Approximation de l’´ equation des ondes

Analyse, s´eance 7 : D´etails du cours et corrig´e des exercices LES PROBL` EMES HYPERBOLIQUES

Corrig´ e du r´ esum´ e de cours

Question 1

Dans un premier temps nous supposonsσ = 0 etr= 0, l’´equation est alors une ´equation aux d´eriv´ees partielles lin´eaires du premier ordre qui s’´ecrit :

∂u

∂t =h(x)∂u

∂x (1)

On appellecourbe caract´eristique dans le plan (x, t) une courbe d´efinie par une solution x(t) de l’´equation diff´erentielle caract´eristique:

x⁰(t) =−h(x(t)) (2)

Quel est l’ensemble des courbes caract´eristiques si h(x) =C=Cte Ce sont les droites de pente−C

et si h(x) =a(ν−x) ?

Ce sont des courbes exponentiellesx(t) =ν−(ν−x(0)) exp (at) dont qqs unes sont dessin´ees sur la figure (1).

Montrer que de mani`ere g´en´erale (h∈C¹) les courbes caract´eristiques forment un r´eseau de courbes disjointes.

Cons´equence du th´eor`eme d’unicit´e de Cauchy Lipschitz sur les EDO : si deux solution d’une EDO ont un point commun, elles co¨ıncident.Mais si par exemple h⁰ est infini en un point la condition de Lipschitz n’est plus vrai et on peut construire des contre-exemples.

Montrer que une fonction u(x, t) ∈ C¹ est solution de (2) si et seulement si u est une fonction constante sur les courbes caract´eristiques.

du(x(t), t)

dt = ∂u

∂xx⁰(t) +∂u

∂t =−∂u

∂xh(x(t)) + ∂u

∂t = 0

Peut-on fixer des conditions initiales ou aux limites librement pour cette ´equation ? Discuter les cash(x) =C

Corr. Si C > 0, les droites caract´eristiques coupent deux fois le bord. Une seule condition iniale ou aux limites est alors coh´erente. On peut par exemple fixer la condition initiale et une condition enL.

X X

T 0 T

0 L L

νν

Figure 1: R´eseau des caract´eristiques et le cas h(x) =a(ν−x).

Corr. Noter que sur les bords il y a alors toujours une caract´eristique sortante (i.e. quand t croˆıt on sort), ce qui implique qu’il ne faut pas poser de conditions en ces points, il suffit de poser une condition initiale. Noter que la condition finale ne d´epend que d’une partie des conditions initiales.

Question 2

(Voir le polycopi´e “Analyse des EDP” Chapitre 5).

On reprend le probl`eme avecr 6= 0, l’´equation s’ecrit :

∂u

∂t =h(x)∂u

∂x−ru (3)

Les courbes caract´eristiques ´etant d´efinies de la mˆeme mani`ere montrer que u est toujours bien d´efinie sur les courbes caract´eristiques par une ´equation diff´erentielle et sa valeur en un seul point.

du(x(t), t)

dt = ∂u

∂xx⁰(t) +∂u

∂t =−∂u

∂xh(x(t)) +∂u

∂t =−ru(x(t), t) D’o`u :

u(x(t), t) =u(x(0),0) exp (−rt) Montrer que le probl`eme `a valeur initiale est bien d´efini.

Mˆeme raisonnement que pourr = 0.

Les syst` emes hyperboliques

Question 3

Imm´ediat.

Question 4

(Voir le poycopi´e Analyse des EDP, chapitre 5).

En multipliant scalairement les deux membres de l’´equation parv_k(u), il vient : hv_k,∂u

∂ti+hv_k, A∂u

∂xi= 0 (4)

d’o`u :

hvk,∂u

∂ti+hA^tv_k,∂u

∂xi= 0 (5)

et :

hvk,∂u

∂ti+hλkvk,∂u

∂xi= 0 (6)

On appellecaract´eristiques...

• Montrer que sur ces courbes la fonctionu(x(t), t) v´erifie l’´equation diff´erentielle : hvk,du

dti= 0 (7)

On a du(x(t), t)

dt = ∂u

∂xx⁰(t) +∂u

∂t = ∂u

∂xλ_k+∂u

∂t (8)

d’o`u :

hv_k,du(x(t), t) dt i= hvk, λk

∂u

∂x+∂u

∂ti= 0

(9)

• En d´eduire...

Ψ_k(u(x(t), t)) =hv_k, u(x(t), t)i=Cte (10) On d´erive une fonction compos´ee :

dΨk(u(x(t), t))

dt =h∇uΨk(u),du(x(t), t)

dt i=hvk,du(x(t), t) dt i= 0 Question 5

Un exemple

(Voir le polycopi´e “Analyse des EDP” Chapitre 5).

En consid´erant le syst`eme hyperbolique ´equivalent, d´eterminer et utiliser les caract´eristiques pour calculer la solution du probl`eme :

• en supposant d’abord quex varie sur toutR,

Les valeurs propres de la matrice sont c et −c, les vecteurs propres (−1,1)^t et (1,1)^t. Les caract´eristiques sont donc les droites de pentecet−c, les invariants de Riemann les fonctions u+v etu−v. Par un point (X, T) passent deux caract´eristiques d’´equation (x −X) + c(t−T) = 0 et (x−X)−c(t−T) = 0. Les points d’intersection des caract´eristiques avec l’axe t= 0 ont pour abscisses x=X−cT etx=X+cT.

On d´etermine uet ven t= 0. En t= 0, on a : u(x,0) =u0(x)

v(x,0) = 0

D’o`u les invariantsu+v=u0(X−ct) etu−v=u0(X+cT). On en d´eduit les invariants au point (X, T), et donc, l’expression classique de la valeur deu :

u(X, T) =u0(X−ct) +u0(X+cT)

• puis 0≤x≤L en tenant compte des conditions aux limites. Dans ce cas on propagera les caract´eristiques `a partir d’un point de l’axe t = 0. Ces caract´eristiques viennent buter sur un bordx= 0 oux=L. On notera que par tout point du bord passent deux caract´eristiques et que les valeurs des invariants sur ces caract´eristiques sont li´ees par la condition u= 0 ce qui permet de d´eterminer l’un quand on connait l’autre.

Comme la demi-somme des invariants vautu, sur un bord o`u l’on a la conditionu= 0 les deux invariants sont oppos´es. Si une caract´eristique arrrive sur un bord, on peut donc repartir de ce bord en changeant de caract´eristique et propager le nouvel invariant.

De proche en proche on d´etermine la valeur des invariants et donc de la solution. On dit parfois que les caract´eristiques se r´efl´echissentsur le bord.

Corrig´ e du TD

Question 6

En examinant la d´ependance de la valeur en(ih,(k+1)τ)par rapport aux donn´ees ant´erieures montrer que le premier sch´ema est absurde.

Rappelons(cf. cours) que la solution exacte en un point (x, t) ne d´epend que de la valeur initiale sur la caract´eristique passant par ce point, qui est ici une droite de pente −η (plus g´en´eralement, pour un syst`eme qcq., des valeurs situ´es dans un secteur angulaire contenant toutes les caract´eristiques, appel´ecˆone caract´eristique). La solution calcul´ee num´eriquement par une des r´ecurrences ci-dessus d´epend d’un ensemble de valeurs initiales situ´ees dans un secteur angulaire, appel´ecˆone de d´ependance num´erique. Si le cˆone de d´ependance num´erique ne contient pas la caract´eristique passant par le point (x, t) la solution calcul´ee ne d´epend pas des mˆemes valeurs que la solution exacte, le sch´ema est absurde. C’est toujours le cas de la premi`ere formule. C’est le cas pour les deux autres formules si on a la condition C.F.L. :

τ η h ≤1.

La deuxi`eme formule, ou sch´ema de Lax, se r´e´ecrit : u^k_i⁺¹=u^k_i +τ η u^k_i+1−u^k_i

h = (1− ητ

h )u^k_i +ητ h u^k_i+1

Si la condition C.F.L. est v´erifi´ee la nouvelle valeur est une moyenne des anciennes, le sch´ema est donc stable puisque l’effet d’une perturbation est d´ecroissant.

Quel est l’ordre de consistance de ces deux sch´emas ?

Le sch´ema de Lax est enO(h, τ), le sch´ema centr´e en O(h², τ).

Modifier le troisi`eme sch´ema pour am´eliorer la consistance.

On peut remplacer la d´eriv´ee en temps par la diff´erence sym´etrique, on obtient le sch´ema saute-mouton (leap-frogen englais) :

u^k+1_i −u^k−1_i

2τ +η u^k_i+1−u^k_i−1 2h qui du fait de sa sym´etrie est enO(h²+τ²).

Remarque

En ´etudiant la r´ecurrence d´efinie par le sch´ema centr´ee on peut montrer que ce sch´ema est instable.

Question 7 ...

Construire le sch´ema. Quel sch´ema retrouve-t-on ?

On retrouve imm´ediatement l’interpr´etation du sch´ema de Lax comme une moyenne.

En utilisant la mˆeme id´ee retrouver le sch´ema centr´e...

En construisant le point par interpolation, mais de fa¸con plus sym´etrique, on obtient le sch´ema dit deLax Friedrich; il suffit de calculer la valeur au pointGpar interpolation entre les points (i−1, k) et (i+ 1, k) :

u^k_i⁺¹ = 1

2((1−ητ

h )u^k_i−1+ (1 +ητ h )u^k_i+1) qui se r´e´ecrit, avec une interpr´etation plus naturelle :

u^k+1_i −^u

k i−1+u^k_i+1

2

τ = u^k_i+1−u^k_i−1 2h

Comme le sch´ema de Lax ce sch´ema est stable par construction, mais il est plus pr´ecis.

Comment peut-on am´eliorer la pr´ecision ?

En effectuant une interpolation par un polynˆome de degr´e 2 entre les point (i−1, k),(i, k),(i+

1, k).

((i+1) h, k ττ)) ((i+1) h, k ττ))

((i − 1) h, k ττ))

(i h, (k+1) ττ))

X X X

X

G G A

A BB

Figure 2: Points de calcul et caract´eristiques Question 8

On reprend la casη(x) =a(ν−x), aveca >0, ν >0 et on supprime les conditions au bord.

On suppose que les pas v´erifient ^{τ η}_h ≤1. Reprendre la construction de la question pr´ec´edente ...

La seule diff´erence est que la valeur et le signe deη sont variables. Pour le sch´ema de Lax il faut adapter en cons´equence la formule en rempla¸cant (i+ 1, k) par (i−1, k) selon le signe de η. Pour le sch´ema de Lax friedrich, pas de pb. et dans les deux cas il faut que la condition C.F.L. soit v´erifi´ee par les pas.

Quelle modification faut-il apporter au sch´ema si on reprend l’´equation ´etudi´ee en cours avec σ = 0 et r6= 0 ?

Nous avons vu en cours que la valeur sur une caract´eristique est alors multipli´ee pare^−rt soit donc ici sur un intervalle de temps τ pare^−rτ.

Comment d´efinir un sch´ema pour l’´equation g´en´erale avec σ6= 0 qui soit valable pour toutes les valeurs, mˆemes petites, de σ ?

Le terme de diffusion (d´eriv´ee seconde) est discr´etis´ee comme dans vu dans la s´eance 5, le terme de transport (d´eriv´ee premi`ere) comme vu ci-dessus.

Approximation de l’´ equation des ondes

Question 9

D´emontrer la propri´et´e de conservation de l’´energie totale...

On additionne la premi`ere ´equation du syst`eme, multipli´ee par v, et la deuxi`eme, multipli´ee

parw, et on int`egre, il vient : 1

2 d dt

ZL

0

(v²+w²)dx= ZL

0

v∂w

∂x +w∂v

∂xdx= ZL

0

∂(vw)

∂x dx= 0

La grandeur conserv´ee apparaˆıt bien comme l’´energie totale RL 0

(ρ(^∂u_∂t)² +ρc²(^∂u_∂x)²)dx, apr`es multiplication par la densit´e lin´eaire de la corde.

Question 10

cf. chapitre 7 du poly.

Question 11

cf. chapitre 7 du poly.

Question 12

cf. chapitre 7 du poly.