d’une seule onde dans le

cristal, qui

^subit

simplement

^le

phénomène d’absorption photoélec- trique

^normal.

Les

amplitudes D0

^{et Dh} des inductions élec-

triques

des deux ondes constituant un

champ

d’ondes et les distances

Xo

^et

^Xh

^{de P aux} asymp- totes

To

^et

^Th

^de

l’hyperbole

^sont liées par la relation :

où xh et xh ^sont les termes de rang

(h, k, 1)

^et

(h, k, ¹⁾

du

développement

^{en série} de Fourier de la suscep- tibilité

électrique ;

^{C est}

égal

^{à 1 ou cos 26 selon}

que l’onde ^est

polarisée perpendiculairement

^ou

parallèlement

^au

plan d’incidence, j indique

^{si le}

point

^P

appartient

^{à la branche 1 ou} 2 de la surface de

dispersion.

L’équation ⁽²⁾

^{s’obtient en faisant sur}

l’équation

de

propagation

déduite des

équations

^{de Maxwell}

la transformation de Fourier

suggérée

par la

triple périodicité

^de la densité

électronique [2].

Il est

possible

de démontrer

[8]

que la propa-

gation

^de

l’énergie

relative à un

champ

^{d’ondes se}

fait dans la direction de la normale à la surface de

dispersion

^en

P, point caractéristique

^du

champ

d’ondes.

L’angle

entre la direction de la trace du

plan

réticulaire et la direction de

propagation ( fig.

^{1 et}

2)

^{est donné}

d’après [6], équation (11-1-14),

^{par :}

où 0 est

l’angle

^de

Bragg.

^{Il est}

possible

^{de montrer}

que ^ce résultat est

exact,

^même si le cristal est

absorbant.

Une onde

plane

^{incidente sur} le cristal est carac-

térisée dans le vide par l’extrémité M de son vec-

teur d’onde OM. Cette extrémité est située sur un

cercle de centre 0 et de

rayon k

que l’on

peut

^assi-

miler à sa

tangente

^{T. Soit La} l’intersection des cercles de centres 0 et H et de _rayon

k ;

^ce

point correspond

^{à un vecteur} d’onde pour

lequel

^la

condition

géométrique

^de

Bragg

^{serait exactement}

satisfaite.

L’angle

^{A6 entre le vecteur d’onde OM}

de l’onde incidente et le vecteur d’onde OLa de l’onde

plane remplissant

exactement les conditions de

Bragg,

que ^nous

appelons

^{écart à} l’incidence de

Bragg,

^est

représenté

par :

La condition de la continuité de la

composante tangentielle

^{du vecteur d’onde à} l’entrée de l’onde dans le cristal se traduit par ^une construction

géo-

métrique analogue

^à la construction de

Huygens.

La normale à la face d’entrée menée de 1B1 coupe

l’hyperbole

^aux

points ^Pj caractéristiques

^des

champs

^d’ondes

pouvant

^se propager dans le cristal.

Si cette normale est

comprise

^dans

l’angle

^{entre les}

asymptotes qui

contient la trace des

plans

^réticu-

laires

(médiatrice

^de

OH),

^{on est dans le cas de la}

transmission

( fig. 1 )

^et la normale coupe les deux branches de la surface de

dispersion.

FIG. 1. ^- Montage par transmission.

a) Surface ^de dispersion, ^{Mz : normale à} la face d’entrée du cristal.

b) Trajet des rayons, le trajet ^de l’énergie ^{dans le} cristal ^se fait dans la direction des normales Pj Sj ^{à la}

surface de dispersion. ^{On a} représenté ^{en traits} pleins ^la

trace des plans réticulaires.

FIG. 2. ^- Montage par réflexion.

a) Surface ^de dispersion, ^{Mz : normale à la face} d’entrée ; Pl ^{z’ : normale à} la face latérale. La normale à la surface de dispersion ^aux points d’intersection avec

la normale à la surface d’entrée est dirigée ^{vers l’inté-}

rieur du cristal pour le point Pl ^{mais vers} l’extérieur pour

P1.

b) Trajet ^des rayons, l’énergie ^ne peut pénétrer que suivant la direction de Pl Sl. ^{On a} représenté ^{en traits} pleins ^{la trace des} plans réticulaires.

Si la

normale

^est

comprise

dans l’autre

angle

formé par les

asymptotes,

^{on est. dans le cas de la}

ré f lexion

^et la normale coupe ^une seule branche de la surface de

dispersion (fig. 2).

III.

Étude théorique

^{du cas} de la réflexion. ^- 111-1. DOMAINE DE RÉFLEXION TOTALE. ^- Les coordonnées du

point

d’intersection de la normale à la face d’entrée avec

l’hyperbole

^{sont données}

d’après [6], équation (1-4-5),

par : ¹

avec

où :

et

sont les

angles

^{entre les} directions incidente et

réfléchie, respectivement,

^avec la direction de la normale à la face

d’entréé, dirigée

^vers l’intérieur du cristal.

L’équation (2) s’écrit,

^{à l’aide de}

(6) :

a)

^{Cas sans}

absorption.

^{- Si}

/n/

^est

supérieur

^à

1,

la normale à la face d’entrée coupe ^une branche de la surface de

dispersion

^{en deux}

points

réels. Les normales à

l’hyperbole

^{en ces}

points

^sont

dirigées

l’une vers l’intérieur du cristal et l’autre vers

l’extérieur

(fig. 2).

Si 1"1)1

^est inférieur à

1,

la normale coupe

l’hyper-

bole en des

points imaginaires.

^La

quantité IR 12 est, d’après (9), égale

^à

yo J)yh[

^ou à 1 si la réflexion est

symétrique (plans

réflecteurs

parallèles àlasurface).

On est dans le cas de la

réflexion

totale. La direction de

propagation

^de

l’énergie,

^{si elle}

existait,

^se

ferait, d’après l’équation (4),

^le

long

^des

plans

^réti-

culaires pour ^tout le domaine de réflexion totale.

En

fait,

ainsi que ^nous le verrons

plus loin,

^aucune

énergie

^{ne se} propage ^{car la} section efficace du

pinceau

de rayons X devient nulle. Le domaine de réflexion totale

qui correspond

^{à :}

est

représenté géométriquement

^{sur la}

figure

^{3. On}

peut

remarquer ^sur la même

figure

que le décen-

trage angulaire

^{entre l’inci-}

Domaine de réflexion ^{totale :}

Déplacement ^{du centre} de la raie : La ^{C =} kxo jsin ^{2 0.}

dence de

Bragg

^et le milieu du domaine de ré- flexion est

égal

^à la déviation

angulaire

d’un rayon

ayant traversé,

loin des conditions de

Bragg,

^un

prisme d’angle

^{au sommet 90°.}

b)

^{Cas avec}

absorption.

^{- La} surface de

disper-

sion est

imaginaire

^{et l’on}

perd

^ce

support géo- métrique

^{direct. La}

quantité )R [ 2 n’est jamais égale

à 1 et il

n’y

^a

plus

de domaine de réflexion totale.

La direction de

propagation

^à l’intérieur du cristal est donnée par

(4).

^Comme

JRJ2

^n’est

jamais égal

à

1,

^xi

n’est jamais

^{nul et une faible}

partie

^de

l’énergie

^se propage

toujours

^{dans le}

cristal, quel

que soit

l’angle

d’incidence.

L’appendice

^AI

donne des

expressions permettant

de calculer

[R)2

dans le cas d’un cristal absorbant.

FiG. 4.

964

111-2. CONDITIONS AUX LIMITES SUR LES AMPLI- TUDES. ^- Soient

Do

^et

Dn(a)

^les

amplitudes

^de

l’induction

électrique

^des ondes incidente et ré- fléchie sur la face extérieure du

cristal, 0K, (a )etkh (a)

de modules

k,

^{leurs vecteurs d’ondes. Les conditions}

aux limites

prévues

^{par les}

équations

^{de Maxwell}

exigent

la continuité des

composantes tangentielle

du

champ électrique

^et normale de l’induction.

Comme l’induction et le

champ

^ont des valeurs très

voisines,

^on les assimile

[2]

^{et on} écrit la conti- nuité de l’induction

électrique :

Soient

To(a}, Th(a), Tai, Thj les composantes tangen-

tielles des vecteurs d’ondes. Prenons

l’origine

^du

vecteur de

position

^{dans le}

plan

de la surface. Il vient :

Les conditions sur la continuité de la compo- sante

tangentielle

^{du vecteur} d’onde s’écrivent :

En

multipliant chaque

^{membre de}

(12)

^succes-

sivement par exp ^-

27r i T0(a). ro

^et par et en

intégrant,

^{on trouve}

Les deux

champs

^d’ondes

pouvant

^{exister en un}

point

^{M très} voisin de la

surface,

^à l’intérieur du

cristal, correspondent,

^{nous l’avons vu}

plus haut,

l’un à la

propagation d’énergie

de l’extérieur du cristal ^vers l’intérieur et l’autre à la

propagation d’énergie

^de l’intérieur vers l’extérieur

( fig. 2).

^Dans

le dernier _cas, de

l’énergie

^ne

peut

^{arriver en M de}

l’intérieur du cristal que si elle

provient

^{d’un autre}

endroit du

cristal,

^en

pratique

la face inférieure du cristal.

Supposons

que l’onde incidente soit limitée par

une fente de dimensions

petites

par

rapport

^aux

dimension du cristal

(fig. 4)

^mais suffisamment

large

pour que le domaine excité ^sur la surface de

dispersion puisse

^{être considéré comme}

ponctuel

^et

l’onde comme

plane.

Lorsque

l’on écrit les conditions aux limites au

point d’impact

^du

pinceau

de rayons, ^{on ne} tient

compte

que du

champ

^{d’ondes se}

propageant

^vers l’intérieur du cristal car aucune

énergie

^ne

peut

arriver en ce

point

suivant la direction de propa-

gation

de l’autre

champ

d’ondes. Les

équations (13)

s’écrivent tout

simplement [1].

La

quantité IR12

^est

égale

^{à :}

Dans toute la suite nous supposerons que ^nous

sommes dans ces conditions.

111-3. CONDITIONS AUX LIMITES SUR LA FACE LATÉRALE DU CRISTAL. ^- Nous supposerons

égale-

ment dans toute la suite _que le

pinceau

de rayons X

qui pénètre

dans le cristal sort par la face latérale du cristal

(fin. 2, 4, 6).

La condition de la continuité de la

composante tangentielle

^se traduit par ^une construction

géométrique

schématisée sur la

FIG. 5. ^- Schéma du montage.

Fc1 == Cl J.

En traits pleins : rayonnement Krx2.

En traits

anterrompus :

rayonnement Kat.

riG. 6. ^- Agrandissement ^{de la} figure ^{5 montrant le} trajet des rayons dans le cristal pour deux longueurs

d’onde.

1 :

Toa>(a1) ;

^{2 :} TO(a)(a2) faisceaux directs.

3 : Tod>(«1) ; ^{4 :} To(d) (C’l2)

faisceaux transmis dans la direction incidente 5 : Th(d)(Ocl) ; ^{6 :} Tji(d) (OC 2)

faisceaux transmis dans la direction réfléchie 7 : Thal(«1) ; ^{8 :}

Th (a) ( C’l2)

^{faisceaux réfléchis}

P : film

photographique.

figure

2. Deux ondes

prennent naissance

^{à l’exté-} rieur du

cristal, T 0 (d)

^et

Th Cd),

^{dans les directions}

incidente et

réfléchie, respectivement,

^{de vecteurs}

d’onde :

-- -- - - - - -

Nt

^{est situé sur} la droite T’

tangente

^{au cercle}

de centre H et

de’rayon k

^et

porté,

^comme

Mj,

par ^la normale

Pj

^{z’ à} la face latérale du cristal.

Nous

nous sommes

placé

^{dans le cas}

particulier

^{où :}

Les conditions ^sur les

amplitudes

s’écriveflt :

Si z’ est la distance du

point d’impact

^{du fais-}

ceau de _rayons X à la face latérale du

cristal,

^ces

équations s’écrivent,

^{en tenant}

compte

^de

(2), (14),

(16) :

- -

Ce sont les carrés des modules des inductions

électriques qui

^sont accessibles à la mesure. Comme

N; Mj

^est

réel,

il vient :

où

T(u)

^{est la}

partie imaginaire

^{de u.}

La valeur de

Mj Pj

^{est donnée}

d’après (8), (17)

et

d’après [6], équation (1-4-11),

par :

Nous

indiquerons

^dans

l’appendice

A1 le calcul de

M Pj lorsque

le cristal est absorbant.

111-4.

ÉNERGIE

SORTANT PAR LES FACES LATÉ-

RALES DU CRISTAL. ^-

L’équation (14)

^montre que les inductions

électriques

des deux ondes existant dans le cristal sont

respectivement égales

^{aux in-}

ductions

électriques

des ondes incidente et réfléchie

sur la face extérieure du cristal. Ceci n’entraîne bien entendu pas que les

énergies transportées

par

ces ondes soient

égales.

Il faut tenir

compte

^des

sections efficaces des

pinceaux.

^Soient

Lo

^et

^Lh

^les

sections des faisceaux incident et réfléchi sur la face

supérieure

^du

^cristal, Lo

^et

^Lh

les sections des faisceaux

émergents

par la face latérale du cristal

( fig. 4).

^Les

pouvoirs

réflecteurs sont donnés par : faisceau Tl,(a) :

faisceau

faisceau

Soit oc’

l’angle (M T, MS)

^{entre la trace de la face}

supérieure

du cristal et la direction de

l’énergie

dans le cristal

(fig. 4).

^{oc’ est lié à}

l’angle

^{oc défini}

par

(3) :

où

est

l’angle

^{entre la trace du}

plan

réticulaire et la normale à la face d’entrée. Il est facile de montrer que l’on a :

.

Dans le cas d’une réflexion

symétrique (Iyil ^{== Yo)?}

ces relations se

simplifient

^{et l’on} a, à l’aide de

(4) :

Lorsque

le cristal est non

absorbant,

^{on vérifie}

aisément sur les

équations ⁽²⁵⁾

la conservation de

l’énergie :

^,

Nous vérifierons dans

l’appendice

^A-2

l’équa-

tion

(26)

pour le ^cas d’une réflexion non

symétrique.

FiG. 7. ^- Photographie ^{des faisceaux} lorsque l’angle

d’incidence est compris [dans le domaine de réflexion totale. Silicium, ^M0Koe (220) - ( X 11).

1, 2, 7, 8, ^voir figure ^6.

966

Selon _que l’on est d’un côté ou de l’autre du domaine de

réflexion,

la normale à la face d’entrée coupe l’une ^ou l’autre des branches ^de

l’hyperbole.

Fm. 8. ^-

Photographie

^des faisceaux ; ^{A 6 =} 1,15 s, z’ ⁼ 0,6 ^mm ( X 11).

FIG. 9. ^- Agrandissement ^{de la} partie

supérieure

^{de la} figure ^8.

5, 6, 7, ^{8 : voir} figure ^{6. On} remarque que la trace

5 + 6 est

plus

étroite que les traces ⁷ et 8 ( X 100).

FiG. 10. ^- Agrandissement ^{de la} partie inférieure de la

figure ^8.

1, 2, 3, 4, ^voir figure ⁶ ( x 100).

On sait _que

l’absorption

^est anormalement forte ou

faible selon la branche ^et d’autant

plus

que l’on ^se

rapproche

^{du centre du} domaine de réflexion

(voir,

par

exemple, le

^tableau

A-1-1).

^{Ceci se} traduit par

une forte

asymétrie

^{des courbes}

représentatives

des

expressions (25) (fig. 11

^et

12).

FIG. 11. - Profil de réflexion intrinsèque ^{sur un cristal de} silicium ; ^MoKa (220).

En traits pleins : ^courbe théorique.

CroM" : valeurs expérimentales.

;n traits pointillés: domaine de réflexion totale.

FIG. 12. ^- Courbe de variation de l’intensité du faisceau transmis dans la direction incidente. Silicium, MOKOE, (220), z’ ⁼ 0,86 ^mm.

En traits pleine : ^courbe théorique.

Croix : valeurs expérimentales.

En traits pointillés : ^courbe théorique ^{en ne tenant} compte

de l’absorption que par ^un facteur _exp ^- yd.

On remarque que

l’absorption

^est anormalement élevée

ou faible d’un côté ou de l’autre du domaine de réflexion.

Les

expressions (25)

^sont calculées numéri-

quement

à l’aide des

expressions

données dans

l’appendice

^A-1.

IV.

Étude expérimentale.-

^{IV-1. MÉTHODE. -}

Nous avons utilisé le

montage

que nous avons

déjà

décrit

[5], [6]

^et

qui permet

^{d’obtenir un}

pinceau

dont tous les rayons ont le même écart à l’incidence

de

Bragg.

^" ,

Le

rayonnement

^{issu du}

foyer

^{F du tube}

frappe

un

premier

^cristal

Cl réglé

^à l’incidence de

Bragg

et dont les

plans

réflecteurs sont

perpendiculaires

^à

la face d’entrée du cristal

( fig. 5). Chaque

rayon du faisceau issu de ^ce cristal

correspond

^{à un}

angle

d’incidence bien déterminé. Une fente très fine

f,

^vil

de

largeur

30 microns

environ, permet

d’isoler de

ce faisceau un

pinceau

^{dont la}

divergence angulaire est,

pour ^une

longueur

^d’onde

donnée,

^{de l’ordre}

TABLEAU IV-1

COMPARAISON DES VALEURS DE L’ÉCART A L’INCIDENCE DE BRAGG CORRESPONDANT A UNE EXPÉRIENCE DONNÉE,

MESURÉES DE PLUSIEURS MANIÈRES

de

0,05 seconde

d’arc environ

(rayonnement Mo Ka, réflexion (220),

^{silicium sans} dislocation de

2,78 mm d’épaisseur).

En fait la source est

polychromatique.

^{Tous les}

rayons

qui

ont traversé

Ci

^{avec le} même écart à l’incidence de

Bragg, quelle

que soit leur

longueur d’onde, passent

par ^{un même}

point

^{dont la}

posi-

tion

dépend

de la valeur de cet écart. Il suffit de

placer

^{la fente}

f

^{en ce}

point

pour isoler un

pinceau

dont tous les _rayons ont le même écart à l’inci- dence de

Bragg.

Si l’on fait tomber ce

pinceau

^{sur un deuxième}

cristal

identique

^au

premier,

^et que l’on utilise la même

réflexion,

les rayons du

pinceau

issu de la fente ont

également

^{tous le}

même

^{écart à l’inci-}

dence de

Bragg

par

rapport

^au

deuxième

^cristal.

Seule une

petite partie

de la surface de

dispersion

est excitée et tout se passe ^comme si l’onde inci- dente était

plane

^et

monochromatique.

IV-2. RÉSULTATS. ^- Nous avons

représenté

^sur

la

figure

^{6 le}

trajet

des rayons

correspondant

^aux

longueurs

^d’ondes

Kal

^et

Ka2

pour ^une valeur donnée de l’écart à l’incidence de

Bragg.

Nous sup- posons que la réflexion est

symétrique.

^Nous

appel-

lerons

Th(a){aj), Th(d){aj), T o(d){aj),

les faisceaux ré- fléchis et

émergents

par la face

latérale, respecti-

vement

(j

⁼

1, 2).

Les faisceaux

Th(a)(tlj)

^et

T o(d)(Xj)

sont

divergents.

^En

^revanche,

les faisceaux

Th (d) (Otj) convergent

de la même manière que les

pinceaux

issus du

premier

cristal. On

place

^{un film}

photo- graphique

^{P au}

point

de convergence de ^ces deux

pinceaux,

^orienté

perpendiculairement

^aux

plans

réticulaires. Si la distance de la fente

f

^{au deuxième}

cristal est de l’ordre de 10 _mm, la

séparation

^des

traces

Tha){aj)

^{entre elles est de} l’ordre de 20 microns

(fin. 9).

Les

photographies (7)

^et

(8)

^{ont été}

prises

^dans

ces conditions pour deux valeurs différentes de

l’écart à l’incidence de

Bragg.

^{Dans le}

premier

cas,

l’angle

d’incidence était

compris

dans le domaine de réflexion

totale ;

les faisceaux

T o(d)

^et

Th (d)

n’existent pas

puisqu’aucune énergie

^ne

pénètre

dans ce cas à

l’intérieur

du cristal. Les

photo- graphies (9)

^et

(10) sont

^des

agrandissements

^{de la}

photographie (8).

^La

photographie (9)

^{montre les}

traces des faisceaux

Th, (a) (aj) qui

^se recouvrent par- tiellement et celle des faisceaux

Th(d)(oci) qui

^sont

confondues. On remarque que ^cette dernière trace est

plus

^étroite que les

autres,

^{comme il .est}

prévu (fig.

^{4 :}

Lh Lh).

^La

photographie (10)

^{montre les}

traces

T o(a)(Clj)

du faisceau direct

qui

^s’est

propagé

^à

l’extérieur du

cristal, qui

^est

plus

^étroit que le faisceau. La trace des bords de ce faisceau se pro-

longe

^à l’intérieur du

cristal ;

^{elle est} vraisembla- blement due à la

présence

^sur les bords du

pinceau

issu de la fente de

rayonnement

incohérent engen- dré par des

phénomènes

^de diffraction. On re-

marque ^sur la même

photographie,

^nettement

, détachée de la trace du faisceau

direct,

^{la trace}

des faisceaux

T o(d)(aj).

^{On ne}

sépare

pas les ^traces

TO(d)(,x1)

^et

T o(d)((l2) ;

^en

effet, pendant ^la prise

^{de la}

photographie

^- pose de

sept

^{heures - la stabilité}

mécanique

^{ne reste} pas

parfaite.

Dans les meil- leures

conditions,

elle ^est assurée

à + 0,05

^s

près ou + 0,10

^s

près.

^{Les traces}

prennent

^{alors un}

léger

^flou.

L’écart à l’incidence de

Bragg

^{a été déduit de}

l’intensité du faisceau

To(d), mesurée pendant

^la

pose, ^à l’aide de la courbe de variation de l’intensité de ce faisceau en fonction de

l’angle

d’incidence

(éq. (25), fcg. 12).

^Il

peut également

^{être déduit}

des écartements entre elles des traces sur les

photo- graphies (9)

^et

(10)

^ainsi que de la

largeur

^{de la}

trace de

Th(d).

^Les différentes valeurs obtenues sont

comparées

^{dans le} tableau IV-I. On voit que l’accord est

bon,

^ce

qui

^montre que ^{tout se} passe bien comme si l’on avait réalisé un

pinceau

^dont

968

tous les rayons ont le même écart à l’incidence de

Bragg, à + 0,05

^s

près.

Nous _avons, d’autre

part,

^{mesuré en} valeur abso-

lue,

à l’aide d’une chambre

d’ionisation,

^{la varia-}

tion des intensités du faisceau

Th(a)

réfléchi sur la face du cristal et du faisceau

To(d)

transmis dans la direction incidente. L’intensité du faisceau

Th(d)

est

trop

faible pour ^être mesurable avec

précision.

Les courbes de réflexion ont été obtenues

point

par

point

^{et sont}

comparées

^{sur les}

figures

^{11 et 12 aux}

courbes

théoriques.

^On

peut

remarquer que l’accord

est satisfaisant. Nous avons

représenté

^{sur les}

mêmes

figures

les courbes de variation que l’on aurait s’il

n’y

avait pas interaction de

l’absorption

et du

phénomène

^de

diffraction,

c’est-à-dire si

l’absorption

n’intervenait dans les calculs que par le facteur exp

- pd (fl. :

coefficient

d’absorption ;

d :

épaisseur

de cristal

traversée).

^Elles

permettent

de mettre en évidence _que

l’absorption

^{est anor-}

malement forte et anormalement faible d’un côté ^et de l’autre du domaine de réflexion. On

peut

^remar-

quer, d’autre

part,

que la méthode utilisée

permet

^de

serrer de très

près

^la courbe de réflexion

intrinsèque

sur le cristal. Un résultat

analogue

^{a été obtenu à}

l’aide d’un

montage

différent par M.

Renninger [9].

V. Conclusion. ^-

L’analyse

^en fonction de

l’angle

d’incidence du

pinceau

de rayons X

qui pénètre

^{dans un cristal}

parfait

^au

voisinage

^{de la}

réflexion totale et sort par ^une face latérale est en

bon accord avec les calculs

théoriques

^{et avec les}

études de G.

Borrmann,

^G. Hildebrandt et H.

Wagner ^[3]

^{et de H.}

Wagner ^[1].

^{Elle nous a}

permis

^{en outre} de confirmer que le

montage

^utilisé

permet

bien d’obtenir ^un

pinceau

^de rayons X dont tous les _rayons ont le même écart à l’incidence de

Bragg.

Nous remercions les

professeurs

^{H. Curien et}

S.

Takagi

pour les conseils

qu’ils

^{nous ont donnés}

au cours de cette étude.

Appendice A-1 ;

Calculs dans le cas d’un cristal absorbant. ^- Dans un cristal

absorbant,

^{les termes}

de

développement

^en série de Fourier de la suscep- tibilité

électrique comportent

^une

partie imagi-

naire :

La

partie imaginaire

^{est très} faible devant la

partie

^réelle.

Le

paramètre -1

^est

également imaginaire

^{et l’on}

a, ^en

négligeant

^{les termes} du deuxième ordre :

-1

p

H m E-

Si le cristal est

centrosymétrique (xh

⁼

Xh)

^{et si}

la réflexion est

symétrique (Yo

⁼

[Vht)? l’expression

de _-li se

simplifie :

Dans les

expressions

^{de R et de}

^Mj Pj,

^{il inter-}

vient la

quantité B,/- 2 - 1(éq. 6, 9, 21).

^{Il est}

nécessaire de calculer

R(yn2 ^{-1 )}

^et

J(Y112 ^{- 1).}

Les

expressions dépendent

de la valeur

comparée de )7]r par rapport

^{à 1. Nous avons} calculé des

expressions approchées

^{à 1}

o/oo près

pour les do- maines de variations

indiqués

^sur le tableau A-1-I.

On déduit de ces

expressions

^{celles de}

3( Mj Pj)

^et

de

IRJ2..

^{Le choix du}

signe

^{dans les}

équations (6)

et

(9)

^{se fait en} choisissant le

champ

d’ondes dont la direction de

propagation est

vers l’intérieur du cristal. On vérifie sur les

expressions

^{obtenues et}

données dans le tableau A-1-I que

lorsque /Nr, tend

vers l’infini on a bien

simplement l’absorption photoélectrique.

Appendice

^{A-2. - Il}

s’agit

de démontrer la conservation de

l’énergie

^{dans le cas} d’un cristal

non absorbant. Cette conservation se traduit par

l’équation :

A l’aide des relations

(24),

^{il vient :}

Ceci s’écrit :

Il est

possible,

^d’autre

part,

de calculer

tg

^{oc’ à}

l’aide de

(23) :

avec

Si l’on

remplace

A par ^sa valeur

1 les

équations (A-2-3)

^et

(A-2-4)

deviennent iden-

tiques,

^ce

qui permet

de vérifier la relation de conservation de

l’énergie.

Manuscrit reçu le 27 Juin 1962.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^WAGNER (H.), ^Z. Physik, 1956, 146, ^127.

[2] ^LAUE (M. von), Röntgenstrahl-Interferenzen, ^1960.

[3] ^BORRMANN (G.), HILDEBRANDT

(G.)

^{et WAGNER} (H.),

Z. Physik, 1955, 142, ^406.

[4] ^BORRMANN (G.) ^et LEHMANN, ^Z. Physik, 1963, ^sous presse.

[5] ^AUTHIER (A.), ^{C. R. Acad.} Sc., 1960, 251, ^2003.

[6] ^AUTHIER (A.), Bull. Soc. franç. Miner., 1961, 84, 51.

[7] ^AUTHIER (A.), C. R. Acad. Sc., 1961, 253, 1254.

[8] ^KATO (N.), ^Acta Cryst., 1961, 14, ^526.

[9] ^RENNINGER (M.), ^Z. Naturf. A, Dtsch., 1961, 16, ^1110.