OG1 - Réflexion totale

(1)

OG1 - Réflexion totale

1°) Soit :

n sin(𝑖𝑖₁) = sin(𝑖𝑖₂) et sin(𝑖𝑖₁) = r

�r² + h² Or 𝑖𝑖1 < ilim = 48,7° ⇒ sin(𝑖𝑖1) <_𝑛𝑛¹

Donc :

sin(𝑖𝑖1) = r

√r²+ h² <1 𝑛𝑛

⇔ r²

r²+ h² < 1

𝑛𝑛²⇔ r²+ h² > n²r²⇔h² > n²r²−r²

⇒ h₀= r�n²−1 ⇔ ℎ₀ = 8,77cm

2°) On a h=10 cm, par conséquent la tête d’épingle est visible de l’extérieur. Celle-ci va définir un angle de 45° (triangle rectangle isocèle). Donc :

𝑖𝑖₀ = 45° <𝑖𝑖₁ < i_lim = 48,7°

(2)

OG2 - Déplacement d’un rayon lumineux

La construction montre que le rayon sort de la lame sans avoir été dévié, mais décalé de la distance d.

Sur le schéma notons d=CB alors :

𝑑𝑑 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑖𝑖 − 𝑟𝑟) 𝑜𝑜ù 𝑟𝑟=𝑖𝑖2 tel que sin(𝑖𝑖1) = nsin(𝑖𝑖2) De plus : 𝐴𝐴𝐴𝐴 =_{cos (𝑖𝑖}^𝑒𝑒

2)

D’où :

𝑑𝑑 = 𝑒𝑒sin (𝑖𝑖₁− 𝑖𝑖₂)

cos (𝑖𝑖2) = 1,65𝑚𝑚𝑚𝑚

OG3 - Fibre optique

En I, il faut qu’il y est réflexion totale d’où : sin(𝑖𝑖) >^𝑛𝑛_𝑛𝑛² Or 𝑖𝑖+θ₁ = ^𝜋𝜋₂ 1

𝑑𝑑^′𝑜𝑜ù cos(θ₁) = sin (𝑖𝑖)⇔ �1− 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛²(θ₁) >𝑛𝑛₂

𝑛𝑛1 ⇔ 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛²(θ₁) >�𝑛𝑛₂ 𝑛𝑛1�²−1 De plus : n₁ sin(θ₁) = sin(θ₀)

Donc^{𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛²(}_n ^θ⁰⁾

1² >�^𝑛𝑛_𝑛𝑛²

1�²−1⇔ n₁²− 𝑛𝑛₂² >𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛²(θ₀)

⇒ 0 <θ₀ <θ_𝑓𝑓 𝑜𝑜ù θ_𝑓𝑓 =𝐴𝐴𝑟𝑟𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛�𝑛𝑛₁² − 𝑛𝑛₂²

(3)

OG4 - Mesure de l’indice d’un liquide

Pour que les fils coïncident entièrement, il faut que l’image du premier fil soit aligné avec le second fil, ce qui entraîne que :

𝑛𝑛𝐴𝐴𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑖𝑖) = sin(𝑖𝑖0)⇔ 𝑛𝑛 𝑎𝑎2

�𝑎𝑎² 4 +ℎ²

= sin(𝑖𝑖0)⇔𝑛𝑛 1

�1 +4ℎ² 𝑎𝑎²

= sin(𝑖𝑖0)

⇔ 𝑛𝑛= sin (𝑖𝑖₀)�1 +^4ℎ²_𝑎𝑎²

OG5 - Prisme de petit angle sous faible incidence

1°) A l’aide la figure on voit que :

• Dans PRM : π=A+(π-r-r’)⇒A=r+r’

• Dans PQM : π-D+(i-r)+(i’-r’)=π⇒ D=i+i’-A

Les lois de Descartes en M et P donnent les deux dernières relations :

• En M : sin(i)=nsin(r)

• En P : sin(i’)=nsin(r’)

(4)

OG6 - Mesure de l’indice d’un liquide

(5)

OG7 - Méthode de Bessel

1°) En adoptant les notations définies dans la relation de Descartes, 𝑝𝑝 =𝑂𝑂𝐴𝐴�� 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝^′= 𝑂𝑂𝐴𝐴′��, on obtient deux équations :

1 𝑝𝑝′ −

1 𝑝𝑝= 1

𝑓𝑓′ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐷𝐷 = 𝐴𝐴𝐴𝐴��^′= 𝐴𝐴𝑂𝑂��+𝑂𝑂𝐴𝐴��^′ =𝑝𝑝^′− 𝑝𝑝 D’où en combinant ces deux équations :

1 𝑝𝑝+𝐷𝐷 −

1 𝑝𝑝= 1

𝑓𝑓′ ⇔ 𝑝𝑝 −(𝑝𝑝+𝐷𝐷) (𝑝𝑝+𝐷𝐷)𝑝𝑝 = 1

𝑓𝑓′ ⇔ −𝐷𝐷

𝑝𝑝² +𝑝𝑝𝐷𝐷 = 1

⇔− 𝐷𝐷𝑓𝑓^′− 𝑝𝑝²− 𝑝𝑝𝐷𝐷= 0 ⇔ 𝑝𝑝² +𝑝𝑝𝐷𝐷+𝐷𝐷𝑓𝑓^′ = 0 𝑓𝑓′

Cette équation n'admet de solutions réelles que pour ∆>0 𝐷𝐷²−4𝐷𝐷𝑓𝑓^′> 0

Pour former l'image réelle d'un objet réel par une lentille convergente il faut remplir la condition : 𝐷𝐷 > 4𝑓𝑓^′⇔ f^′< ^D₄

2°) Dans ce cas il existe deux racines et donc deux positions possibles de la lentille : 𝑝𝑝= −^𝐷𝐷₂ ±

��^D₂�²−Df′

Chacune de ces solutions correspond bien à une valeur de p' positive (image réelle) et inférieure à D (objet réel). Elles conviennent donc toutes les deux.

3°) Ils ont tous les deux un grandissement négatif mais l’un supérieur à un et l’autre inférieur à un.

En effet : 𝛾𝛾 = ^𝑝𝑝_𝑝𝑝^′ =^{𝐷𝐷+𝑝𝑝}_p = 1 +^𝐷𝐷_𝑝𝑝= 1 + ^𝐷𝐷

−^𝐷𝐷₂±��^D₂�²−Df^ʹ = 1 + ¹

−¹₂±��¹₂�²−_D^f^ʹ

= 1− 2

1 ±√1−4Dfʹ= 1− 2 1 ±α_0<_α_<1 Si on prend la solution « + » alors : −1 < 𝛾𝛾 < 0.

Si on prend la solution « - » alors : −∞<𝛾𝛾 < −1.

4°) Soit 𝑑𝑑= |𝑝𝑝₁− 𝑝𝑝₂| =�𝐷𝐷²−4𝐷𝐷𝑓𝑓ʹ⇒ 𝑓𝑓^ʹ=^{𝐷𝐷²−𝑑𝑑²}_4𝐷𝐷

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OG8 - La loupe

(7)

OG9 - Optique de l’œil

Le cristallin de l’œil est assimilable à une lentille mince de centre optique O, dont la vergence V est variable. L’espace objet est l’air d’indice n0=1, et on supposera que l’indice de l’espace image est aussi n0=1 (en réalité c’est un milieu assimilable à de l’eau, d’indice n1= 4/3).

L’image se forme sur la rétine, qui dans la réalité est à la distance dréel=15 mm de O mais que l’on considérera à d = 11 mm en raison de la différence entre n0 et n1.

1°) Un observateur doté d’une vision "normale" regarde un objet AB placé à 1 m devant lui, et tel que AB = 10 cm.

a) Préciser si l’image est réelle ou virtuelle, droite ou renversée.

b) On note A’B’ l’image de AB sur la rétine. Calculer le grandissement 𝛾𝛾=^{𝐴𝐴′𝐵𝐵′}^{��}_{𝐴𝐴𝐵𝐵}_��, et en déduire la taille de l’image A’B’.

c) Calculer la vergence V du système.

2°) L’observateur regarde maintenant un objet placé à 25 cm devant lui.

a) Préciser si l’image est réelle ou virtuelle, droite ou renversée.

b) Calculer la variation de la vergence par rapport à celle de la question (c) ainsi que la taille de l’image.

3°) On s’intéresse maintenant à un individu myope, qui possède donc un cristallin trop convergent. Lorsqu’il regarde à l’infini, l’image se forme à 0,5 mm

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OG10 - Aberrations chromatiques d’une lentille simple

(9)

OG1 - Réflexion totale