LES RAYONS ET LES ONDES

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Submitted on 1 Jan 1978

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LES RAYONS ET LES ONDES

R. Balian

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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C2, supplément au no 6, Tome 39, Juin 1978, page C2-1

LES RAYONS ET

LES ONDES

R. BALIAN

Commissariat à 17Energie Atomique, Division de la Physique, Service de Physique Théorique C.E.N.-Saclay, B.P. 2, 91 190 Gif sur Yvette, France

Résumé. - On donne trois exemples de travaux récents utilisant des méthodes semi-classiques. On montre d'abord que l'introduction de trajectoires complexes permet d'étendre considérablement le champ de ces méthodes. On décrit ensuite un développement semi-classique de la fonction de Green des ondes électromagnétiques en présence d'un conducteur parfait, qui permet de traiter des problkmes variés, de la limite statique à celle des hautes fréquences. On évalue enfin l'effet du rayonnement noir sur des feuilles conductrices, et on montre que les forces qui en résultent tendraient à gondoler une feuille plane.

Abstract - Three aspects of some recent works on semi-classical methods are presented. It is

first shown that the inclusion of complex ciassicai trajectories allows for a considerable increase of the power of such methods. A semi-classical expansion of the Green function for electromagnetic waves in the presence of perfwt conductors is then described, which is weii suited t a various problems, frorn the static to the high frequency limit. This expansion is applied to the evaluatîon of the effect of black-body radiation on conducting bodies, and it is shown that the resulting forces tend to

wrinkle a plane foiL

On assiste depuis quelques années dans les branches les plus variées de la physique à un renouveau des méthodes d'approximation dites semi-classiques, consistant à construlxt la solution d'un problème ondulatoire (de mécanique quantique, d'électroma- gnétisme ou d'acoustique) à partir des trajectoires (pour la mécanique) ou des rayons (pour l'optique) du problème classique correspondant. Le but n'est plus, comme dans la période précédente, de justifier la limite classique, mais de traiter des situations éloignées de cette limite : collisions entre ions lourds enpbysique nucléaire, collisions entre atomes et molécules, mou- vement d'électrons soumis à un champ magnétique dans un solide, détermination des premiers niveaux d'un oscillateur anharmonique, évaluation des termes d'ordre élevé de la série des perturbations (ckst le problème des instantons en théorie des champs), etc. Les succès numériques nombreux et remarquables des nouvelles méthodes semi-classiques tiennent à un meilleur contrôle des approximations, et surtout à

diverses généralisations des méthodes standard. Nous en donnons trois exemples dans cet exposé [Il.

L'une des techniques les plus efficaces consiste à exprimer les solutions de l'équation d'onde en termes non seulement de trajectoires classiques ordinaires, mais aussi de trajectoires complexes, où coordonnées, temps, énergie, etc

...

sont considérés comme des variables complexes satisfaisant aux équations habi- tuelles de la mécanique ou de l'optique classiques. Cette complexification s'impose dans diverses cir- constances : traversée d'une barrière de potentiel (l'action est imaginaire pure) ; réflexion 5 haute énergie par une barrière (si E

>

V, l'absence de trajectoire classique réelle se réfléchissant entraîne une absence

d'onde réfléchie dans l'approximation BKW, mais on peut évaluer îe coefficient de réfiexion en consi- dérant une trajectoire classique réelle à l'infini et se réfléchissant grâce à un passage dans le domaine complexe à distance finie) ; collisions avec possibilité d'absorption (le potentiel V comprend alors une partie imaginaire, de sorte que les trajectoires classiques ne peuvent être réelles bien que l'onde cherchée soit fonction des coordonnées réelles) ; instantons (les grands ordres de la série des perturbations étant dominés par les singularités en fonction de la cons- tante de couplage, celle-ci doit être considérée comme une variable complexe). Plus généralement, le lien entre ondes et rayons complexes est le suivant. Considérons pour fixer les idées l'équation de Sohr6- dinger ( - ti2 A

+

V

-

E ) $ = O , et l'équation de Hamilton-Jacobi classique assoçiée V S 2 = E

-

V ; soit G(ur) la fonction de G r e n du problème ondu- latoire, et SXrr') les valeurs possibles de l'action le long des trajectoires classiques complexes allant de r' à r.

On peut montrer que les Si sont les singularités de la transformée de Laplace Q(s) de G par rapport à Ilfi, G =

[

dsG?(s) elsi'. Puisqu'une fonction analytique

J

est caractérisée par ses singularités, la considération des

trajectoires classiques complexes (et de leur voisinage) suffit donc à caractériser la solution du problème ondulatoire. Chaque trajectoire classique fournit une contribution à G proportionnelle à exp(iS,/fi), qui oscille comme fonction de r ou comme fonction de E :

aux trajectoires classiques sont donc associées des structures simples qui sous-tendent des quantités telles qu'amplitude de l'onde ou que spectre $énergie. Cette remarque fournit une explication simple à l'existence

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d'oscillations régulières pour la densité de nucléons dans un noyau même déformé, ou pour la densité électronique dans de petits grains solides, ou encore pour la distribution des modes électromagnétiques ou acoustiques dans des cavités de formes diverses.

Le deuxième problème considéré est celui des ondes électromagnétiques en présence de conducteurs par- faits. Dans ce cas, on peut relier directement la fonction de Green aux rayons de l'optique classique, à l'aide d'un développement qui exprime G(rrr) en fonction de diffusions multiples sur la paroi conductrice. Chaque terme de ce développement a une interprétation simple : l'onde électrique ou magnétique émise par la source en r' se diffuse sur chaque élément de surface conductrice, et arrive en r après un nombre arbitraire de telles diffusions, séparées par des propagations libres. Malgré sa simplicité et son interprétation physique directe, ce développement de la fonction de Green électromagnétique ne semble pas avoir été établi avant une date récente. Il présente des propriétés qui devraient le rendre utile pour résoudre divers problèmes d'ondes en présence de conducteurs (guides d'ondes, cavités, antennes, etc.). Par exemple, les fonctions de Green pour le champ électrique et pour le champ magnétique se déduisent l'une de l'autre par un simple changement de signe à chaque diffusion. A haute fréquence, la diffusion est remplacée par une réflexion spéculaire, de sorte que ce développement en diffusions multiples tend naturellement vers l'optique des rayons à la limite des hautes fréquences (avec possibilité d'interférences lorsque plusieurs rayons vont de r' à r). Par ailleurs, le domaine de convergence,

qui a pu être étudié, comprend la fréquence nulle : le développement en diffusions multiples est donc utile non seulement pour les courtes longueurs d'onde, mais même à la limite de l'électrostatique et de la magnéto- statique.

A titre d'application, on a étudié l'effet Casimir,

c'est-à-dire la force, d'origine quantique, exercée sur des conducteurs par les photons (virtuels à température nulle ou thermiquement excités à température finie) pouvant exister dans les régions limitées par ces conducteurs. L'évaluation de cette force est compli- quée par l'existence de divergences, dues à la contribution des modes de haute fréquence, et éliminées par introduction d'un facteur de convergence qui traduit une baisse de conductivité du matériau à haute fré- quence. L'utilisation du développement en diffusions multiples pour la fonction de Green électromagnétique (dont se déduisent directement les modes) a d'abord permis d'établir que l'effet Casimir ne dépend pas de ce facteur de convergence, à la limite d'un conducteur parfait, de sorte que cet effet ne dépend pas de la nature du conducteur. La même technique a servi à évaluer l'effet Casimir pour diverses géométries (la situation étudiée jusqu'ici expérimentalement et théoriquement concerne deux plaques planes parallèles). En parti- culier, on a montré que les forces Casimir tendent à

gondoler une feuille conductrice plane mince, les longueurs d'onde caractéristiques des déformations ainsi favorisées étant supérieures à 2,8 fic/kT, soit 1/40 mm à température ordinaire. Cet effet est faible devant les forces de cohésion, mais il ne paraît pas absolument exclu de le détecter expérimentalement.

Bibliographie

[l] Pour plus de détails, voir les articles publiés en collaboration avec Claude Bloch ou Bertrand Duplantier dans Annals of Physics (60, 401 ; 63, 592; 64, 271 ; 69, 76; 85, 514;