OP11 - Réflexion totale 1°) Soit :

(1)

OP11 - Réflexion totale

1°) Soit :

n sin(𝑖𝑖

1

) = sin(𝑖𝑖

2

) et sin(𝑖𝑖

1

) = r

� r² + h² Or 𝑖𝑖

1

< i

lim

= 48,7° ⇒ sin(𝑖𝑖

1

) <

_𝑛𝑛¹

Donc :

sin(𝑖𝑖

₁

) = r

√r

²

+ h

²

< 1 𝑛𝑛

⇔ r²

r

²

+ h

²

< 1

𝑛𝑛² ⇔ r

²

+ h

²

> n²r² ⇔ h

²

> n²r² − r²

⇒ h

₀

= r � n² − 1 ⇔ ℎ

₀

= 8,77cm

2°) On a h=10 cm, par conséquent la tête d’épingle est visible de l’extérieur. Celle-ci va définir un angle de 45° (triangle rectangle isocèle). Donc :

𝑖𝑖

₀

= 45° < 𝑖𝑖

₁

< i

_lim

= 48,7°

(2)

Laurent Pietri ~ 2 ~ Lycée Joffre - Montpellier

OP12 - Méthode de Bessel

1°) En adoptant les notations définies dans la relation de Descartes, 𝑝𝑝 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 �� 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝

^′

= 𝑂𝑂𝑂𝑂′ �� , on obtient deux équations :

1 𝑝𝑝′ −

1 𝑝𝑝 = 1

𝑓𝑓′ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐷𝐷 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 ��

^′

= 𝑂𝑂𝑂𝑂 �� + 𝑂𝑂𝑂𝑂 ��

^′

= 𝑝𝑝

^′

− 𝑝𝑝 D’où en combinant ces deux équations :

1 𝑝𝑝 + 𝐷𝐷 −

1 𝑝𝑝 = 1

𝑓𝑓′ ⇔ 𝑝𝑝 − (𝑝𝑝 + 𝐷𝐷) (𝑝𝑝 + 𝐷𝐷)𝑝𝑝 = 1

𝑓𝑓′ ⇔ −𝐷𝐷

𝑝𝑝² + 𝑝𝑝𝐷𝐷 = 1

⇔ − 𝐷𝐷𝑓𝑓

^′

− 𝑝𝑝² − 𝑝𝑝𝐷𝐷 = 0 ⇔ 𝑝𝑝² + 𝑝𝑝𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝑓𝑓

^′

= 0 𝑓𝑓′

Cette équation n'admet de solutions réelles que pour ∆>0 𝐷𝐷² − 4𝐷𝐷𝑓𝑓

^′

> 0

Pour former l'image réelle d'un objet réel par une lentille convergente il faut remplir la condition : 𝐷𝐷 > 4𝑓𝑓

^′

⇔ f

^′

<

^D₄

2°) Dans ce cas il existe deux racines et donc deux positions possibles de la lentille : 𝑝𝑝 = − 𝐷𝐷

2 ± �� D

2 �

²

− Df′

Chacune de ces solutions correspond bien à une valeur de p' positive (image réelle) et inférieure à D (objet réel). Elles conviennent donc toutes les deux.

3°) Ils ont tous les deux un grandissement négatif mais l’un supérieur à un et l’autre inférieur à un.

En effet : 𝛾𝛾 =

^𝑝𝑝_𝑝𝑝^′

=

^{𝐷𝐷+𝑝𝑝}_p

= 1 +

^𝐷𝐷_𝑝𝑝

= 1 +

^𝐷𝐷

−^𝐷𝐷₂±��^D₂�²−Df^′

= 1 +

¹

−¹₂±��¹₂�²−^f′_D

= 1 − 2

1 ± √1 − 4Df′ = 1 − 2 1 ± α

_0<_α_<1

Si on prend la solution « + » alors : −1 < 𝛾𝛾 < 0 .

Si on prend la solution « - » alors : −∞ < 𝛾𝛾 < −1.

4°) Soit 𝑑𝑑 = |𝑝𝑝

1

− 𝑝𝑝

2

| = �𝐷𝐷² − 4𝐷𝐷𝑓𝑓′ ⇒ 𝑓𝑓

^′

=

^{𝐷𝐷²−𝑑𝑑²}_4𝐷𝐷

(3)

OP13 - Optique de l’œil

(4)

OP14 - Aberrations chromatiques d’une lentille simple

OP15 - La loupe

(5)

OP16 - Association lentille-miroir plan

OP17 - Incidence de Brewster

Soit :

On a :

𝑛𝑛

1

sin(𝑖𝑖

1

) = 𝑛𝑛

2

sin(𝑖𝑖

2

) ⇔ sin(𝑖𝑖

1

) = n sin(𝑖𝑖

2

) Or 𝑖𝑖

1

+ 𝑖𝑖

2

=

^π₂

d’où sin(𝑖𝑖

1

) = n sin �

^π₂

− 𝑖𝑖

1

�

⇒ tan(𝑖𝑖

₁

) = n = 1,5

⇒ 𝑖𝑖

1

= 56°

(6)

OP18 - Agrandisseur-Réducteur d’image

OP19 - Déplacement d’un rayon lumineux

La construction montre que le rayon sort de la lame sans avoir été dévié, mais décalé de la distance d.

Sur le schéma notons d=CB alors :

𝑑𝑑 = 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑖𝑖 − 𝑟𝑟) 𝑜𝑜ù 𝑟𝑟 = 𝑖𝑖

2

tel que sin(𝑖𝑖

1

) = nsin(𝑖𝑖

2

) De plus : 𝑂𝑂𝐴𝐴 =

_{cos (𝑖𝑖}^𝑒𝑒

2)

D’où :

𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 sin (𝑖𝑖

1

− 𝑖𝑖

2

)

cos (𝑖𝑖

₂

) = 1,65 𝑚𝑚𝑚𝑚

(7)

OP110 - Fibre optique

En I, il faut qu’il y est réflexion totale d’où : sin(𝑖𝑖) >

^𝑛𝑛_𝑛𝑛²

Or 𝑖𝑖 + θ

₁

=

^𝜋𝜋₂ 1

𝑑𝑑

^′

𝑜𝑜ù cos( θ

₁

) = sin (𝑖𝑖) ⇔ �1 − 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛²( θ

₁

) > 𝑛𝑛

2

𝑛𝑛

₁

⇔ 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛

²

( θ

₁

) > � 𝑛𝑛

2

𝑛𝑛

₁

�

²

− 1 De plus : n

1

sin( θ

₁

) = sin( θ

₀

)

Donc

^{𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛²(}_n ^θ⁰⁾

1²

> �

^𝑛𝑛_𝑛𝑛²

1

�

²

− 1 ⇔ n

1

² − 𝑛𝑛

2

² > 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛²( θ

₀

)

⇒ 0 < θ

₀

< θ

_𝑓𝑓

𝑜𝑜ù θ

_𝑓𝑓

= 𝑂𝑂𝑟𝑟𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛�𝑛𝑛

₁²

− 𝑛𝑛

₂²

OP111 - Prisme de petit angle sous faible incidence

1°) A l’aide la figure on voit que :

• Dans PRM : π=A+(π-r-r’)⇒A=r+r’

• Dans PQM : π-D+(i-r)+(i’-r’)=π ⇒ D=i+i’-A

Les lois de Descartes en M et P donnent les deux dernières relations :

• En M : sin(i)=nsin(r)

• En P : sin(i’)=nsin(r’)

2°) Si A est petit et si l’incidence est rasante : i petit on peut utilise les approximations des petits angles d’où :

D=i+i’-A=nr+nr’-A=(n-1)A

(8)

OP21 – Accord de phase sur un dioptre

(9)

OP22 – Lentille et chemins optiques

Les surfaces d’ondes sont des sphères de centre S’. Soit H le point sur l’axe (Ox) appartenant à la même surface d’onde tel que :

𝑂𝑂𝑂𝑂 ��⃗ = 𝑂𝑂𝑂𝑂′ ��⃗ + 𝑂𝑂′𝑂𝑂 ��⃗ = 3𝑓𝑓

^′

𝑢𝑢 ��⃗ − �(𝑥𝑥

_𝑥𝑥 ^′

− 3𝑓𝑓

^′

)

²

+ (𝑦𝑦

^′

− 0)

²

𝑢𝑢 ��⃗

_𝑥𝑥

Or (𝑂𝑂𝑀𝑀

^′

) = (𝑂𝑂𝑂𝑂) = 𝑛𝑛

_{𝑎𝑎𝑖𝑖𝑎𝑎}

𝑂𝑂𝑂𝑂 + (𝑛𝑛 − 𝑛𝑛

_{𝑎𝑎𝑖𝑖𝑎𝑎}

)𝑒𝑒 avec 𝑂𝑂𝑂𝑂 ��⃗ = 𝑂𝑂𝑂𝑂 ��⃗ + 𝑂𝑂𝑂𝑂 ��⃗

⇒ (𝑂𝑂𝑀𝑀

^′

) = 𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑎𝑎

� 9𝑓𝑓

^′

2 − �(𝑥𝑥

^′

− 3𝑓𝑓

^′

)

²

+ 𝑦𝑦

^′2

� + (𝑛𝑛 − 𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑎𝑎

)

(10)

OP23 – Lame de verre avec défaut d’épaisseur

OP24 – Raie quasi-monochromatique

1°) Soit :

𝐿𝐿

𝑐𝑐

= 𝐴𝐴 τ

_𝑐𝑐

= 𝐴𝐴

∆υ 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑟𝑟 τ

_𝑐𝑐

∆υ = 1 Or :

𝛥𝛥𝜈𝜈 = ∆ � 𝐴𝐴

λ � = 𝐴𝐴 ∆λ

λ

_0𝑚𝑚²

𝐴𝐴𝑐𝑐𝑟𝑟 𝛥𝛥𝜆𝜆 ≪ 𝜆𝜆

0𝑚𝑚

⇒ 𝐿𝐿

_𝑐𝑐

= λ

_0𝑚𝑚²

∆λ

2°) C’est une raie rouge telle que : 𝐿𝐿

_𝑐𝑐

=

^λ_∆λ^0𝑚𝑚²

= 32𝐴𝐴𝑚𝑚 et 𝑁𝑁 =

_𝜆𝜆^𝐿𝐿^𝑐𝑐

0𝑚𝑚

≈ 5.10

⁵

(11)

OP31 – Méthode de Fresnel

1°)

Soit les deux signaux : 𝐴𝐴

1

(𝑒𝑒) = 𝑂𝑂

1

𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴( ω 𝑒𝑒 + ϕ

₁

) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴

2

(𝑒𝑒) = 𝑂𝑂

2

𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴( ω 𝑒𝑒 + ϕ

₂

) . On se rappelle que les normes des vecteurs 𝑂𝑂 ��⃗

1

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑂𝑂 ��⃗

2

sont égales aux amplitudes des signaux.

On a représenté aussi le vecteur de Fresnel du signal somme 𝐴𝐴(𝑒𝑒) 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑂𝑂⃗ tel que : 𝑂𝑂² = �𝑂𝑂 ��⃗

1

+ 𝑂𝑂 ��⃗�² =

2

𝑂𝑂

12

+ 𝑂𝑂

22

+ 2𝑂𝑂 ��⃗

1

. 𝑂𝑂 ��⃗

2

= 𝑂𝑂

12

+ 𝑂𝑂

22

+ 2𝑂𝑂

1

. 𝑂𝑂

2

cos ( ϕ

₂

− ϕ

₁

) Donc :

𝑂𝑂

²

= 𝑂𝑂

₁²

+ 𝑂𝑂

₂²

+ 2𝑂𝑂

₁

𝑂𝑂

₂

𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴 ( ϕ

₂

− ϕ

₁

) 2°)

On a :

𝑂𝑂

²

= 2𝑂𝑂

12

�1 + 𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴� ϕ

₂

− ϕ

₁

�� = 4𝑂𝑂

12

𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴

^2�^ϕ²⁻^{2 �}^ϕ¹

⇒ 𝑂𝑂 = 2𝑂𝑂

1

𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴 � ϕ

₂

− ϕ

₁

2 �

Soit 𝐴𝐴(𝑒𝑒) = 𝐴𝐴

1

(𝑒𝑒) + 𝐴𝐴

2

(𝑒𝑒) = 𝑂𝑂�cos� ω t + ϕ

₁

� + A cos( ω t + ϕ

₂

)�

= 2𝑂𝑂𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴 � 2 ω t + ϕ

₁

+ ϕ

₂

2 � 𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴 � ϕ

₂

− ϕ

₁

2 �

𝐴𝐴𝑐𝑐𝑟𝑟 𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴𝑝𝑝 + 𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴𝑐𝑐 = 2𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴 � 𝑝𝑝 + 𝑐𝑐

2 � 𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴 � 𝑝𝑝 − 𝑐𝑐 2 � 𝐷𝐷

^′

𝑜𝑜ù 𝐴𝐴(𝑒𝑒) = 2𝑂𝑂𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴 � ϕ

₂

− ϕ

₁

2 �

��

𝐴𝐴

cos ( ω t + ϕ

_m

)

(12)

OP32 – Interférences

Soit :

𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 𝐾𝐾� 𝐴𝐴 𝐴𝐴

^∗

�

= 𝐾𝐾 �𝑐𝑐

1

𝑒𝑒

^𝑗𝑗�^ω^𝑡𝑡−^ϕ¹^{(𝑥𝑥)�}

+ 𝑐𝑐

2

𝑒𝑒

^𝑗𝑗�^ω^𝑡𝑡−^ϕ²^{(𝑥𝑥)�}

� �𝑐𝑐

1

𝑒𝑒

^{−𝑗𝑗�}^ω^𝑡𝑡−^ϕ¹^{(𝑥𝑥)�}

+ 𝑐𝑐

2

𝑒𝑒

^{−𝑗𝑗�}^ω^𝑡𝑡−^ϕ²^{(𝑥𝑥)�}

�

= 𝐾𝐾𝑐𝑐

₁²

+ 𝐾𝐾𝑐𝑐

₂²

+ 𝐾𝐾𝑐𝑐

₁

𝑐𝑐

₂

�𝑒𝑒

^𝑗𝑗�^ϕ¹^{(𝑥𝑥)−}^ϕ²^{(𝑥𝑥)�}

+ 𝑒𝑒

^{−𝑗𝑗�}^ϕ¹^{(𝑥𝑥)−}^ϕ²^{(𝑥𝑥)�}

�

= 𝐾𝐾𝑐𝑐

12

+ 𝐾𝐾𝑐𝑐

22

+ 2𝐾𝐾𝑐𝑐

1

𝑐𝑐

2

cos � ϕ

₂

(𝑥𝑥) − ϕ

₁

(𝑥𝑥)�

D’où

𝐼𝐼

1

+ 𝐼𝐼

2

+ 2�𝐼𝐼

1

𝐼𝐼

2

cos� ∆ϕ (𝑀𝑀)�

2°) Or :

𝐼𝐼

_{𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥}

= 𝐼𝐼

₁

+ 𝐼𝐼

₂

+ 2�𝐼𝐼

₁

𝐼𝐼

₂

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐼𝐼

_{𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛}

= 𝐼𝐼

₁

+ 𝐼𝐼

₂

− 2�𝐼𝐼

₁

𝐼𝐼

₂

Tel que :

3°) On a : 𝐶𝐶 =

^𝐼𝐼_𝐼𝐼^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}^−𝐼𝐼^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐼𝐼_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}

=

_2(𝐼𝐼^4�𝐼𝐼¹^𝐼𝐼²

1+𝐼𝐼₂)

Or : 𝐶𝐶 =

_2(𝐼𝐼^4�𝐼𝐼¹^𝐼𝐼²

1+𝐼𝐼₂)

= 2

_1+𝑢𝑢^√𝑢𝑢

𝑜𝑜ù 𝑢𝑢 =

^𝐼𝐼_𝐼𝐼²

D’où :

1

𝐶𝐶

^′

(𝑢𝑢) = 2 � 1

2 √𝑢𝑢 (1 + 𝑢𝑢) − √𝑢𝑢�

(1 + 𝑢𝑢)

²

= 2 � 1

2√𝑢𝑢 − √𝑢𝑢 2 �

(1 + 𝑢𝑢)

²

= √𝑢𝑢 � 1 𝑢𝑢 − 1�

(1 + 𝑢𝑢)

²

Donc C est extrêmal pour u=1

4°) On a : ∆ϕ (𝑀𝑀) =

²_λ^πδ

(13)

5°) Soit : 𝛿𝛿 = (𝑂𝑂

₂

𝑀𝑀) – (𝑂𝑂

₁

𝑀𝑀) Or :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧

𝑂𝑂

2

𝑀𝑀 = ��𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

2 �

²

+ 𝐷𝐷² + 𝑦𝑦² = 𝐷𝐷�1 + 𝑦𝑦

²

𝐷𝐷

²

+ � 𝑥𝑥

𝐷𝐷 + 𝑐𝑐 2𝐷𝐷� ² 𝑂𝑂

1

𝑀𝑀 = ��𝑥𝑥 − 𝑐𝑐

2 �

²

+ 𝐷𝐷² + 𝑦𝑦² = 𝐷𝐷�1 + 𝑦𝑦

²

𝐷𝐷

²

+ � 𝑥𝑥

𝐷𝐷 − 𝑐𝑐 2𝐷𝐷� ²

⇔

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑂𝑂

2

𝑀𝑀~𝐷𝐷 �1 + 1 2 � 𝑐𝑐𝑥𝑥

𝐷𝐷

²

+ 𝑦𝑦

²

𝐷𝐷

²

+ 𝑐𝑐

²

4𝐷𝐷

²

+ 𝑥𝑥

²

𝐷𝐷

²

��

𝑂𝑂

1

𝑀𝑀~𝐷𝐷 �1 + 1 2 �− 𝑐𝑐𝑥𝑥

𝐷𝐷

²

+ 𝑦𝑦

²

𝐷𝐷

²

+ 𝑐𝑐

²

4𝐷𝐷

²

+ 𝑥𝑥

²

𝐷𝐷

²

��

Donc :

𝛿𝛿 ∼ 𝐷𝐷 × 𝑐𝑐𝑥𝑥 𝐷𝐷

²

⇒ 𝛿𝛿 = 𝑐𝑐𝑥𝑥 𝐷𝐷

⇒ ∆ϕ (𝑀𝑀) = 2 π

λ

₀

δ = 2 π λ

₀

𝑐𝑐𝑥𝑥

𝐷𝐷

⇒ 𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 2𝐼𝐼

₀

�1 + cos � 2 π λ

₀

𝑐𝑐𝑥𝑥

𝐷𝐷 ��

(14)

OP33 – Superposition d’ondes

(15)

OP34 – Tube de Kundt

OP35 - Accord d’un piano

(16)

OP36 - Ecoute musicale et interférences

OP37 - Anharmonicité d’une corde de piano

1°) 𝑂𝑂𝑜𝑜𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐴𝐴 = [𝜔𝜔]

[𝑘𝑘] donc c est une vitesse

Le terme sous la racine est sans dimension donc α à la dimension de

_𝑘𝑘²¹

soit [𝛼𝛼] = 𝑇𝑇²

(17)

OP41 – Etoiles à l’infini

(18)

(19)

OP42 – Fentes d’Young et lame

(20)

OP43 – Miroirs de Lloyd

(21)

OP44 – Trois trous d’Young

1°) Les trois ondes qui interfèrent en M sont issues d’une même source ponctuelle qui émet une radiation supposée parfaitement monochromatique. Elles sont donc cohérentes.

2°) On retrouve le même calcul que pour les trous d’Young d’où :

⎩ ⎨

⎧𝛿𝛿

12

= − 𝑐𝑐𝑥𝑥

𝑓𝑓

^′

⇒ ϕ

₁₂

= − 2 π 𝑐𝑐𝑥𝑥 λ 𝑓𝑓

^′

= − ϕ 𝛿𝛿

32

= 𝑐𝑐𝑥𝑥

𝑓𝑓

^′

⇒ ϕ

₃₂

= 2 π 𝑐𝑐𝑥𝑥 λ 𝑓𝑓

^′

= ϕ 3°) a)

Soit : 𝐴𝐴 = �𝑐𝑐

1

𝑒𝑒

^𝑗𝑗�^ω^𝑡𝑡−^ϕ¹^{(𝑀𝑀)�}

+ 𝑐𝑐

2

𝑒𝑒

^𝑗𝑗�^ω^𝑡𝑡−^ϕ²^{(𝑀𝑀)�}

�

⇒ 𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 1

2 𝐾𝐾 �𝑐𝑐

1

𝑒𝑒

^𝑗𝑗�^ω^𝑡𝑡−^ϕ¹^{(𝑀𝑀)�}

+ 𝑐𝑐

2

𝑒𝑒

^𝑗𝑗�^ω^𝑡𝑡−^ϕ²^{(𝑀𝑀)�}

� �𝑐𝑐

1

𝑒𝑒

^{−𝑗𝑗�}^ω^𝑡𝑡−^ϕ¹^{(𝑀𝑀)�}

+ 𝑐𝑐

2

𝑒𝑒

^{−𝑗𝑗�}^ω^𝑡𝑡−^ϕ²^{(𝑀𝑀)�}

�

⇒ 𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 1

2 𝐾𝐾𝑐𝑐

₁²

+ 1

2 𝐾𝐾𝑐𝑐

₂²

+ 𝐾𝐾𝑐𝑐

₁

𝑐𝑐

₂

�𝑒𝑒

^𝑗𝑗�^ϕ²^{(𝑀𝑀)−}^ϕ¹^{(𝑀𝑀)�}

+ 𝑒𝑒

^{−𝑗𝑗�}^ϕ²^{(𝑀𝑀)−}^ϕ¹^{(𝑀𝑀)�}

�

⇒ 𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 1

2 𝐾𝐾𝑐𝑐

₁²

+ 1

2 𝐾𝐾𝑐𝑐

₂²

+ 2𝐾𝐾𝑐𝑐

1

𝑐𝑐

2

𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴 � ϕ

₂

(𝑀𝑀) − ϕ

₁

(𝑀𝑀)�

⇒ 𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 𝐼𝐼

₁

+ 𝐼𝐼

₂

+ 2�𝐼𝐼

₁

𝐼𝐼

₂

𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴( ∆ϕ ) 3°) b) On a :

𝐴𝐴

3

= 𝐴𝐴

2

𝑒𝑒

^𝑗𝑗^ϕ

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴

1

= 𝐴𝐴

2

𝑒𝑒

^−𝑗𝑗^ϕ

⇒ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴

2

�1 + 𝑒𝑒

^𝑗𝑗^ϕ

+ 𝑒𝑒

^−𝑗𝑗^ϕ

�

⇒ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴

₂

(1 + 2 cos( ϕ ))

⇒ (1 + 2 cos( ϕ ))

²

(22)

OP45 – Trous d’Young et largeur de source

(23)

(24)

(25)

(26)

OP46 – Frange achromatique

(27)

OP47 – Méthode de Michelson et Pease

(28)

OP51 – Michelson en lame d’air

(29)

(30)

(31)

OP52 – Michelson et doublet du sodium

(32)

(33)

(34)

(35)

OP53 – Profil de raie rectangulaire

(36)

OP54 – Interféromètre de Michelson avec miroir sphérique

(37)

(38)

OP55 – Michelson en coin d’air

(39)

(40)

OP56 – Détermination de l’indice de l’air

(41)

(42)

OP57 – Vélocimétrie Laser

(43)

(44)

(45)

OP61 – Fente rectiligne

(46)

(47)

OP62 – Diffraction par un réseau

(48)

(49)

(50)

OP63 – Traits parallèles équidistants

(51)

(52)

OP65 – Filtrage optique

(53)

OP66 – Filtrage d’une mire sinusoïdale

1°) L’objet est une mire sinusoïdale de période a de transmittance : 𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 1

2 �1 + cos � 2 π 𝑥𝑥

𝑐𝑐 �� = 1 2 +

1 4 𝑒𝑒

^𝑖𝑖2^𝑎𝑎^π^𝑥𝑥

+ 1

4 𝑒𝑒

⁻^𝑖𝑖2^𝑎𝑎^π^𝑥𝑥

D’où les fréquences spatiales :

𝑢𝑢 = �− 1 𝑐𝑐 , 0, 1

𝑐𝑐 � Les tâches spatiales dans le plan de Fourier sont donc :

𝑋𝑋 = �− λ 𝑓𝑓

^′

𝑐𝑐 , 0, λ 𝑓𝑓

^′

𝑐𝑐 � 2°) Dans le plan image :

𝐴𝐴 = 𝐴𝐴

0

𝑒𝑒(𝑥𝑥) ⇒ 𝐼𝐼 = 𝐴𝐴

₀²

4 �1 + cos � 2 π 𝑥𝑥

𝑐𝑐 ��

²

⇒ 𝐼𝐼 = 𝐴𝐴

₀²

4 �1 + 2 cos � 2 π 𝑥𝑥

𝑐𝑐 � + cos

²

� 2 π 𝑥𝑥 𝑐𝑐 ��

⇒ 𝐼𝐼 = 𝐴𝐴

₀²

4 � 3

2 + 2 cos � 2 π 𝑥𝑥 𝑐𝑐 � + 1

2 cos � 4 π 𝑥𝑥 𝑐𝑐 ��

D’où le spectre du plan image :

{− 2 𝑐𝑐 , − 1

𝑐𝑐 , 0, 1 𝑐𝑐 , 2

𝑐𝑐 }

3°) Pour que l’intensité ne soit pas nulle il faut au moins laisser passer les fréquences ±

_𝑎𝑎¹

. Donc 𝑟𝑟

𝐷𝐷

<

λ𝑓𝑓^′

Dans ce cas il reste dans le plan de Fourier deux sources cohérentes car elles proviennent d’une même

𝑎𝑎

source. On se retrouve dans la même situation que les trous d’Young tel que : 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴

0

�1 + 𝑒𝑒

^𝑖𝑖2^λ^πδ

� 𝑜𝑜ù δ = aX

D = 2 λ 𝑓𝑓

^′

𝑐𝑐 . 𝑥𝑥

𝑓𝑓

^′

= 2𝑥𝑥𝑓𝑓

^′

𝑐𝑐 ⇒ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴

0

�1 + 𝑒𝑒

�

⇒ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴

0

𝑒𝑒

�𝑒𝑒

⁻^𝑖𝑖2^𝑎𝑎^π^𝑥𝑥

+ 𝑒𝑒

� ⇒ 𝐴𝐴 = 2𝐴𝐴

0

𝑒𝑒

cos � 2 π 𝑥𝑥 𝑐𝑐 � 4°) D’où l’intensité est :

𝐼𝐼 = 4𝐴𝐴

₀²

cos

²

� 2 π 𝑥𝑥 𝑐𝑐 �

⇒ 𝐼𝐼 = 2𝐴𝐴

₀²

(1 + 𝐴𝐴𝑜𝑜𝐴𝐴 � 4 π 𝑥𝑥 𝑐𝑐 �

Les fréquences spatiales sont donc doubles que l’objet : �−

²_𝑎𝑎

, 0 ,

²_𝑎𝑎

�. On a réalisé un doubleur de

fréquence.

(54)

OP67 – Fentes d’Young

1°) On a donc :

𝑒𝑒(𝑥𝑥) = � 1, − 𝑏𝑏 2 ±

𝑐𝑐

2 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏 2 ±

𝑐𝑐 0, 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑢𝑢𝑟𝑟𝐴𝐴 2

Les grandeurs caractéristiques sont les largeurs des fentes et la distance entre elles d’où les fréquences spatiales :

¹_𝑎𝑎

𝑒𝑒𝑒𝑒

¹_𝑏𝑏

2°) 𝑇𝑇(𝑢𝑢) = 𝑇𝑇𝑇𝑇�𝑒𝑒(𝑥𝑥)� = ∫ 𝑒𝑒 (𝑥𝑥) 𝑒𝑒

^−𝑖𝑖2^π^{𝑢𝑢𝑥𝑥}

𝑑𝑑𝑥𝑥

= � 𝑒𝑒

^−𝑖𝑖2^π^{𝑢𝑢𝑥𝑥}

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑏𝑏2−𝑎𝑎 2

−𝑏𝑏2−𝑎𝑎 2

+ � 𝑒𝑒

^{−𝑖𝑖2𝑢𝑢𝑥𝑥}

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑏𝑏2+𝑎𝑎 2

−𝑏𝑏2+𝑎𝑎 2

= � 𝑒𝑒

^{−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢𝑥𝑥}

−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢 �

−𝑏𝑏2−𝑎𝑎 2 𝑏𝑏2−𝑎𝑎

2

+ � 𝑒𝑒

−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢 �

−𝑏𝑏2+𝑎𝑎 2 𝑏𝑏2+𝑎𝑎

2

= � 𝑒𝑒

−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢 �

−𝑏𝑏2−𝑎𝑎 2 𝑏𝑏2−𝑎𝑎

2

+ � 𝑒𝑒

−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢 �

−𝑏𝑏2+𝑎𝑎 2 𝑏𝑏2+𝑎𝑎

2

= 1

𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢 �−𝑒𝑒

−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢�𝑏𝑏2−𝑎𝑎

2�

+ 𝑒𝑒

−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢�−𝑏𝑏2−𝑎𝑎

2�

+ 𝑒𝑒

−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢�−𝑏𝑏2+𝑎𝑎

2�

− 𝑒𝑒

−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢�𝑏𝑏2+𝑎𝑎 2�

�

= 𝑒𝑒

^𝑖𝑖^π^{𝑢𝑢𝑎𝑎}

𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢 �−𝑒𝑒

^{−𝑖𝑖𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏}

+ 𝑒𝑒

^{𝑖𝑖𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏}

� + 𝑒𝑒

^−𝑖𝑖^π^{𝑢𝑢𝑎𝑎}

𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢 �−𝑒𝑒

^{−𝑖𝑖𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏}

+ 𝑒𝑒

^{𝑖𝑖𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏}

�

= 𝑒𝑒

^𝑖𝑖^π^{𝑢𝑢𝑎𝑎}

𝜋𝜋𝑢𝑢 sin(𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏) + 𝑒𝑒

^−𝑖𝑖^π^{𝑢𝑢𝑎𝑎}

𝜋𝜋𝑢𝑢 sin(𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏)

⇒ 𝑇𝑇(𝑢𝑢) = 2𝑏𝑏 cos( π 𝑢𝑢𝑐𝑐) sinc(𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏) 3°) D’où : 𝐼𝐼(𝑢𝑢) = 𝐼𝐼

0

cos

²

( π 𝑢𝑢𝑐𝑐) sinc

²

(𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏)

⇔ 𝐼𝐼(𝑢𝑢) = 𝐼𝐼

0

2 (1 + cos(2 π 𝑢𝑢𝑐𝑐)) sinc

²

OP11 - Réflexion totale 1°) Soit :