Sur la théorie de la réflexion des rayons X par les cristaux

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Sur la théorie de la réflexion des rayons X par les

cristaux

Ch. Mauguin

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

LE

RADIUM

.

SUR LA

THÉORIE

DE LA

RÉFLEXION

DES RAYONS X PAR LES CRISTAUX

Par CH. MAUGUIN.

Sommaire. 2014 Nous avons _repris la théorie de Darwin _{(1) de la réflexion des rayons} X par une lame cristalline en nous efforçant de conduire les calculs de façon aussi rigoureuse que possible. Après avoir établi les formules _générales qui donnent les amplitudes des ondes au niveau de _{chaque plan réticulaire,}

nous en faisons _{l’application} au cristal non absorbant Deux cas sont à distinguer, selon l’inclinaison des rayons X. 1er cas : les _amplitudes des ondes décroissent régulièrement à mesure _{qu’on s’éloigne} de la face d’entrée du cristal; si _{l’épaisseur} de celui-ci croit au delà de toute _limite, l’onde transmise finit par s’annuler _{complètement;} toute l’énergie se retrouvant dans l’onde _réfléchie, c’est le _phénomène de réflexion totale dont les conditions ont été bien étudiées par Darwin. 2e cas : les intensités des ondes à l’intérieur du cristal sont fonctions périodiques de la profondeur à laquelle on les _envisage; l’onde transmise et l’onde réfléchie par le cristal entier sont fonctions périodiques de _{l’épaisseur} totale de ce _dernier, et ne

tendent pas vers une limite déterminée lorsque cette _épaisseur croit indéfiniment.

SÉRIE VII.

-

ToME VII.

N° 6.

JUIN 1936.

Considérons une lame cristalline constituée

_{par les}

plans

réticulaires

1, 2,

..., rr

séparés

par l’intervalle constant

_{1, qui reçoit}

sous

_l’angle

0 un faisceau de

rayons X

parallèles

entre eux

_{monochromatiques}

(lon-gueur d’onde

~).

Chaque

plan

réticulaire réfléchit une

partie

du

_rayonnement

_qu’il

reçoit.

Fig. 1.

L’intensité _{de l’onde réfléchie par} un

_plan

isolé est

très

_petite,

_{mais les ondes réfléchies par les}

_plans

successifs

_peuvent

_{fournir par interférence} une onde

(1) DARWIN. Phil. _{Mag., 1914, 27, p.} 325, 6’15.

résultante

_{d’amplitude comparable}

à celle du faisceau

incident. Cette onde résultante ne

_peut

se _propager

dans le cristal sans se réfléchir à son tour. La résul-tante de cette seconde réflexion se réfléchira à nouveau

et ainsi de suite indéfiniment. On ne saurait

_négliger

l’effet de ces réflexions

_{multiples puisqu’elles}

s’excer-cent sur des ondes dont l’intensité

_peut

être

compara-ble à celle de l’onde incidente. Pour en tenir

_compte,

nous _remarquerons avec _{Darwin que l’ensemble de}

toutes les ondes

_(en

nombre

_{infini) qui}

se

_propagent

entre deux

_plans

réticulaires

_contigus

_{tels que les}

plans p -1

et p

se

_composent

en deux résultantes

seu-lement dont

_{l’une tp}

se _{propage dans la direction de}

transmission,

I’autre rp

dans la direction de réflexion.

Il _{n’existe pas dans le cristal d’autres ondes que} ces

résultantes

_{représentées schématiquement}

sur la

_figure

par de

petites

flèches

_indiquant

_{la direction de}

propa-gation.

Nous conviendrons de

_compter

les

_amplitudes

de ces résultantes

_comprises

entre les

_{plans p - 1}

et _p,

à

_partir

du

_plan

_{p. Les mêmes ondes}

_envisagées

au

voi-sinage

du

_{plan p - 1}

seront

_{représentées}

_par

_(q

_rp)

et

(q-t tp), q

étant le coefficient

_{capable d’exprimer}

le

changement

de

_phase

lié à la

_propagation

d’un

_plan

vers

_l’autre;

on a

Donnons-nous maintenant le coefficient de réflexion p et le coefficient de transmission r _par un

_plan

réticu-laire isolé. Nous voulons

_exprimer

par là que si le

plan

réticulaire

_reçoit

sur une de ses faces une onde

d’ampli-tude a il réfléchira une onde

_{d’amplitude p}

a et

trans-mettra une onde

_{d’amplitude r}

a

_(a,

_{p, ":} sont des

nom-bres

_{complexes capables}

_d’exprimer

non seulement la valeur absolue de

_{l’amplitude}

mais encore la

_phase

des

ondes).

Fig. 2.

’

Formules de récurrence. - Ceci

_posé,

considé-rons le rôle du

_plan

_{(~~ -}

_~l).Il

_reçoit

les ondes

_{(tp -1)}

et

(q

_{r p)}

et émet les ondes

_{(r~ _ 1)}

et

_{(q-1 tpl .}

L’onde

_(1"p

_

j)

provient

de la réflexion de

_(tp

_

i)

et de la transmission

de (q

rp),

on

_peut

donc écrire

(q-1 tp)

provient

de la réflexion de

_{(q rp)et}

de la trans-mission de

_tp

- 1 ; on a

On aura des formules

_analogues

pour le

plan p

Eliminons

_{tp - 1, tp}

entre

_{(t), (2) et(3)}

_{et rp + 1, rp} entre

(2),

(3)

et

_{(4) ;}

nous trouvons les formules de

récur-rence

Calcul des ondes. -

_{Nous pouvons}

utiliser ces for-mules de récurrence au calcul de toutes les ondes

_tp,

rp.

Nous

_{représenterons}

_par

_ton+

l’onde

transmise par la lame cristalline entière. Pour

_plus

de

_{généralité}

dans

nos

_formules,

nous

_envisagerons

cette onde au niveau

d’un

_{plan séparé}

du

_{plan n}

_{par l’intervalle 1}

_(ce

sera le

plan n + 1 qui

n’est

_plus

un

_plan

_{réticulaire).}

Comme au delà du

_{plan n,}

il

_n’y

a

_plus

d’onde se

pro-pageant

dans la direction de

_réflexion,

nous _poserons

rn + 1-- 0. Les conditions de passage au travers du

plan n

nous donnent alors

Appliquant

nos formules de récurrence avec les

valeurs initiales

on obtient successivement

etc.

z

Il sera commode pour la suite d’introduire des

poly-nômes

_Pn

_(A)

_{définis par la loi de récurrence}

P,, +

1

= A

_{/B 2013 ~ -1}

1 ou Pn - 1 = A

/~ 2013 ~

₊ i avec les valeurs initiales

_{P~ = 0, P,}

==1. On a

Les

coefficients de

Pn

~.. ~

représentent

une

_diagonale

(avec

signes

alternés)

du

_triangle

_{arithmétique de}

Pascal.

Avec ces

_polynômes

on a

Pour 1) = n - 1 on trouve la valeur de l’onde

inci-dente t1

1 pou B

Nous pouvons maintenant

exprimer

tn-p

et rn-p

en fonction

de t1

Nous écrirons de

_préférence

en

_posant

’

Ces formules

_générales

où l’on fait m =

0,

m = n

donnent l’onde

_réfléchie,

et _{l’onde transmise par} le

cristal entier

Propriété

des

_polynômes

_Pn.

-~- Les

polynômes

235

substitution A - _,z

+

1

0n _{ti?oiix.e en} effet

substitutioii A == _x

+

x.

On trouve en effet x

On

pen L

démontrer cette formule par voie de

récur-rence. Elle est exacte pour n = 0 et

pour n == i

Supposons

la _{vraie pour n _-__}

_{p - 1}

Dans la formule de récurrence

_qui

définit

_Pjj

_~..1 1

remplaçous A

par ~x

-~- 1,

nous obtenons

x

La formule est donc

_générale.

Nous pouvons nous servir de cette forme de

PR

pour démontrer la relation

1 P,,

+ 1 ==

Pn’2 -

1

qui

nous

sera utile

_plus

loin. Cette

_{égalité équivaut}

à la suivante

qu’on

vérifie immédiatement

Nos formules donnant

_{l’amplitude}

des

_{ondes tp, rp}

sont tout à fait

_générales.

_{Il faut toutefois pour}

les

appliquer

connaître les coefficients de réflexion et de transmission

_{pet r}

du

_{plan réticulaire}

isolé. Nous allons voir comment on

_peut

calculer ces coefficients dans le

cas où

_{l’absorption}

du cristal

peut

être

_négligée.

Réflexion et transmission par un

_{plan simple}

chargé

d’électrons. - 10 Vecteur normal _au

plan

d’incidence. Nous étudierons en

_premier

_{lieu le}

pro-1 Fig. 3.

blême de la réflexion d’une onde

_plane

sur un

_simple

plan portant

a électrons par unité d’aire en

_supposant

d’abord le vecteur

_{électrique S}

normal au

_plan

d’inci-dence,

le vecteur

_magnétique

JHL contenu dans ce

_plan.

Pour

_simplifier

nos

_équations,

nous

_adopterons

un

système

d’unités tel que la vitesse de la lamiére dans

le vide soit

_égale

à 1. D’une

façon

plus

précise

nous

prendrons

les unités fondamentales suivantes :

lon-1 ." _p i sec ,

gueur =1

centimètre, temps

_{1 sec}

masse =

éner-3.

gie

=1 _erg.

L’onde incidente

_(1),

l’onde réfléchie

₍₂₎

est l’onde transmise

₍₃₎

ont _pour

_équations

(les

autres

_composantes

des vecteurs e, ou 3R sont

nulles.)

n

.- ~ ~ = G-~

_représente

à la fois la

_fréquence

(nom-bre de vibrations dans le

_{temps 2 x)}

et le nombre d’on-des

_(dans

la

_{longueur 2?c).}

Ce

_{système peut}

être considéré comme la

superposi-tion de l’onde

₍₁₎

et des ondes émises de

_part

et d’autre du

_plan

_{par les électrons mis} en mouvement _{par les}

champs électriques auxquels

ils sont soumis.

Nous

_{représenterons}

_{par x}

=== ~

einl’-?Y) le

dépla-cement des

électrons,

par x = ei?°(1-?Y) et

~ _ - ~z2 ~

leur vitesse et leur accélération.

Le

_champ

_électrique

au

_voisinage

du

_plan

a la même

valeur sur les deux faces de ce dernier

(la

C011d1t1011 aq +

a’2 = _a3

_exprime

à la fois la

conti-nuité de

_part

et d’autre du

_plan

des

_composantes

tan-gentielles

des vecteurs

_électriques

et des

composantes

normales des

_{champs magnétiques).}

Supposons

les électrons

_soumis,

en

_plus

de l’action du

champ électrique,

à une force de

_rappel

_f

proportion-nelle à leur

_{déplacement. L’équation}

de leur

mouve-ment

_peut

s’écrire

(m

= _{masse, e}

charge

de

l’électron).

A la

_place

_{de f}

nous introduirons

la fréquence

propre

no des électrons oscillant sous la seule force de

_rappel,

fréquence

définie par

l’égalité

Nous avons dès lors

_{l’éduation}

Nous trouverons une nouvelles relation entre les

gran-deurs ai, az, a3 en

_remarquant

_{que les électrons de la}

électrique

d’intensité 1 - x 7 E

_dy.

La circulation du

vecteur

_magnétique

autour de ce courant doit être

égale

à 4 x 1.

La circulation est effectuée dans le sens

_indiqué

sur

la

_figure,

si l’on

_prend

0 x _{pour direction}

_positive

du

courant. Fig. 4. On trouve ainsi Y

(-

a,

+

ai -

ct2) dy -

dï/

ou en

_{remplaçant 1}

_par Nous poserons ce

_qui

donne

Nous avons _{pour déterminer} a2 et a3 les deux

équa-tions

On a _{donc pour les coefficients p} et T du

plan

is

_

1

P

_{1 - ts}

L’égalité r

o 1

₊

_{o exprime}

_{que l’onde transmise} résulte de la

_{superposition}

à l’onde incidente d’une onde de même

_amplitude

_{que l’onde réfléchie}

_(ondes

émises par les

électrons).

Si nous _{posons s} -=

tg

~c nous

trouvons

On vérifie immédiatement la

relation

1

p

2

+ 1 -c 12

= 1

_qui

_exprime

que l’intensité de l’onde incidente se

retrouve

_{intégralement}

dans l’onde réfléchie et dans l’onde transmise.

Le

_signe

de u est le même que celui de n2 -

no’.

L’onde transmise est en avance de

_phase

sur l’onde

incidente si la

_fréquence

des radiations est

_supérieure

à la

_fréquence

_{propre des}

électrons,

ce

_qui

est le cas

habituel pour les rayons X. On _{remarquera que l’onde}

réfléchie est en

_quadrature

avec l’onde transmise.

(Lorsque

la

_fréquence

des ondes tend vers la

_fréquence

des

électrons,

cas de

_{résonance, tg u}

=s tend vers

l’in-fini. Le

_pouvoir

_{réflecteur p tend} vers -1 et le coeffi-cient de transmission vers

_zéro.)

Calcul de s. - Nous _nous

proposons de calculer s

dans le cas où la

_fréquence

_{propre des électrons est}

négligeable (électrons

libres).

On a alors .

’ "

Cette formule a été établie en

_supposant

la vitesse de la

, 2 x 2 x

lumière

_égale

à 1. Dans ces conditions n

= ,

= 2013,

,

ce

_qui

donne s

= .

,i ne

Supposons

y

~ 1,

~, - 10-8 cm et _{admettons que le}

plan

porte

1 électron dans

_chaque

carré de 10-8 cm de côté : ? # 1016. Dans le

_système

d’unités

adopté,

l’unité

de

_{charge électrique}

est

_égale

à l’unité

_{électrostatique ;}

la

_charge

de l’électron vaut e ==

~,77.10-1°.

L’unité de

masse se confond avec l’unité

d’énergie (l’erg);

on doit

prendre

pour masse ra de l’électron le

_produit

moc’

de

sa masse en _{grammes par le carré de la vitesse} C. G. S.

de la lumière soit

11l =

_0,9.10-2"~

_a 9.1020 =

8,~ .10-’

Finalement s =

_2,81.10-5

Nous pouvons écrire d’une

façon

générale

À =

_longueur

d’onde en unités

Angstrôm.

6 = nombre d’électrons dans un carré de 1 À de côté.

y = sin 9

(0, angle

de rencontre des rayons X et du

plan

réflecteur).

2° Vecleur

_électrique

orienté de

_{façon quelconque.}

-Passons maintenant au cas

_général

où le vecteur

électrique

est orienté d’une

_{façon quelconque}

dans

le

_plan

de l’onde incidente. Si nous

_{représentons}

_par

a la

_composante

normale au

_plan

_{d’incidence,}

_{par b}

la

_composante

dans le

_plan

d’incidence nous aurons

pour le

champ

électrique

de cette onde

Nous aurons des

_équations

analogues

pour l’onde réfléchie et l’onde transmise.

Les électrons du

_plan

réflecteur

_prennent,

sous l’action

de ces ondes, des mouvements oscillatoires dont les

composantes

sont de la forme

237

ondes

_{électromagnétiques}

_(qui

_{s’éloignent}

symétrique-ment de

_part

et d’autre du

_plan)

dont nous nous propo-sons de déterminer les vecteurs

_{électriques.}

On

_peut

associer au mouvement des électrons deux

ondes de

_potentiel

Hertzien

_{(1) (potentiel retardé),}

dont

nous écrirons les

équations

~~j)

#

(pt"

positif

qJ

(p

p()

.~

_négatif.

Nous verrons

_plus

loin comment on

_peut

déterminer la valeur de la

_{constante p}

_{(grandeur complexe susceptible}

d’exprimer

amplitude

et

_phase)

_qui

reste _{pour le}

mo-ment indéterminée. Les vecteurs

_électriques

cherchés

peuvent

être calculés à

_partir

de ces

_potentiels

_{par la}

formule

Faisons d’abord le calcul _pour l’onde réfléchie.

On a >

D’où _{pour le}

_{champ électrique}

de l’onde réfléchie

011 aura l’onde émise par les électrons dans la

direc-tion

_symétrique

en

_{changeant simplement}

_{y en -}

_y

Les électrons

_prennent

leur mouvement sous l’action

de l’onde

incidente,

et _{des ondes émises par les élec.} trons eux-mêmes.

Les

_{champs agissant}

sur les électrons se réduisent à

(les

autres termes

_ayant

des

_signes

contraires dans les

ondes émises par les électrons se détruisent

mutuelle-ment).

Nous admettons en outre l’existence d’une force de

rappel

de

_composantes

(1) Ce _potentiel Hertzien est la fonction _{primitive par rapport}

au _temps t du potentiel vecteur _classique.

proportionnelle

au

_{déplacement.}

Au lieu de

_f,

nous

introduirons

_{comme précédemment}

la

_fréquence

_propre

no des électrons liée à

f par

_{l’égalité}

_{f =}

m

_{no 2.}

Nous avons _{finalement pour}

_équations

du

mouve-ment des électrons

on tire des

_{équations précédentes}

Nous pouvons à

partir

de ces valeurs calculer le

champ

de l’onde réfléchie

et de l’onde émise dans la direction de

_propagation

de l’onde incidente

Cette onde combinée avec l’onde incidente nous

donne l’onde transmise :

Les valeurs trouvées pour la

composante

du vecteur

électrique

normale au

_plan

d’incidence s’accordent avec

celles que nous avons calculées sans _{passer par}

Nous trouvons ainsi

_{l’expression}

des ondes de

poten-tiel Hertzien dues aux oscillations

_{(~., r~, ~)}

des électrons

(ç, }o ~, ~)

1 )

_{(onde réfléchie).}

Pour la vibration

_électrique

dans le

_plan

d’incidence

on a les coefficients de réflexion et de transmission

Si on

_néglige

les termes en s2 on a

tg a = s

L’avance de

_{phase a}

de l’onde transmise est la même que dans le cas du vecteur

_électrique

normal au

_plan

d’incidence.

_{L’amplitude}

de l’onde réfléchie est réduite dans le

rapport

cos 2 6. Elle est nulle

_lorsque

le faisceau incident rencontre le

_plan

réflecteur sous

_l’angle

de 451.

Plan

chargé

d’atomes ou de molécules. - Le

cas étudié dans le

_paragraphe

_précédent,

_plan

réticu-culaire

_{simple chargé}

d’électrons,

est tout à fait

sché-matique.

Les

_plans

réticulaires des cristaux

_portent

en

réalité des atomes ou des molécules dont les

dimen-sions sont du même ordre de

_grandeur

_{que les}

dis-tances entre

_plans

réticulaires

_contigus.

On ne

_peut,

même d’une

façon

approximative,

supposer les

élec-trons de ces atomes ou molécules concentrés sur le

_plan

réticulaire lui-même. Ils forment une couche

d’épais-seur

_plus

ou moins

_grande

de

_part

et d’autre du

_plan,

qu’on

pourra, si l’on

veut,

partager

en strates très minces

_qui

se

_comporteront

comme les

_{plans simples}

du

_paragraphe

_précédent.

Chaque

strate, dont les électrons sont mis en

mouve-ment par les

champs

électromagnétiques

des

ondes,

est

_l’origine

de deux ondes dont l’une se _{propage dans}

la même direction que l’onde incidente et l’autre dans la direction

_symétrique.

Les

_premières

se

_composent

avec l’onde incidente pour constituer l’onde transmise

par le

plan

réticulaire ;

la résultante des autres forme l’onde réfléchie par le

plan

réticulaire.

Laissant _pour le moment de côté le mécanisme assez

compliqué

de la réflexion par le

plan réticulaire,

nous

allons montrer

_qu’on

_peut

mettre les coefficients _{p et r} de réflexion et de transmission du

_plan

sous une forme

simple

qui

nous sera très utile par la suite.

Nous supposerons les strates

électroniques

distri-buées

_{symétriquement}

des deux côtés du

_plan,

de

façon

que les coefficients p et z _{soient les mêmes pour}

des ondes incidentes

_qui

tombent sur l’un ou l’autre côté du

_plan.

Et nous

admettrons comme précédemment

qu’il

n’y

ait pas

d’absorption.

L’intensité de l’onde incidente

doit

se trouver

inté-gralement

dans l’onde réfléchie et dans l’onde

trans-mise. On doit donc

_avoir

_T

_{r l~" +}

= 1.

... ,

Fig. 5.

Nous satisferons à cette condition en

_posant

u

1

= sin u. Pour tenir

_compte

des différences de

phase qui peuventexister

entre l’onde

incidente,

l’onde réfléchie ou l’onde

_transmise,

nous écrirons T= cos u

eil,

p = sin it etb. Les

_{phases a}

et b ne sont _pas

indépen-pendantes

comme on

_peut

_{le montrer par le}

raisonne-ment suivant.

_Supposons

_{que le}

_plan

réticulaire

reçoive

simultanément les ondes a1 et a2 se

_propageant

suivant des directions

_symétriques

_par

_rapport

au

_plan.

Il transmettra les ondes

L’intensité des ondes 1 et 2 doit se trouver

intégrale-ment dans les ondes 3 et 4. Les intensités de 3 et 4 ont pour

expression :

ai,

a-2

sont les nombres

_complexes

_conjugués

de ai, a2.

Pour

_qu’on

ait

la3!2

+ -

/all2

₊

_{1(it, ,112,}

.1

faut que

1

Ainsi, lorsque

la distribution des strates

électro-niques

est

_symétrique

par

rapport

au

_plan

réticulaire.,

l’onde transmise et l’onde réfléchie sont en

_quadrature.

Nous

_exprimerons

cette relation dans les formules

239

Nous ne _{traiterons pas ici le} cas d’une distribution

électronique

dissymétrique qui

n’introduit rien

d’essen-tiel. La théorie montre

_qu’on

_{peut garder}

les formules

précédentes

à condition de choisir convenablement le

plan

à

_partir

_duquel

on

_compte

les

phases

de l’onde

réfléchie et de l’onde transmise. C’est ce

_plan

_qui

sera

considéré comme le

_plan

réticulaire dans nos raisonne-ments ultérieurs.

Les

_expressions

de

_pet

r établies sans faire intervenir

le mécanisme de la réflexion sont tout à fait

_générales.

Nous allons tenter en considérant ce mécanisme d’obtenir une valeur au-moins

_approchée

des variables

a et u. Pour être tout à fait

_rigoureux,

nous devrions tenir

_compte

des réflexions

_multiples

entre les strates

électroniques

que nous associons au

_plan

réticulaire.

Mais,

les intensités des ondes réfléchies restant

_toujours

très

_faibles,

l’influence des réflexions

_multiples

est

négligeable.

Valezcr

_approchée

de a. - _a

représente

le

change-ment de

_{phase qu’éprouve}

l’onde en traversant le

_plan

réticulaire. Si l’on

_néglige

les

_réflexions

_multiples,

ce

_changement

de

_phase

est

_simplement

la somme des

changements

de

_phase

liés au _{passage à travers chacune}

des strates

_{électroniques}

associées au

_plan

_{réticulaire,}

elle est

_{indépendante}

de la

_position

des

_{strates ;}

elle ne

dépend

que de la densité de la strate. En ce

_qui

con-cerne la

_phase,

tout se _passe comme si tous les

élec-trons étaient concentrés sur le

_plan

réticulaire lui-même.

Désignons

par 0’ le nombre des molécules par unité d’aire du

_plan,

_{par Nlenombre des électrons de}

_chaque

molécule. Le

_changement

de

_phase

a est le _{même que} celui que

produirait

un

_plan

de densité ~N.

Nous avons donc

(nous

supposons les

fréquences

propres des électrons

négligeables).

Valeur

_approclaée

de u. - L’onde

réfléchie par le

plan

réticulaire est la résultante des ondes émises dans la direction de réflexion par les diverses strates

électroniques

associées à ce

_plan.

Un calcul

_rigoureux

de cette résultante devra faire intervenir les coefficients

exacts de réflexion et de transmission des strates

élec-troniques

successives

T1 = cos Zl1 pi -

1 sin ui

= cos Ma etU2, p2 = 2 sin U2

eiU2,

etc. tenir

_compte

des réflexions

_multiples

sur toutes les

strates,

et naturellement des différences de

_phases

liées

aux différencas _{des chemins parcourus.}

Pour un calcul

_approximatif

on _{pourra :}

10

_Négliger

l’affaiblissement de _{l’onde incidente par}

passage au travers des strates

électroniques

successives

(ce

qui équivaut

à poser 1’1 -- r2 ... _

1);

2°

_Supposer

que cette onde se réfléchit une seule fois

sur

_chaque

strate

_{(on néglige}

les réflexions d’ordre

supérieur)

avec des coefficients de réflexion i sin Mi,

i sin U2,... les différences de

phase

entre les ondes réfléchies

_{provenant uniquement}

des différences des chemins parcourus par le

rayonnement

électromagné-tique

(ce qui équivaut

à

_négliger

les termes *

N’étaient ces différences de

_phase,

le calcul ainsi conduit fournirait pour

l’amplitude

de l’onde réfléchie la même valeur que si tous les électrons étaient

con-centrés sur un seul

_plan.

Mais en raison de ces diffé-rences de

_{phase, l’amplitude}

résultante se trouve réduite dans un

_rapport

_{f C}

1

_qui

_dépend

essentielle-ment de la

_position

des strates

_{électroniques ; f}

est

appelé

facteur de structure pour le

plan

réticulaire en

question.

On _{pourra, si l’on}

_veut,

considérer toutes les strates réunies en une

_seule,

à condition de lui attribuer la

densité réduite

On calculera alors u _{par la formule :}

Réflexion par le cristal non absorbant. - Nous

avons _{trouvé pour les coefficients de transmission} et de réflexiondu

_plan

réticulaire isolé dans le cas où

l’absorp-tion est

_négligeable

les formules

_générales

Le facteur de récurrence

qui

intervient dans la détermination des

_amplitude

des ondes

_prend

alors la valeur :

A est _{réel ainsi que tous les}

_polynômes

_Pn

_(A),

ce

qui

va nous

_permettre

de calculer les intensités des ondes au niveau de

_{chaque plan}

réticulaire.

On a au niveau du

_plan

_p

_{+ 1}

les

_amplitudes

En utilisant les

_propriétés

des

_Polynomes

P démon-trées

_plus

haut,

on calcule pour les intensités

ou de l’onde transmise par la lame cristalline entière

On vérifie la relation

qui exprime

que l’intensité de l’onde incidente se con-serve inaltérée dans l’onde réfléchie et dans l’onde transmise.

On remarquera aussi la relation

Fig. 6.

Supposons

la lame cristalline

_partagée

en une lamelle

supérieure

constituée par les

plans

réticulaires

_{~, ~, ...p}

et une lamelle inférieure formée des

_{plans p + 1,}

~-(-2,.. ~

(en

nombre

_n-p).

Les

_expressions

_2,

1

représentent

les

_{échanges d’énergie}

entre les deux

_{lamelles; l’énergie 1 tp+i}

_B2

transmise àla lamelle

inférieure est

_{toujours plus}

_grande

_que

_l’énergie

1

qui

fait retour à la lamelle

_supérieure.

La

différence

1

tn + 1 ~~,

entre les

_deux,

alimente le flux

d’énergie qui

sort finalement par la face inférieure du cristal.

Le passage au travers du

_plan

_p

_correspond

à un

transfert

_d’énergie

de l’onde incidente à l’onde réfléchie

égal

à

On

_pourrait

être tenté d’assimiler ce transfert

d’éner-gie

à une réflexion de l’onde incidente sur le

_plRnp.

Il

n’en est rien car d’une

_part

les formules font intervenir

non _{pas les}

_propriétés

individuelles du

_plan

_{p, mais de} la lame cristalline tout entière avec ses

_plans

réticu-laires,

d’autre

_part

ce transfert

_d’énergie

_{n’a pas}

néces-sairement lieu de l’onde incidente vers l’onde

_{réfléchie ;}

il

_peut

dans certain cas

_correspondre

à un _passage

d’énergie

de l’onde réfléchie vers l’onde incidente

_(ceci

dépend

du

_signe

du

_polynôme

_P2n-2p

₊

_1).

La

_{signification}

des formules concernant les intensi-tés des ondes est toute différente selon la valeur du facteur de récurrence A.

1

1. er

_cas

_{] A [ >}

2. - Les nombres x

et -

définis par

.c

l’égalité

x

+

= A sont réels. Nous

_{appellerons x}

x

celui dont le module est

_supérieur

à l’unité. Le module du

_polynôme

croît _avec, tendant vers l’infini en même

_temps

_{que p.} Considérons d’abord le cas d’une lame cristalline

d’épaisseur

donnée

_{(n fixe).}

Le seul terme variable dans la formule

_qui

donne les intensités des ondes au

niveau du

_{plan p + 1}

est p2

_{n _ p sin~ u}

_{qui décroît quand}

p

augmente.

Nous voyons que l’intensité de ces ondes

s’affaiblit à mesure

_qu’on

entre

_plus

_{profondément}

dans le cristal

_{(~~ croissant). L’énergie}

transférée de l’onde incidente à l’onde réfléchie au niveau du

_{plan p e;t}

toujours P2 n -2p

+ 1 >0. Le taux du transfert diminue à

mesure

_qu’on

_s’éloigne

de la face

_supérieure

du cristal.

Supposons

maintenant

_qu’on

_{prenne des lames}

d’épaisseur

variée

_(n

_croissant).

Les formules

où

_Pn

croît avec n nous _{montrent que l’intensité}

réflé-chie va sans cesse en

_augmentant,

l’intensité transmise

sans cesse en

_diminuant,

à mesure

_{qu’on prendra}

des lames de

_plus

cn

_plus

_épaisses.

r

Lames

d’épaisseur

infinie. Réflexion totale. -Pour des

_épaisseurs

très

_grandes

_(n

=

oc),

on aura

L’énergie

de l’onde incidente t1 passe toute entière dans l’onde

_{réfléchie ri ;}

la réflexion est totale.

Pour les ondes à l’intérieur du

cristal,

on a

L’intensité des ondes décroît suivant une

_progression

géométrique

de raison x-fl à mesure

_qu’on

_passe d’un

plan

réticulaire au suivant. Ce résultat admis à

_priori

par Darwin n’est vrai que dans le cas de la réflexion

totale.

La condition

_A

’

_{1 == 2}

1 cos

> 2

est réalisée

,

cos 2c

/

241

1l

(IL

nombre

entier).

D’après

la théorie

_primitive

très

_simplifiée

établie

par

Bragg

en

191~,

la réflexion des

_{rayons X}

sur la lame

cristalline n’aurait lieu que suivant les

angles ab

pour

lesquels (p

== 7t,

2z, ...,

kx.

La théorie

_{plus complète}

_{de Darwin que} nous

repre-nons ici

_indique

une réflexion totale pour des

inci-dences

comprises

dans des domaines

_{angulaires finis,}

à la vérité fort

_petits

dont la

_largeur

_est,

toute chose

égale

d’ailleurs,

proportionnelle

au

_pouvoir

réflecteur

u d’un

_plan

réticulaire isolé. Les axes _{moyens de} ces

domaines ne se _{confondent pas exactement} avec les directions de

_Bragg.

L’écart

_toujours

très

_petit

est

pro-portionnel

au

_changement

de

_phase

a associé au

pas-sage de l’onde au travers d’un

_plan

réticulaire isolé.

Dans le

_voisinage

immédiat de

_{l’angle Ok’de}

_Bragg,

on

peut

écrire

Les valeurs de 0 _pour

_lesquelles

on a réflexion totale sont

_comprises

dans le domaine

_angulaire

_{défini par les}

inégalités

c ..

La

_largeur

du domaine

_angulaire

est

Nous avons trouvé

_{précédemment}

_pour u

_(électrons

libres)

1 1 1

f

= facteur de

_structure,

6 = densité

_{électronique}

du

_plan

réticulaire. Nous en déduirons

f8 )

Il

,

i

représente

le nombre d’électrons par unité de volume du cristal. Tout calcul

effectué,

on trouve

~,

_{-~_ longueur}

d’onde en unité

_Ingstrom

_{(10-8 cm),}

a

1

= nombre d’électrons dans 1 l~3

(10-24

CMI).

L’écart entre la _{direction moyenne du domaine de} réflexion totale et la direction de

_Bragg

est

Avec la valeur donnée

_{précédemment}

_pour a

Incidence rasante. - Pour 0 voisin de zéro

(inci-dence

_rasa,nte),

le facteur de structure

_f

devient

_égal

à

l’unité,

et l’on a _{par suite a} ‘ u. Le domaine de

réflexion totale est donné par les

inégalités

, ).o- é 2

Remplaçant a

par sa valeur

_approchée

sin6 m ’

on

sm6m

trouve,

pour définir

l’angle

limite 0 de la réflexion totale

(X

en

À, -nombre

_{d’électrons par À’} = 10-24

_CM3).

1

On _{remarquera que toute}

_{caractéristique}

du

_plan

réticulaire est

_disparue

de la formule.

_L’angle

limite de réflexion totale

_dépend

seulement

_(outre

la

_longueur

d’onde)

du nombre

d’électrons (§)

contenu dans l’unité de volume du cristal.

2e cas

_J.,41

2. -

Quand

1 sin 0

parcourt

un intervalle tel que

k7,+a

(voisin

de l’intervalle

_{1 ) x qui}

_sépare

2 directions de

_Bragg)

la constante de récurrence

cos u

On résout

_{l’équation}

x

-- 2013== 4

en

_posant

x =

x

-

_cos

_A

_variant

de - à

--.

.x 2

xrn X- M

Le

_polynôme

Pm

=

"2013201320132013

prend

la valeur

P», =

sin

P,,

sin x

*

sin x

Il s’annule

_(m-1)

fois dans l’intervalle

_-7~

à savoir pour

Il

_présente

dans le même intervalle

_(m-~-

i )

maximums.

deux extrémités de l’intervalle

_{(pOUf ’f === - 7t}

et

~

_

₊

x).

Puis des maximums secondaires de valeur

moindre,

un dans chacun des intervalles

_compris

entre

les termes successifs de la suite

_(2).

Ces maximums secondaires décroissent assez vite

_lorsqu’on

_s’éloigne

des extrémités de l’intervalle et sont voisins de 1 vers

le milieu de l’intervalle

_(nous

_supposons m très

_grand).

L’intensité de l’onde réfléchie par le cristal

prend

sa valeur maximum

pour If

= -

7z,

==

₊

_x, se

_rapprochant

d’autant

plus

de _{l’intensité incidente que le} nombre n des

_plans

réticulaires est

_plus

_grand

_(réflexion

totale si n =

_00).

L’onde réfléchie

_disparaît

_{complètement}

_{pour les}

,

(n

-

i)

incidences

_qui

_{correspondent}

à la suite

l’énergie

de l’onde incidente se retrouvant alors toute

entière dans l’onde transmise. Enfin il existe

_(n

-

2)

directions de réflexion maximum

_{(maximum relatif)}

dans les intervalles entre les n - 1 directions de réflexion nulle.

L’intensité

_{correspondant}

à ces maximums s’affaiblit à mesure

_{qu’on s’éloigne}

des extrémités de l’inter-valle. Vers le milieu de

celui-ci,

r, 1 2

est voisin de

ti/

sin2u,

c’est-à-dire de _{l’intensité réfléchie par} un

_plan

réticulaire

_unique.

Voyons

maintenant comment se

_comportent

les ondes à l’intérieur du cristal pour une incidence don-née.

On a au niveau du

_plan

_{réticulaire p}

_-~-1

Pour des valeurs fixes de n

_(incidence

donnée sur un cristal

_déterminé)

l’intensité de ces ondes est fonc-tion

_périodique

_{de p, c’est-à dire de la}

_profondeur

à l’intérieur du cristal. On retrouve les mêmes intensités

quand

on a traversé un nombre de

_plans

réticulaires

,

. 2x

égal

à

2013 .

,

, ’

/

Considérons un des cas où l’onde réfléchie

s’annule,

par

exemple

If

==

(l’onde

transmise a alors même

n

intensité que l’onde

incidente).

Nous trouvons

L’intensité de

_{l’onde tp}

+ ~

qui

se _{propage à} l’intérieur

du cristal est

_{toujours supérieure}

ou au moins

_égale

à l’intensité de l’onde incidente.

_{Pour p}

= -

_(milieu

du

2

cristal)

elle atteint la valeur 1

₊

_{qui peut}

être sin2 1

Tt

grande

si "

est

_petit

_par

_rapport

à u

_(grand

nombre n

n

de

_plans

réticulaires de

_pouvoir

réflecteur u

_élevé).

Il

_peut

sembler

_paradoxal

_que

_{l’onde. t}

_qui

_provient

de l’onde incidente soit

_plus

intense que celle ci. Il

s’agit simplement

d’une accumulation locale

_d’énergie

due aux réflexions

_multiples

sur les

_plans

réticulaires. Comme nous l’avons

_déjà

fait

observer,

le flux

d’énergie

1 tp + , l’

du

_{plan p}

vers le

_plan

_{p -~- 1}

_surpasse le flux

_d’énergie

_{1 rp}

_{+ 1B2}

du

_plan

_p

_{+ 1}

vers le

_{plan p,}

d’une

_quantité

constante

_égale

au flux

_ltn

+

1 ~~ émergent

par la face inférieure du cristal

(égal

au flux incident dans le cas

_actuel).

Cristaux

_{d’épaisseurs}

croissantes. - Le

pouvoir

réflecteur du

_{cristal entier . ,}

sin2

it sin2

Î .

réflecteur du cristal

+

apparait

comme une fonction

_périodique

de

l’épaisseur