OP11 - Réflexion totale

OP11 - Réflexion totale

Un bouchon de liège flotteur d’épaisseur négligeable, de rayon r flotte sur l’eau. Au centre de ce bouchon on a planté perpendiculairement au plan du disque une épingle de hauteur h immergée dans l’eau.

1°) Quelle doit-être la longueur minimale h

pour que la tête de l’épingle soit visible par un observateur placé dans l’air. (On s’aidera d’un schéma détaillé)

2°) On suppose h>h

. Montrer que les rayons diffusés par la tête de l’épingle et sortant de l’eau ont une incidence dans l’eau comprise entre deux valeurs que l’on déterminera.

Données numériques : n=1,33 - r=10cm - h=10cm

OP12 - Méthode de Bessel

On désire projeter l’image d’un petit objet AB sur un écran E, parallèle à AB, situé à la distance D de AB. Pour ce faire, on utilise une lentille mince convergente de centre O et de distance focale f’>0.

1°) Montrer que pour obtenir sur E une image de AB, f’ doit être inférieure à une certaine valeur.

2°) En supposant cette condition réalisée, montrer qu’il y a deux positions possibles pour la lentille.

3°) En quoi diffère ces deux positions?

4°) Démontrer que les deux positions de la lentille sont séparées d’une distance d tel que : 𝑓𝑓

=

.

OP13 - Optique de l’œil

Le cristallin de l’œil est assimilable à une lentille mince de centre optique O, dont la vergence V est variable. L’espace objet est l’air d’indice n

=1, et on supposera que l’indice de l’espace image est aussi n

=1 (en réalité c’est un milieu assimilable à de l’eau, d’indice n

= 4/3).

L’image se forme sur la rétine, qui dans la réalité est à la distance d

=15 mm de O mais que l’on considérera à d = 11 mm en raison de la différence entre n

et n

.

1°) Un observateur doté d’une vision "normale" regarde un objet AB placé à 1 m devant lui, et tel que AB = 10 cm.

a) Préciser si l’image est réelle ou virtuelle, droite ou renversée.

b) On note A’B’ l’image de AB sur la rétine. Calculer le grandissement 𝛾𝛾 =

, et en déduire la taille de l’image A’B’.

c) Calculer la vergence V du système.

2°) L’observateur regarde maintenant un objet placé à 25 cm devant lui.

a) Préciser si l’image est réelle ou virtuelle, droite ou renversée.

b) Calculer la variation de la vergence par rapport à celle de la question (c) ainsi que la taille de l’image.

3°) On s’intéresse maintenant à un individu myope, qui possède donc un cristallin trop convergent. Lorsqu’il regarde à l’infini, l’image se forme à 0,5 mm en avant de la rétine (située à d = 11 mm de O). Pour corriger ce problème, cette personne est dotée de lunettes dont chaque verre est assimilé à une lentille mince de vergence V’ constante et de centre optique O’, placé à l=2 cm de O.

a) Calculer la vergence V’ des verres de lunettes.

b) L’individu observe un objet situé à 1 m devant lui. Calculer la position de l’image intermédiaire ainsi que le grandissement de l’ensemble (lunette-cristallin).

OP14 - Aberrations chromatiques d’une lentille simple

On caractérise la dispersion d’un matériau à l’aide de trois longueurs d’onde : la raie rouge de l’hydrogène notée raie C (λ

=656,3 nm), la raie jaune du sodium notée raie D (λ

=587,6 nm) et la raie bleu-vert de l’hydrogène notée raie F (λ

=486,1nm). Le pouvoir dispersif n du matériau est donné par la relation : ν =

𝐹𝐹−𝑛𝑛_𝐶𝐶

(ν est appelée constringence) où n

, n

et n

sont les indices du matériau pour les raies C, D et F. La vergence V d’une lentille dépend de l’indice par la relation : V = (n−1)A où A est uniquement une caractéristique géométrique de la lentille.

On cherche à obtenir un système achromatique à l’aide de deux lentilles.

1°) On accole deux lentilles de vergence V

et V

. Etablir que le système est équivalent à une lentille dont on précisera les caractéristiques.

2°) Une lentille possède une distance focale f’

=30 cm et son pouvoir dispersif vaut : ν = 50.

Calculer l’écart 𝑓𝑓

− 𝑓𝑓

. On justifiera les éventuelles approximations.

3°) Quelles sont les conséquences de cet écart ?

4°) A quelle condition les foyers des raies C et F sont-ils confondus ? 5°) A-t-on une lentille achromatique ? Justifier.

6°) On souhaite une lentille de focale moyenne 50 cm avec deux verres caractérisés par ν

= 30 et ν

=60. Quelles doivent être les focales des lentilles à utiliser ?

OP15 - La loupe

Un œil emmétrope observe un objet à travers une lentille de vergence V=+12,5δ. On suppose les conditions de Gauss satisfaites.

a) Pour un objet AB situé devant la lentille, entre le foyer F et le centre optique, où se situe l'image ? Est-elle droite ou renversée ? b) L'œil étant placé au voisinage du foyer image F', sous quel angle α’ est vu le bord de l'objet de rayon R ? Cet angle dépend-il de la

position de l'objet sur l'intervalle [F, 0] ?

c) L'œil possède un punctum proximum situé à d = 25 cm, dans quel intervalle doit se situer l'objet pour l'accommodation soit possible ? À quelle situation correspond la position de l'objet au foyer F ?

d) Rappeler l'ordre de grandeur de la limite de résolution angulaire de l'œil humain et en déduire la dimension plus petits détails de l'objet

discernables à l'aide de la loupe.

OP16 - Association lentille-miroir plan

Un miroir plan M est situé derrière une lentille L, l'axe optique ∆ de L étant perpendiculaire à M. On désire qu'un faisceau de lumière incident parallèle à A soit réfléchi par l'association, en un faisceau de lumière également parallèle à A.

a) En raisonnant en termes d'objet et d'images successives, déterminer comment choisir la distance entre L et M.

b) Réaliser une construction confirmant le résultat.

OP17 - Incidence de Brewster

Un dioptre plan sépare l’air d’un milieu d’indice n=1,5. Pour quelle valeur de l’angle d’incidence le rayon réfléchi est-il perpendiculaire au rayon réfracté ?

OP18 - Agrandisseur-Réducteur d’image

On étudie un système de projection et reproduction de documents. L'original, situé dans le plan P, est considéré comme l'objet et un système optique en forme une image, sur une vitre plane dans le plan P'. La distance D séparant les deux plans parallèles P et P' est fixée : D = 0,427 m.

1 - Dispositif à une lentille

Pour obtenir une image de même taille que l'objet (valeur absolue du grandissement égale à 1), peut-on utiliser une unique lentille ? Convergente, divergente ? Si oui, préciser position et distance focale.

2 - Association de deux lentilles

On utilise en réalité un ensemble de 2 lentilles : une lentille L

convergente et une lentille L

divergente. L

est située à d = 0,20 m de Pet L2 à d = 0,20 m de P'. On donne la distance focale de L

: f’

=-0,10m.

a) Dans quel plan doit se trouver l'image 𝐴𝐴 ������ donnée de l'objet 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐵𝐵

���� par L

?

b) Quelle valeur donner à la distance focale f’

?

c) Calculer le grandissement  de l'association L

- L

pour l’objet 𝐴𝐴𝐵𝐵 ���� . 3 – Grandissement variable

a) Proposer une association donnant le grandissement

(objet et image restent en Pet P').

b) On remplace la lentille L

par une association de deux lentilles accolées : L

et L

. Déterminer f’

.

c) Montrer qu'une association formée de deux lentilles fixes L

et d'une lentille mobile L

permet d'obtenir les grandissements γ et

par simple déplacement de L

.

OP19 - Déplacement d’un rayon lumineux

Un rayon lumineux traverse une vitre d’épaisseur e et d’indice n, sous une incidence i=i

. Calculer le déplacement d de ce rayon.

A.N : i

=45°, n=1,5 & e=5mm

OP110 - Fibre optique

Une fibre optique est assimilable à un cylindre de révolution d’axe Oz. Elle est constituée d’un cylindre intérieur (le cœur) de rayon a et d’indice n

entouré d’une gaine de rayon (b-a) et d’indice n

.

A quelle condition sur θ

le rayon sera-t-il guidé par la fibre en restant dans le cœur ? En déduire une valeur limite θ

de θ

D.N : n(air)=1

OP111 - Prisme de petit angle sous faible incidence

1°) Démontrer les relations du prisme : sin(i)=nsin(r) , sin(i’)=nsin(r’) , r+r’=A et D=i+i’-A.

2°) Démontrer que pour un faisceau parallèle faisant un petit angle avec la normale à la face d’entrée du prisme de

petit angle A on a D=(n-1)A.

OP21 – Accord de phase sur un dioptre

Une onde plane monochromatique émise par une source S tombe sur un dioptre plan séparant le milieu d’indice 𝑛𝑛

contenant la source d’un milieu d’indice 𝑛𝑛

. On note θ

l’angle d’incidence sur le dioptre et θ

l’angle de réfraction.

1°) En faisant apparaître le point H situé sur le rayon passant par B tel que (SA) = (SH), trouver une expression de (𝑆𝑆𝐵𝐵) − (𝑆𝑆𝐴𝐴) en fonction de l = AB et θ

. Trouver de même une expression de (𝑆𝑆𝐵𝐵) − (𝑆𝑆𝐴𝐴) en fonction de l et θ

. Montrer qu’on retrouve la loi de la réfraction liant θ

et θ

.

2°) On suppose que l’onde incidente et l’onde réfractée ont le même retard de phase au point A. Montrer qu’elles ont le même retard de phase en tout point M du dioptre.

OP22 – Lentille et chemins optiques

La lentille (L) est en verre d’indice n et a une épaisseur e au niveau de son centre optique O. Sa distance focale image est f’. Elle est plongée dans l’air d’indice 𝑛𝑛

. Soient M et M’ deux points dont les coordonnées dans le repère Oxy sont respectivement (x,0) et (x’,y’). Une source S est placée devant (L) sur l’axe Ox.

1°) On suppose que OS =f’. Construire les rayons issus de S qui parviennent en M et en M’. Exprimer les chemins optiques (SM) et (SM’) 2°) Même question avec 𝑂𝑂𝑆𝑆 =

OP23 – Lame de verre avec défaut d’épaisseur

Une lame de verre, parfaitement transparente, à faces parallèles, d’indice de réfraction n et de faible épaisseur 𝑒𝑒

, comporte un petit défaut localisé en M, où l’épaisseur devient e. Elle est éclairée par un faisceau de lumière parallèle issu d’une source monochromatique de longueur d’onde dans le vide 𝜆𝜆

.

1°) Déterminer le déphasage à l’infini entre les rayons 1 et 2.

2°) Représenter sur la figure une surface d’onde avant la traversée de la lame et une surface d’onde après la traversée de la lame. En déduire une relation entre 𝑥𝑥, 𝑛𝑛, 𝑛𝑛

, 𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒

. (x est une variable affectée à la forme de la surface d’onde)

OP24 – Raie quasi-monochromatique

On considère une raie spectrale de longueur d’onde moyenne 𝜆𝜆

, largeur 𝛥𝛥𝜆𝜆 et longueur de cohérence 𝐿𝐿

. 1°) Montrer que : 𝛥𝛥𝜆𝜆 = 𝜆𝜆

/𝐿𝐿

2°) Une raie spectrale d’une lampe spectrale au cadmium a pour caractéristiques 𝜆𝜆

= 643,8𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝛥𝛥𝜆𝜆 = 1,3𝑝𝑝𝑛𝑛. Quelle est sa couleur ? Calculer 𝐿𝐿

, τ

ainsi que le nombre moyen d’oscillations par train d’onde défini par 𝑁𝑁 =

𝑜𝑜𝑜𝑜

.

OP31 – Méthode de Fresnel

Soit les deux signaux : 𝑠𝑠

(𝑒𝑒) = 𝐴𝐴

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠( ω 𝑒𝑒 + ϕ

) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠

(𝑒𝑒) = 𝐴𝐴

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠( ω 𝑒𝑒 + ϕ

).

1°) Déterminer l’amplitude A du signal 𝑠𝑠(𝑒𝑒) = 𝑠𝑠

(𝑒𝑒) + 𝑠𝑠

(𝑒𝑒) à l’aide de la méthode de Fresnel ?

2°) Supposons dans le cas précédent 𝐴𝐴

= 𝐴𝐴

. Calculer l’amplitude résultante A dans ce cas. Retrouver ce résultat de façon analytique à l’aide de formules

trigonométriques.

OP32 – Interférences

Le signal lumineux est modélisé par 𝑠𝑠(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠( ω 𝑒𝑒 − 𝑘𝑘𝑥𝑥) ou en notation complexe 𝑠𝑠(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = 𝑎𝑎 𝑒𝑒

= 𝑎𝑎𝑒𝑒

. L’intensité I(M) au point M(x) est proportionnel à 𝑠𝑠 𝑠𝑠*. L’étude se fait dans l’air d’indice n=1.

1°) Déterminer l’éclairement résultant de la superposition de deux ondes 𝑠𝑠

(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = 𝑎𝑎

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 � ω 𝑒𝑒 − ϕ

(𝑥𝑥)� 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠

(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = 𝑎𝑎

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 � ω 𝑒𝑒 + ϕ

(𝑥𝑥)� en fonction de 𝐼𝐼

et 𝐼𝐼

éclairements associés à 𝑠𝑠

et 𝑠𝑠

et de ∆ϕ (𝑥𝑥) = ϕ

(𝑥𝑥) − ϕ

(𝑥𝑥).

2°) Tracer I(M) en fonction de ∆ϕ (𝑥𝑥). On précisera 𝐼𝐼

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖

en fonction de 𝐼𝐼

et 𝐼𝐼

. 3°) Exprimer le contraste en fonction de 𝐼𝐼

et 𝐼𝐼

. Pour quelle relation est-il maximum ?

4°) Exprimer au point M, le déphasage ∆ϕ (𝑥𝑥) entre les ondes en fonction de la différence de marche et de la longueur d’onde.

5°) Calculer la différence de marche δ = (𝑆𝑆

𝑀𝑀) − (𝑆𝑆

𝑀𝑀). Démontrer que δ =

dans le cas ou 𝐷𝐷 ≫ 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐷𝐷 ≫ 𝑦𝑦. En déduire le déphasage ∆ϕ (𝑀𝑀) puis l’intensité en M.

OP33 – Superposition d’ondes

Deux ondes s

(x, t) = A

cos( ω t − kx) et s

(x, t) = A

cos( ω t + kx) se superposent.

1°) Représenter les vecteurs de Fresnel correspondant à ces deux signaux en un point d’abscisse x. En déduire l’amplitude de l’onde somme en x.

Déterminer graphiquement les valeurs de x pour lesquelles cette amplitude est maximale ou nulle.

2°) Utiliser les vecteurs de Fresnel pour trouver l’amplitude A et la phase initiale du signal somme des trois signaux suivants : 𝑠𝑠

(𝑒𝑒) = 𝐴𝐴

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠( ω 𝑒𝑒 + ϕ ), 𝑠𝑠

(𝑒𝑒) = 𝑟𝑟𝐴𝐴

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠( ω 𝑒𝑒 + ϕ + ∆ϕ ), 𝑠𝑠

(𝑒𝑒) = 𝑟𝑟𝐴𝐴

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠( ω 𝑒𝑒 + ϕ − ∆ϕ ) 𝑐𝑐ù 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1. Quelles sont les valeurs maximales et minimales de A ?

OP34 – Tube de Kundt

On considère un tuyau cylindrique, d’axe (Ox) de longueur L = 1,45 m, rempli d’air. A l’extrémité x = L est placé un haut-parleur associé à un générateur de basses fréquences qui crée dans le tube une onde progressive se propageant dans le sens négatif de (Ox). A l’autre extrémité (x = 0), l’expérimentateur place une plaque d’un matériau à étudier.

Un microphone mobile, relié à un millivoltmètre, peut se déplacer à l’intérieur du tuyau sans perturber les phénomènes étudiés. Il fournit une tension variable, proportionnelle à la surpression de l’onde sonore à la position du micro. On mesure la valeur efficace V de cette tension à l’aide d’un millivoltmètre numérique. V est ainsi proportionnel à l’amplitude de la surpression au point où se trouve le micro.

1°) Donner l’expression de la surpression p

(x,t) de l’onde émise par le haut-parleur, en notant A0 son amplitude, f sa fréquence, c la célérité du son. On prendra la phase initiale de cette onde nulle en x = 0.

2°) La plaque de matériau réfléchit cette onde et envoie dans le tube une onde d’amplitude égale à rA

avec 0 ≤ r ≤ 1 et de phase initiale en x

= 0 égale à ϕ. Donner l’expression de la surpression p

(x,t) de cette onde.

3°) On suppose qu’il n’y a pas d’autre onde que les deux ondes précédentes. Exprimer l’amplitude A(x) de l’onde totale : 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = 𝑝𝑝

(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) + 𝑝𝑝

(𝑥𝑥, 𝑒𝑒), en fonction de A 0, r, ϕ, f , c et x.

4°) On a réalisé des mesures avec une plaque de mousse. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous. On a noté les positions pour lesquelles l’indication du voltmètre V est minimale : 𝑥𝑥

est la première à partir de x = 0, 𝑥𝑥

la 𝑖𝑖

. (Vmin et Vmax sont les valeurs minimales et maximales de V).

f en Hz x1 en cm xi en cm i Vmin en mV Vmax en mV

460 26,6 101,5 3 1,50 6,80

750 13,2 58,8 3 1,10 5,40

845 10,6 51,1 3 1,25 6,30

1016 8,0 41,7 3 0,80 4,05

1042 7,3 40,1 3 1,60 8,35

1185 5,5 49,0 4 0,80 3,95

1400 3,7 28,1 3 1,00 5,05

a) On pose α =

𝑜𝑜𝑚𝑚𝑚𝑚

. Déterminer r en fonction de α.

b) Déterminer l’expression de ϕ en fonction de x

et de la longueur d’onde λ.

c) Calculer pour chaque fréquence les valeurs de r et de ϕ. Commenter ces résultats.

OP35 - Accord d’un piano

1°) La célérité c des ondes transversales le long d’une corde sans raideur est déterminée par les paramètres physiques suivants : la masse volumique du matériau de la corde , le diamètre d de la corde et la tension T à laquelle elle est soumise. On fait l’hypothèse d’une formule du type :

𝑐𝑐 = 𝐾𝐾 ρ

𝑑𝑑

𝑇𝑇

où 𝐾𝐾, α , β , γ sont des constantes. Déterminer α , β , 𝑒𝑒𝑒𝑒 γ.

2°) La corde d’un piano n’est pas sans raideur mais on admet que la célérité est bien proportionnelle à √𝑇𝑇 . Les notes les plus aiguës d’un piano sont produites par trois cordes qui doivent vibrer exactement à la même fréquence. On réalise ce réglage (l’accord du piano) en ajustant la tension des cordes. Pour cela, on utilise le phénomène de battements.

a) La fréquence fondamentale de vibration de la corde varie comme T

. Quel est l’exposant δ ?

b) On considère deux cordes vibrant à la fréquence 440 Hz. On entend les battements à l’oreille s’ils ont une période comprise entre 0,5 s et 5 s. Avec quelle précision relative obtient-on l’égalité des fréquences de vibration de deux cordes par cette méthode ?

c) En déduire la précision relative sur la tension de la corde.

OP36 - Ecoute musicale et interférences

La qualité de l’écoute musicale que l’on obtient avec une chaine hi-fi dépend de la manière dont les enceintes sont disposées par rapport à l’auditeur. On dit qu’il faut absolument éviter la configuration représentée sur la figure : présence d’un mur à distance D, trop courte derrière l’auditeur.

1°) Comme représenté sur la figure, l’onde issue de l’enceinte se réfléchit sur le mur. On note c=342 m/s la célérité du son dans l’air.

a) Exprimer le décalage temporel qui existe entre les deux ondes arrivant dans l’oreille de l’auditeur : onde arrivant directement et onde réfléchie.

b) En déduire le déphasage de ces deux ondes supposées sinusoïdales de fréquence f. La réflexion sur le mur ne s’accompagne d’aucun déphasage pour la surpression acoustique, grandeur à laquelle l’oreille est sensible.

c) Expliquer pourquoi il y a un risque d’atténuation de l’amplitude de l’onde pour certaines fréquences. Exprimer ces fréquences en fonction d’un entier n. Quelle condition devrait vérifier D pour qu’aucune de ces fréquences ne soit dans le domaine audible ? Est-elle réalisable ? d) Expliquer

2°) La figure ci-dessous donne le résultat d’une expérience dans laquelle on a placé un micro, sensible à la surpression, à une certaine distance D du mur, puis envoyé un signal de fréquence variable et d’amplitude constante A

. La courbe, d’allure très caractéristique, est appelée « courbe en peigne ».

L’amplitude en décibels se définit par la relation :

𝐴𝐴

= 20𝐿𝐿𝑐𝑐𝐿𝐿 � 𝐴𝐴 𝐴𝐴

� où A

est une amplitude de référence.

a) Lorsqu’il y a superposition de deux ondes de même amplitude A

, quelle est, en décibels, l’augmentation maximale de l’amplitude ? Que peut-on dire de A

au vu de la courbe ?

b) Calculer numériquement la distance D.

OP37 - Anharmonicité d’une corde de piano

On s’intéresse aux modes propres d’une corde de piano de longueur L, fixée en ses deux extrémités. La relation entre le vecteur d’onde et la pulsation d’une onde se propageant le long de cette corde est : 𝜔𝜔 = 𝑐𝑐 𝑘𝑘 �1 + 𝛼𝛼𝑘𝑘² où c et αdépendent de la section de la corde et de sa tension mais pas de sa longueur. Le coefficient est dû à la raideur de la corde (il serait nul pour une corde parfaitement souple comme la corde de Melde).

1°) Quelles sont les unités de c et α ?

2°) Quelles sont les valeurs possibles de k pour une onde stationnaire existant sur cette corde ? Exprimer les fréquences correspondantes en fonction de c, α, L et d’un entier n.

3°) Les cordes d’un piano de concert sont plus longues que les cordes d’un piano de salon. Pourquoi cela améliore-t-il qualité musicale du son

?

OP41 – Etoiles à l’infini

On considère deux étoiles à l’infini faisant entre elles un angle 𝛼𝛼 très faible, de même éclairement 𝜀𝜀

, de même longueur d’onde. La lumière est diffractée par deux fentes 𝑆𝑆

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑆𝑆

identiques, distantes de a et très fines. Un écran est placé dans le plan focal d’une lentille convergente de distance focale f’ située après les fentes d’Young.

1°) Calculer l’éclairement dû à chaque étoile en un point M de l’écran.

2°) Déterminer le contraste de la figure d’interférences et en déduire pour quelles valeurs de a on observe un brouillage.

OP42 – Fentes d’Young et lame

On réalise l’expérience des fentes d’Young sur la figure sans la lame d’indice n. 𝑆𝑆

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑆𝑆

sont deux fentes fines identiques. La source S monochromatique (de longueur d’onde dans le vide 𝜆𝜆

= 0,6 𝜇𝜇𝑛𝑛 ) est elle aussi une fente fine parallèle à 𝑆𝑆

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑆𝑆

et coïncide avec le foyer objet de la lentille 𝐿𝐿

; l’écran d’observation se trouve dans le plan focal image de la lentille 𝐿𝐿

de distance focale f’=1,0 m. La distance 𝑆𝑆

𝑆𝑆

est égale à a=1mm.

L’indice de l’air vaut 1,0.

1°) Calculer l’interfrange i sur l’écran.

2°) Sur le trajet des rayons issus de 𝑆𝑆

, on place une lame d’épaisseur e et d’indice n. Calculer le déplacement des franges pour n=1,5 et e=0,01mm.

OP43 – Miroirs de Lloyd

On considère une dispositif interférentiel constitué d’une lame de verre plane utilisée comme miroir plan, éclairée sous incidence rasante. Un point source S émet une lumière monochromatique de longueur d’onde λ

.

On rappelle que la réflexion sur un miroir s’accompagne d’un retard de phase égal à .

1°) Les interférences sont obtenues par superposition de l’onde issue directement de S et de celle réfléchie par le miroir. En déduire quelles sont les deux sources qui produisent des interférences. Sont-elles cohérentes ?

2°) Représenter la marche des deux rayons lumineux qui interfèrent en un point M de l’écran. Vérifier que le dispositif fonctionne bien par division du front d’onde.

3°) Décrire le champ d’interférences. Les interférences sont-elles localisées ?

4°) L’écran est placé à la distance d du bord droit du miroir. La source est à la distance

du miroir et la distance entre la source et le bord droit du miroir est notée l. Déterminer l’ordre d’interférences p(M), la différence de marche δ (𝑀𝑀) et la différence de phase (M) en un point M de l’écran.

5°) En déduire l’expression de l’intensité vibratoire sur l’écran. Quelle est la forme géométrique des franges d’interférences ? Peut-on remplacer la source ponctuelle par une fente lumineuse allongée dans la direction orthogonale au plan de la figure sans dégrader la visibilité des franges ?

6°) On élargit maintenant la fente source dans la direction parallèle à l’écran. Sa largeur b est répartie également de part et d’autre de la position

. En

utilisant le critère semi-quantitatif de visibilité des franges, estimer l’extension spatiale de la figure d’interférences où les franges restent visibles. On

l’exprimera en fonction de l’interfrange i, de a et b.

OP44 – Trois trous d’Young

Trois trous d’Young 𝑆𝑆

, 𝑆𝑆

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑆𝑆

, distants de a, sont éclairés par une source ponctuelle, émettant une radiation monochromatique de longueur d’onde λ

, placée au foyer principal objet d’une lentille convergente 𝐿𝐿

. On observe les interférences à l’infini, c’est-à-dire en un point M dans le plan focal d’une lentille convergente 𝐿𝐿

de distance focale image f’.

1°) Les trois ondes qui interférent au point M sont-elles cohérentes ? Justifier votre réponse.

2°) Evaluer la différence de marche 𝛿𝛿

(𝑀𝑀) puis ϕ

(𝑀𝑀) = ϕ (𝑀𝑀) du rayon passant par 𝑆𝑆

par rapport au rayon passant par 𝑆𝑆

. Exprimer de même 𝛿𝛿

(𝑀𝑀) 𝑒𝑒𝑒𝑒 ϕ

(𝑀𝑀).

3°) Notation complexe ;

a) Dans le cas de deux sources 𝑆𝑆

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑆𝑆

par exemple, on pose 𝑠𝑠

= 𝑎𝑎

𝑒𝑒

, retrouvez la formule de Fresnel sur l’éclairement en écrivant 𝐼𝐼(𝑀𝑀) =

𝐾𝐾𝑠𝑠 𝑠𝑠

.

b) On considère à nouveau les trois sources. Exprimez 𝑠𝑠

et 𝑠𝑠

en fonction de 𝑠𝑠

et ϕ (𝑀𝑀). En déduire l’éclairement observé sur l’écran et représenter ses variations en fonction de la position du point d’observation M.

OP45 – Trous d’Young et largeur de source

On considère deux trous 𝑆𝑆

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑆𝑆

identiques, distants de a. Les distances D et d sont très grandes devant a. L’indice de l’air vaut 1. La source de lumière de longueur d’onde dans le vide 𝜆𝜆

est placée en S.

1°) Comment s’appelle le dispositif ?

2°) Démontrer la formule des interférences à deux ondes.

3°) Que vaut l’interfrange ?

4°) On tient compte de la largeur b de la source S. Représenter graphiquement le contraste de la figure d’interférences en fonction de b.

OP46 – Frange achromatique

On considère le dispositif des fentes d’Young en lumière monochromatique avec observation dans le plan focal image d’une lentille L, la source S étant placé au foyer objet d’une lentille 𝐿𝐿

:

1°) Décrire la figure d’interférence observée ainsi que la répartition de l’intensité vibratoire ε(x) sur l’écran.

Application numérique : 𝐹𝐹

𝐹𝐹

= a =1mm ; λ

= 600 nm ; f’=50 cm. Calculer l’interfrange.

2°) Une lame de verre d’épaisseur e, d’indice n, est placée avant 𝐹𝐹

(voir figure). Déterminer la nouvelle position de la frange centrale. De combien d’interfranges s’est-elle déplacée ? Application numérique : n = 1,500 et e = 0,01mm.

3°) On remplace désormais la source monochromatique par une source de lumière blanche. L’indice du verre varie avec la longueur d’onde dans le vide selon la loi de Cauchy :

𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵

λ

𝑐𝑐ù 𝐴𝐴 = 1,489 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵 = 0,004 µ 𝑛𝑛

On appelle frange achromatique celle pour laquelle

0

= 0 pour λ

= λ

= 600𝑛𝑛𝑛𝑛, longueur d’onde moyenne du spectre visible.

- Déterminer, la position de la frange achromatique. Donner, en interfrange, l’écart entre la frange achromatique et la frange centrale trouvée à la question précédente.

4°) Pour mesurer l’épaisseur e d’une lame à faces parallèles d’indice n, l’écart entre les positions, sur l’écran, de l’unique frange blanche (qui est aussi la mieux contrastée) avant et après l’introduction de la lame. Quelle erreur relative commet-on sur la mesure de e si on considère que n = 1,500 indépendamment de la longueur d’onde ?

5°) Dans cette question on néglige la dispersion (B=0). Sachant que le dispositif des fentes de Young permet d’obtenir des différences de marche

géométriques allant de 0 à 10 µm, quelle est la valeur maximale de e qui peut être mesurée par cette méthode ? Qu’observe-t-on si on prend une lame

ayant 1 mm d’épaisseur ? On rappelle que la longueur de cohérence de la lumière blanche peut être estimée en pratique à environ 3 µm.

OP47 – Méthode de Michelson et Pease

Une source monochromatique S’ de longueur d’onde λ

éclaire un dispositif classique de trous d’Young. Les notations sont précisées sur la figure suivante. La source S’ est située à l’infini dans une direction qui forme un angle ε avec l’axe (z’z). On suppose |𝑥𝑥| ≪ 𝐷𝐷, 𝑎𝑎 ≪ 𝐷𝐷 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜀𝜀 ≪ 1.

1°) En tenant compte de ces approximations, exprimer l’ordre d’interférences p(M) en fonction de x, a, D et 𝜀𝜀, où x représente l’abscisse du point M.

2°)

a) Une seconde source S’’, identique à la précédente, est placée symétriquement à S’ par rapport à l’axe (z’z), c’est-à-dire dans une direction qui forme l’angle - 𝜀𝜀 avec l’axe (z’z). Les sources S’ et S’’ sont supposées incohérentes. Un dispositif adapté permet de faire varier a, les paramètres 𝜀𝜀 et λ

restant fixes. Déterminer les valeurs de a qui correspondent à une annulation de la visibilité des franges d’interférences au point M.

b) Application. Les deux sources S’ et S’’ sont les deux composantes d’une étoile double. Dans le cas de Capella, pour λ

= 635 nm, on trouve que la plus petite valeur de a annulant la visibilité des franges vaut 𝑎𝑎

= 116,5 𝑐𝑐𝑛𝑛. En déduire la valeur de ε(par souci de simplicité, on prendra l’indice des milieux traversés égal à 1).

OP51 – Michelson en lame d’air

Un interféromètre de Michelson est constitué par une lame semi réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice 𝑆𝑆

dont les facteurs de transmission et de réflexion valent 1/2, et de deux miroirs plans 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

perpendiculaires l’un à l’autre. Les distances 𝐽𝐽𝐴𝐴

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐽𝐽𝐴𝐴

sont égales. La lame 𝑆𝑆

est inclinée à 45° par rapport aux normales à 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

. La longueur d’onde de la source vaut λ

= 546,1𝑛𝑛𝑛𝑛 dans le vide, de symétrie de révolution autour de l’axe SJ. L’indice de l’air vaut 1,0. On observe dans le plan focal d’une lentille mince convergente L de distance focale f’ = 1,0 m.

1°) Qu’observe-t-on sur l’écran ?

2°) On déplace 𝑀𝑀

de e = 1,1 mm dans la direction des x positifs. Montrer à l’aide d’un schéma que le phénomène d’interférences observé est analogue à celui d’une lame d’air à faces parallèles. Comment s’appelle le dispositif ?

3°) Où sont localisées les interférences ? Comment les observe-t-on expérimentalement ? 4°) Déterminer les rayons des deux premiers anneaux brillants.

5°) On place sur le bras 𝐽𝐽𝐴𝐴

et parallèlement au miroir 𝑀𝑀

, une lame d’épaisseur e’=9,5 μ m et d’indice n = 1,5117. Calculer la variation de l’ordre d’interférences au centre et les rayons des deux premiers anneaux brillants.

OP52 – Michelson et doublet du sodium

Un interféromètre de Michelson (est constitué par une lame semi réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice 𝑆𝑆

dont les facteurs de transmission et de réflexion valent 1/2, et de deux miroirs plans 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

perpendiculaires l’un à l’autre. Les distances 𝐽𝐽𝐴𝐴

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐽𝐽𝐴𝐴

sont égales. La lame 𝑆𝑆

est inclinée à 45° par rapport aux normales à 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

. La source primaire est une lampe à vapeur de sodium dont on suppose que le spectre d'émission ne contient que deux raies intenses, de même intensité, de couleur jaune et de longueurs d'onde dans la vide λ

= λ

−

𝑒𝑒𝑒𝑒 λ

= λ

+

.

On donne : 𝜆𝜆

= 589,3 𝑛𝑛𝑛𝑛. On suppose que ∆λ ≪ λ

. L'indice de l'air vaut 1,0. On se place au contact optique. On fait tourner le miroir 𝑀𝑀

d'un angle α autour d'un axe perpendiculaire 𝐽𝐽𝐴𝐴

𝐴𝐴

et passant par 𝐴𝐴

.

1°) Déterminer l'ordre d'interférences pour la longueur d'onde λ

quelconque et caractériser le système de franges.

2°) On translate le miroir 𝑀𝑀

de façon à faire défiler les franges. On constate que les franges disparaissent une première fois lorsque le déplacement de 𝑀𝑀

est d=0,15mm. Expliquer le phénomène.

3°) Déterminer l'éclairement 𝜀𝜀 au doublet au point 𝐴𝐴

et le contraste local de la figure d'interférences. Représenter graphiquement le contraste en fonction de la différence de marche. En déduire ∆λ.

4°) En déduire ∆λ en raisonnant sur les ordres de chaque système d'interférences 𝐴𝐴

au point 𝐴𝐴

.

5°) Calculer la longueur de cohérence de la lampe à vapeur de sodium. Interpréter.

OP53 – Profil de raie rectangulaire

Un interféromètre de Michelson (est constitué par une lame semi réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice 𝑆𝑆

dont les facteurs de transmission et de réflexion valent 1/2, et de deux miroirs plans 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

perpendiculaires l’un à l’autre. Les distances 𝐽𝐽𝐴𝐴

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐽𝐽𝐴𝐴

sont égales. La lame 𝑆𝑆

est inclinée à 45° par rapport aux normales à 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

. La radiation utilisée est la raie rouge du cadmium à profil rectangulaire. On appelle A la densité spectrale de fréquence de l’éclairement. L’éclairement dû à la bande fréquence [ ν , ν + ∆ν ], lorsque l’une des voies de l’interféromètre est occultée, est Adν pour une fréquence comprise entre � ν

−

, ν

+

�. ν

est la fréquence centrale de la raie correspondant à la longueur d’onde dans le vide λ

= 643,8 𝑛𝑛𝑛𝑛. L’indice de l’air vaut 1,0. On se place au contact optique. On fait tourner le miroir 𝑀𝑀

d'un angle α autour d'un axe perpendiculaire 𝐽𝐽𝐴𝐴

𝐴𝐴

et passant par 𝐴𝐴

.

1°) Calculer la différence de marche et caractériser le système de franges.

2°) On translate le miroir 𝑀𝑀

de façon à faire défiler les franges. Le contraste s’annule la première fois au point 𝐴𝐴

pour 𝑑𝑑 = 15 𝑐𝑐𝑛𝑛. Calculer ∆ ν.

3°) Calculer la longueur de cohérence et la durée moyenne d’un train d’onde. Conclusion.

OP54 – Interféromètre de Michelson avec miroir sphérique

On considère un interféromètre de Michelson comportant un miroir non parfaitement plan et assimilé à un miroir sphérique convexe (𝑀𝑀

) de rayon de courbure 𝑅𝑅 = 10,0𝑛𝑛 . L’image (𝑀𝑀

)de ce miroir par la séparatrice est tangente au miroir plan (𝑀𝑀

) , conformément au schéma ci-après.

L’interféromètre est éclairé par une source étendue monochromatique de longueur d’onde λ

= 630 𝑛𝑛𝑛𝑛 . On observe la figure d’interférence dans le plan conjugué de (𝑀𝑀

) par rapport à la lentille L de courte focale. Ce plan est situé loin de la lentille (ce que ne montre pas la figure ci-dessous pour des raisons d’encombrement) et le grandissement transversal est = 5.

1°) Obtient-on des franges d’égale épaisseur ou d’égale inclinaison ?

2°) Déterminer les rayons des franges brillantes successives observées sur l’écran.

3°) Si les miroirs ont un diamètre de 2 cm, quelle est la valeur maximale du rayon de courbure que l’on peut détecter ?

OP55 – Michelson en coin d’air

Un interféromètre de Michelson est constitué par une lame semi réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice 𝑆𝑆

dont les facteurs de transmission et de réflexion valent 1/2, et de deux miroirs plans 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

perpendiculaires l’un à l’autre. Les distances 𝐽𝐽𝐴𝐴

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐽𝐽𝐴𝐴

sont égales. La lame 𝑆𝑆

est inclinée à 45° par rapport aux normales à 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

. La longueur d’onde de la source vaut λ

= 546,1𝑛𝑛𝑛𝑛 dans le vide, de symétrie de révolution autour de l’axe SJ. L’indice de l’air vaut 1,0. On fait tourner le miroir 𝑀𝑀

d’un angle α = 1 minute d’arc autour d’un axe perpendiculaire 𝐽𝐽𝐴𝐴

𝐴𝐴

et passant par 𝐴𝐴

.

1°) Comment s’appelle ce dispositif ? Pour des rayons lumineux en incidence normale par rapport au miroir 𝑀𝑀

, faire apparaître à l’aide du schéma équivalent la position du plan de localisation de la figure d’interférences.

2°) Comment faut-il placer la lentille L pour observer les interférences sur un écran ?

3°) Caractériser le système de franges et calculer numériquement la valeur de l’interfrange sur l’écran, sachant que le grandissement de la lentille est – 4.

4°) On translate le miroir (𝑀𝑀

) d’une distance l dans le sens des x > 0. De quelle distance se sont déplacées les franges sur l’écran ?

5°) On éclaire le coin d’air en lumière blanche avec l=0. On place sur le bras 𝐽𝐽𝐴𝐴

et parallèlement au miroir 𝑀𝑀

, une lame d’épaisseur 𝑒𝑒′ = 9,5 𝜇𝜇𝑛𝑛 et

d’indice n = 1,5117. Indiquer un moyen de déterminer l’indice moyen de la lame connaissant son épaisseur.

OP56 – Détermination de l’indice de l’air

Un interféromètre de Michelson est constitué par une lame semi réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice 𝑆𝑆

dont les facteurs de transmission et de réflexion valent 1/2, et de deux miroirs plans 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

perpendiculaires l’un à l’autre. Les distances 𝐽𝐽𝐴𝐴

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐽𝐽𝐴𝐴

sont égales. La lame 𝑆𝑆

est inclinée à 45° par rapport aux normales à 𝑀𝑀

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀

. On se place au contact optique. On fait tourner le miroir 𝑀𝑀

d’un angle 𝛼𝛼 ≪ 1 autour d’un axe perpendiculaire 𝐽𝐽𝐴𝐴

𝐴𝐴

et passant par 𝐴𝐴

. On utilise un laser avec un élargisseur de faisceau. La longueur d’onde dans le vide est 𝜆𝜆

= 632,8 𝑛𝑛𝑛𝑛. On note n l’indice de l’air et μ sa masse volumique. L’air supposé parfait suit la loi de Gladstone :

𝑛𝑛 − 1 𝜇𝜇 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒

La pression atmosphérique vaut 1013 hPa. Sur le trajet de l’un des faisceaux, on interpose une cuve à faces parallèles d’épaisseur e=35 mm. Avec une pompe à main, on créé une dépression de 900 hPa. Avec une vis, on fait rentrer progressivement de l’air à température constante. On observe 29 franges qui défilent en un point de l’écran.

1°) Calculer la différence de marche sans la cuve et avec la cuve.

2°) En déduire l’indice de l’air.

OP57 – Vélocimétrie Laser

La mesure de la vitesse d’un fluide peut s’effectuer directement par voie optique sans perturbation de l’écoulement. La recombinaison de deux faisceaux 1 et 2 issus d’un même laser crée une figure d’interférences dans un petit domaine de l’espace centré sur le point de mesure. Chaque faisceau est une onde plane progressive monochromatique de longueur d’onde dans le vide 𝜆𝜆

= 0,52 𝜇𝜇𝑛𝑛. Lorsqu’une particule solide de petites dimensions, entraînée par l’écoulement, traverse cette figure, elle rencontre des zones alternativement brillantes et sombres. Éclairée par cette figure d’interférences, elle réémet par diffusion une onde lumineuse reçue par un détecteur. La différence de marche est nulle au point O. L’indice du milieu vaut n=1,33.

1°) Calculer la largeur AB de la figure d’interférences en z = 0 sachant que 2D =1,0 mm et 𝜃𝜃 = 5° .

2°) Calculer l’ordre d’interférences en un point M de la figure d’interférences. En déduire l’interfrange i et le nombre de franges brillantes contenues dans le champ en z = 0.

3°) Une particule se déplace à la vitesse 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣 𝑢𝑢 ����⃗. Calculer la vitesse de fluide sachant que la période du signal reçu par le détecteur vaut 50 ms.

OP61 – Fente rectiligne

On considère une fente rectiligne de largeur a suivant 𝑢𝑢 ����⃗

, et très longue suivant 𝑢𝑢 ����⃗

. Le coefficient de transmission est uniforme. Elle est éclairée par une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ

sous incidence normale. On définit la fréquence spatiale 𝑢𝑢 =

0𝑓𝑓′

avec 𝑀𝑀 (𝑥𝑥

, 𝑦𝑦

) un point du plan focal image de la lentille située après l’objet. L’amplitude de l’onde au point M est proportionnelle à la transformée de Fourier du coefficient de transmission. On rappelle que :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑇𝑇𝐹𝐹�𝑒𝑒(𝑥𝑥)� = � 𝑒𝑒(𝑥𝑥) 𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑇𝑇𝐹𝐹 �𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 � 𝑥𝑥

𝑎𝑎 �� = 𝑎𝑎 sin(𝜋𝜋𝑢𝑢𝑎𝑎)

𝜋𝜋𝑢𝑢𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑐𝑐(𝜋𝜋𝑢𝑢𝑎𝑎) 𝑐𝑐ù 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 � 𝑥𝑥

𝑎𝑎 � = 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖 |𝑥𝑥| < 𝑎𝑎 2 1°) Proposer un montage expérimental permettant de visualiser le plan de Fourier.

2°) Déterminer l’amplitude en un point du plan de Fourier et représenter graphiquement l’amplitude et l’éclairement en fonction de u. Déterminer la largeur de la tache centrale et en déduire l’ouverture angulaire. Qu’observe-t-on dans le plan de Fourier ?

3°) Comment est modifié le plan de Fourier si on augmente la largeur de la fente ? Et si on diminue a ?

OP62 – Diffraction par un réseau

On considère un réseau par transmission formé de traits fins, identiques, parallèles, distants de 𝑎𝑎 = 1𝜇𝜇𝑛𝑛 et de longueur très grande devant a.

Le faisceau incident a une direction fixe et de longueur d’onde 𝜆𝜆

dans le vide. Le réseau peut tourner autour de l’axe Oz. L’indice de l’air vaut 1,0.

1°) Comment obtenir expérimentalement un faisceau de lumière parallèle ? Comment observer une image à l'infini avec une lentille convergente de distance focale 1,0 m ?

2°) Déterminer pour quelles valeurs de l’angle i’, on observe un maximum de lumière à l'ordre k.

3°) Pour un ordre k non nul, déterminer la déviation minimale 𝐷𝐷

en fonction de 𝑘𝑘, 𝜆𝜆

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎.

4°) La source S est une lampe à vapeur de sodium. On étudie le spectre à l'ordre 2. Calculer la distance qui sépare les deux raies jaunes sur l'écran (longueurs d'onde dans le vide 𝜆𝜆

= 589,0 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜆𝜆

= 589,6 𝑛𝑛𝑛𝑛) en se plaçant au minimum de déviation pour 𝜆𝜆

.

OP63 – Traits parallèles équidistants

On considère une mire constituée de N traits parallèles équidistants de p. Le coefficient de transmission est : 𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 1 + cos � 2 π 𝑥𝑥

𝑝𝑝 �

La mire est très longue suivant 𝑢𝑢 ����⃗

. Elle est éclairée par une onde plane monochromatique de longueur d’onde 𝜆𝜆

sous incidence normale. On définit la fréquence spatiale 𝑢𝑢 =

0𝑓𝑓^′

avec 𝑀𝑀(𝑥𝑥

, 𝑦𝑦

) un point du plan focal image de la lentille située après l’objet. L’amplitude de l’onde au point M est proportionnelle à la transformée de Fourier du coefficient de transmission.

On rappelle que :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑇𝑇𝐹𝐹�𝑒𝑒(𝑥𝑥)� = � 𝑒𝑒(𝑥𝑥) 𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑇𝑇𝐹𝐹 �𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 � 𝑥𝑥

𝐿𝐿�� = 𝐿𝐿 sin(𝜋𝜋𝑢𝑢𝐿𝐿)

𝜋𝜋𝑢𝑢𝐿𝐿 = 𝐿𝐿 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑐𝑐(𝜋𝜋𝑢𝑢𝐿𝐿) 𝑐𝑐ù 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 � 𝑥𝑥

𝐿𝐿� = 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖 |𝑥𝑥| < 𝐿𝐿 2 1°) Proposer un montage expérimental permettant de visualiser le plan de Fourier.

2°) Déterminer l’amplitude en un point du plan de Fourier.

3°) Interpréter les observations sur un écran placé dans le plan de Fourier.

OP64 – Principe de la strioscopie

On considère un objet de phase constitué d’une lame à faces parallèles d’épaisseur e =0,10mm et d’indice optique moyen 𝑛𝑛

. Sa fabrication n’ayant pas été assez soignée, elle présente des fluctuations d’indice δn non uniformes de l’ordre de 10

sur une échelle de longueur de l’ordre de a = 1,0mm.

1°) Proposer une valeur de 𝑛𝑛

pour une longueur d’onde visible.

2°) Donner l’expression de la transmittance 𝜏𝜏(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) de la lame. Monter que les ordres de grandeur permettent d’écrire : 𝜏𝜏(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑒𝑒

�1 − 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑛𝑛

𝑒𝑒 δ 𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)�

3°) Quelle serait l’allure du plan de Fourier en l’absence de défaut d’indice ? Quelle est-elle en présence du défaut ? Préciser en particulier les dimensions de la zone éclairée dans ce plan.

4°) Décrire qualitativement l’éclairement de l’image. Peut-on percevoir les défauts d’indice ?

5°) On place un petit disque opaque au foyer image de la lentille. Quelle est la fréquence spatiale filtrée ? Serait-ce encore vrai si la lame était éclairée en incidence oblique ?

6°) Décrire à nouveau qualitativement l’éclairement de l’image. Qu’a-t-on gagné ? Qu’a-t-on perdu ?

OP65 – Filtrage optique

On considère un objet diffractant très long suivant 𝑢𝑢 ����⃗, éclairé par une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ

sous incidence normale. On définit la fréquence spatiale 𝑢𝑢 =

0𝑓𝑓^′

avec 𝑀𝑀(𝑥𝑥

, 𝑦𝑦

) un point du plan focal image de la lentille située après l’objet. L’amplitude de l’onde au point M est proportionnelle à la transformée de Fourier du coefficient de transmission.

On rappelle que :

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ 𝑇𝑇𝐹𝐹�𝑒𝑒(𝑥𝑥)� = � 𝑒𝑒(𝑥𝑥) 𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑇𝑇𝐹𝐹 � � 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑛𝑛𝑎𝑎)

+∞

𝑛𝑛=−∞

� = 1

𝑎𝑎 � 𝛿𝛿 �𝑢𝑢 − 𝑛𝑛 𝑎𝑎�

+∞

𝑛𝑛=−∞

𝑇𝑇𝐹𝐹(1) = 𝛿𝛿(𝑢𝑢)

𝛿𝛿(𝑢𝑢) 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑛𝑛𝑢𝑢𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑓𝑓 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥 = 0

Le coefficient de transmission de l’objet diffractant est :

𝑒𝑒(𝑥𝑥) = � 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑛𝑛𝑎𝑎)

+∞

𝑛𝑛=−∞

1. Qu’observe-t-on dans le plan image ?

2. Comment réaliser un filtrage optique avec ce montage ?

3. Quel filtrage doit-on réaliser pour observer dans le plan image une succession de points distants de a/2 ?

4. On place dans le plan de Fourier une fente centrée sur l’axe de largeur 𝑏𝑏 = 0,9

suivant 𝑂𝑂

𝑥𝑥 . Quelle image obtient-on dans le plan image ? 5. Comment améliorer le contraste de l’objet ? Comment s’appelle cette technique ?

OP66 – Filtrage d’une mire sinusoïdale

L’objet est une mire sinusoïdale de période a de transmittance 𝑒𝑒(𝑥𝑥) =

�1 + cos�

��

1°) Rappeler les fréquences spatiales contenues dans l’objet. En considérant la largeur L de la mire infinie, décrire l’aspect du plan de Fourier.

2°) Quel est l’éclairement dans le plan image ? Quelles sont les fréquences spatiales de cet éclairement ? Comparer à celles présentes dans l’objet.

Commenter.

3°) On place un petit disque opaque de rayon 𝑟𝑟

au foyer image de la lentille. Donner une limite supérieure de 𝑟𝑟

pour que l’éclairement ne soit pas uniformément nul dans le plan image. Déterminer l’amplitude dans ce plan à un facteur de phase près.

4°) Déterminer l’éclairement de l’image et commenter les fréquences qu’elle contient en termes d’enrichissement ou d’appauvrissement.

OP67 – Fentes d’Young

On dispose d’une plaque percée de deux fentes de largeur b et distantes de a.

1°) Déterminer l’expression du facteur de transparence. Quelles sont les grandeurs caractéristiques ? Quelles sont les fréquences spatiales caractéristiques dans le plan de Fourier ?

2°) Déterminer dans le plan de Fourier le spectre de ces fentes d’Young. Le spectre dans le plan de Fourier est donné par la TF de t(x) : 𝑇𝑇𝐹𝐹�𝑒𝑒(𝑥𝑥)� =

∫ 𝑒𝑒(𝑥𝑥) 𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑥𝑥 .

3°) Déterminer l’intensité observée dans le plan de Fourier. Dans quelle zone de l’écran est-il possible d’avoir une intensité acceptable ?