2 x 2 x Point de dotation initiale

TD d’Economie Publique – Master 1 – Université Paris 1 Panthéon Sorbonne – Année 2010-2011

CORRIGE TD 1

- Merci de commencer à réfléchir dès maintenant à un sujet de dossier.

- Vous trouverez à la fin du corrigé la liste des étudiants de chaque groupe (mise à jour le 8 octobre - 18h30). Vous constaterez que le groupe de 13h est encore un peu surchargé par rapport au groupe de 11h. Il serait donc bien que certains étudiants viennent à 11h au lieu de 13h. Si vous souhaitez changer de groupe, merci de m’avertir par mail (sophie.massin@univ-paris1.fr ) et d’attendre ma confirmation.

--- EXERCICES TRAITES AVEC LES 2 GROUPES

Question 1.3.

a. Si on appelle p₁et p₂ les prix des biens 1 et 2, et ω₁ et ω₂ les dotations initiales du consommateur pour les biens 1 et 2, la contrainte budgétaire du consommateur est définie par :

2 1 2 2 1 1 2 2 1

1x p x p p 2p 2p

p + = ω + ω = +

Représentation graphique :

2 x

2 x

1 2

1 2

2 p

p p+

Point de dotation initiale

2 2

1 2

2 p

p p +

La dotation initiale est toujours sur la droite de budget.

Si le prix du bien 1 augmente, on a une rotation de la droite de budget autour du point de dotation initiale.

On a donc :

- une réduction du montant maximum de bien 1 qui peut être acheté du fait de l’augmentation du prix (l’abscisse à l’origine définie par :

1 2 1

2

1 2

2 2 2

p p p

p

p + = +

est décroissante avec p₁).

- une augmentation du montant maximum de bien 2 qui peut être acheté (effet revenu lié au fait que le revenu de l’individu dépend des prix : si p₁ augmente, le revenu de l’individu augmente et donc le montant maximum de bien 2 qui peut être acheté aussi. On constate que l’ordonnée à l’origine définie par

2 2

1 2

2 p

p p +

est croissante avec p₁).

b. Le programme du consommateur s’écrit : Max. U =logx₁+logx₂

s.c. p₁x₁+ p₂x₂ =2p₁ +2p₂

A partir de la contrainte de budget :

1

2 2 2 1 1

2 2

p

x p p

x = p + − (1)

d’où : Max ₂

1

2 2 2

1 2 ) log

log(2 x

p

x p p

U p + − +

=

La condition d’optimalité s’écrit : 1 0 2

2 _{1 2 2 2 2}

1 1

2 2

=

− +

− +

∂ =

∂

x x p p p

p p

p x

U

soit

2 2 2 2 1

2 1

2

2p p p x x

p =

−

+ Ù p₂x₂ =2p₁+2p₂ − p₂x₂ Ù 2p₂x₂ =2p₁+2p₂

Ù

2 2 1

2 p

p x p +

=

En reprenant (1) :

1

2 2 1 2 2 1 1

) (

2 2

p

p p p p

p p x

− + +

=

1

2 1 2 1 1

2 2

p

p p p

x p + − −

=

1 2 1

1 p

p x = p +

c.

On refait la même analyse en notant ω₁ la dotation initiale de bien 1 (au lieu de 2).

Max. U =logx₁+logx₂ s.c. p₁x₁+ p₂x₂ = p₁ω₁+2p₂

Le programme de maximisation devient :

Max ₂

1

2 2 2 1

1 2 ) log

log( x

p

x p p

U p + − +

= ω

Condition d’optimalité :

1 0

2 _{2 2 2 2}

1 1

2 2

=

− +

− +

∂ =

∂

x x p p p

p x

U

ω Solution :

2 2 1 1

2 2

2 p

p

x p +

= ω

Une augmentation de ω₁ entraîne une augmentation de x₂ (conséquence de l’effet revenu ou richesse qui provient de la dotation supplémentaire).

Question 1.4.

a. MaxU¹(x_1,x₂)=logx₁ +2logx₂ s.c. p₁x₁+ p₂x₂ = R

Méthode du Lagrangien :

) (

log 2

logx₁ x₂ R p₁x₁ p₂x₂

L= + +λ − −

Conditions d’optimalité : 1 0

1 1 1

=

−

∂ =

∂ p

x x

L λ (1) 2 0

2 2 2

=

−

∂ =

∂ p

x x

L λ (2)

2 0

2 1

1 − =

−

∂ =

∂L R p x p x

λ (3)

(1) Ù

1 1

1 x

= p λ (2) Ù

2 2

2 x

= p λ

D’où : 2p₁x₁ = p₂x₂

En remplaçant dans (3) : R− p₁x₁−2p₁x₁ =0 Soit

1

1 3p

x = R et

2 1 1

2 1 1 2

3 ) ( 2 2

p p p R

p x

x = p = soit

2

2 3

2 p x = R

b. MaxU²(x_1,x₂)=x₁x₂² s.c. p₁x₁+ p₂x₂ = R Méthode

2 1

21 p

TMS = p Ù

2 1 2 1

2 2

2 p

p x x

x =

Ù

2 1 1 2

2 p

p x x =

Ù 2x₁p₁ = x₂p₂ D’où : 3x₁p₁ =R

1

1 3p

x = R et

2

2 3

2 p x = R

Conclusion : les 2 fonctions d’utilité conduisent aux mêmes fonctions de demande. Cela s’explique par le fait que : U² =exp(U¹). La fonction d’utilité U² se déduit donc de U¹ par une transformation monotone croissante (puisque la fonction exponentielle est une fonction strictement croissante).

Remarque : Ce qui importe pour la définition d’une fonction d’utilité n’est pas la quantification de l’utilité en tant que telle, mais simplement le fait que la fonction soit en mesure de traduire analytiquement les préférences ordinales du consommateur. Toute fonction d’utilité compatible avec ces préférences fait donc l’affaire.

Aussi, la fonction U n’est pas définie de manière unique. Comme seul le classement des paniers importe, il n’existe pas une façon unique d’attribuer des niveaux d’utilité aux différents paniers de biens que le consommateur peut envisager de consommer. U²et U^1/2 vérifient également cette

équivalence entre préférences individuelles et utilité (si U(.) positive). Elles « déforment » l’échelle de préférence mais ne changent pas le classement des paniers des biens sur cette échelle. Plus généralement, on voit que les fonctions d’utilité construites à partir d’une relation de préférence donnée ne sont définies qu’à une fonction croissante près. Si nous pouvons trouver une fonction d’utilité qui reflète les préférences d’un consommateur, nous pouvons en trouver une infinité : toute transformation monotone croissante de la fonction d’utilité est aussi une fonction d’utilité valide.

Une transformation monotone est représentée habituellement par une fonction f(u) qui transforme chaque nombre u en un nombre f(u) de telle sorte que le classement entre les nombres soit respecté. C’est-à-dire que si u1>u2 => f(u1)>f(u2). Par exemple multiplication par un nombre positif ; porter la fonction à une puissance impaire ; paire si U(.) toujours positive.

--- EXERCICE NON TRAITE – A TRAVAILLER (fera l’objet d’un traitement rapide en séance 2)

Question 1.5. L’effet d’un changement de prix : effet revenu et effet substitution a. Le programme du consommateur s’écrit :

Max. U(x₁,x₂)= x₁(x₂ −1) s.c. p₁x₁+ p₂x₂ = R

Méthode du multiplicateur de Lagrange : ) (

) 1

( _{2 1 1 2 2}

1 x R p x p x

x

L= − +λ − −

Conditions d’optimalité : 0

1 ₁

2 1

=

−

−

∂ =

∂ x p

x

L λ (1)

2 0

1 2

=

−

∂ =

∂ x p

x

L λ (2)

2 0

2 1

1 − =

−

∂ =

∂L R p x p x

λ (3)

(1) et (2) =>

2 1 1

2 1

p x p

x − = λ =

Et donc : p₁x₁ = p₂(x₂ −1)

En remplaçant dans la contrainte budgétaire : R

x p x

p₂( ₂ −1)+ _{2 2} = R p x

p_{2 2} − ₂ = 2

2 2 2

2p p x = R+

Et 1)

( 2

2 2 2

1

1 + −

= p

p p R

x p

2 2 1

1 R 2p p

x

p = + −

1 1 2

2p p x R−

=

b. On obtient la réponse directement en reportant les valeurs de p₁, p₂ et R dans les fonctions de demande.

Situation initiale : p₁ = p₂ =1 et R=3 2 1

1 3

1 = − =

x et 2

2 1 3

2 = + =

x

Situation finale : p₁ =1, p₂ =2 et R=3 2

1 2

2 3

1 = − =

x et

4 5 4

2 3

2 = + =

x

c. Effet de substitution et effet de revenu

On constate que quand p₂ augmente, x₁ diminue et x₂diminue. Que se passe-t-il en fait ? Décomposition : 2 effets

L’effet global d’une variation du prix de l’un des deux biens donne lieu à 2 effets : 1 effet substitution (ou effet prix) et 1 effet revenu.

Ex (ici) : augmentation du prix d’un bien (bien 2) :

modification des prix relatifs => le consommateur va avoir tendance, toutes choses égales par ailleurs, à augmenter la quantité demandée du bien devenu relativement moins cher (bien 1) et à diminuer la quantité demandée de l’autre bien (bien 2).

la hausse du prix du bien 2 provoque aussi, toutes choses égales par ailleurs, une diminution du pouvoir d’achat du consommateur. On peut donc s’attendre à ce que la demande de tous les biens diminue (sauf cas particulier comme les biens Giffen par exemple)

Récapitulatif :

Augmentation de p₂ Effet substitution Effet revenu Effet total

x₁ + - ?

x₂ - - -

Dans notre cas, l’effet total sur x₁ est négatif (diminution) =>effet revenu > effet substitution.

Pour essayer de quantifier ces 2 effets, il existe 2 méthodes principales : la méthode de Slutzky et la méthode de Hicks

Méthode de Slutzky

Cette méthode de décomposition repose sur l’idée fondamentale selon laquelle l’effet substitution se produit à pouvoir d’achat constant.

Graphiquement : on construit une droite de budget fictive ayant pour pente le nouveau rapport des prix relatifs, passant toujours par le 1^er point d’équilibre A.

A reste accessible mais n’est plus optimal => B (effet substitution) B => C = effet revenu (déplacement parallèle de la droite de budget)

x

x

3 3

2

1 5/4

1/2

•

•

• A

B C

(1) (2)

(4)

pente 1

2 1 =−

− p p

nouveau rapport des prix :

2 1 ' '

2

1 =−

− p

p => nouvelle droite de budget A n’est plus optimal => B. Effet substitution : x₁ augmente et x₂ diminue Effet revenu : déplacement parallèle de la droite de budget

Méthode de Hicks

On considère cette fois la variation des prix relatifs, en ajustant le revenu nominal de façon à maintenir l’utilité du consommateur constante.

Graphiquement : on construit une droite de budget fictive ayant pour pente le nouveau rapport des prix relatifs, mais tangente à la courbe d’indifférence passant par A. Le pouvoir d’achat associé à cette nouvelle droite ne permet plus d’acheter A mais maintient l’utilité du consommateur constante (idée de « variation compensatrice de revenu » permettant de maintenir l’utilité initiale).

A Æ B : effet substitution B Æ C : effet revenu

x₁ x2

3 3

2

1 5/4

1/2

•

•

• A

B C

Les coordonnées du point intermédiaire B peuvent être calculées : Situation intermédiaire caractérisée par :

' '

2 1

21 p

TMS = p

Ù

2 1

2

1 =

∂

∂

∂

∂

x U x U

Ù

2 1 1

1

2 − =

x x

Ù x₁ =2(x₂ −1)

et comme on est sur la même courbe d’indifférence que A, on a U(1;2)= x₁(x₂ −1)=1

d’où : 2( 1)

1 1

2 2

−

− = x

x Ù (2x₂ −2)(x₂ −1)=1 Ù (2x₂ −2)(x₂ −1)−1=0

Ù 2x₂² −4x₂ +1=0 Résolution d’une équation du second degré

8 1 2 4 4

4 ²

2 − = − × × =

=

∆ b ac Solutions :

a x b

2 2

∆ +

= − et

a x b

2 2

∆

−

= −

=>

2 1 2 4

8 4

2 2 + = +

∆ = +

= − a x b

Et 1) 2

2 1 2 ( 2 ) 1 ( 2 ₂

1 = x − = + − =

x

A partir des coordonnées du point B, ainsi calculées, il est possible de calculer très précisément l’effet substitution et l’effet revenu.

--- EXERCICE TRAITE AVEC LE GROUPE DE 13H UNIQUEMENT – A

TRAVAILLER POUR LES ETUDIANTS DU GROUPE DE 11H Question 1.6.

a. Max. U(T,M)=T^1/3M^2/3

s.c. p_TT+ p_MM =R soit 40T +20M =2000 Egalité

M MT T

p

TMS = p Ù

M T

p p M UT U

=

∂

∂∂

∂

Ù

M T

p p T

M

M

T =

×

×

−

−

13 ) 13 (

23 ) 23 (

3 23 1

Ù

20 40 3

2 3 1

13 23

23 13

=

×

×

×

×

T T

M M

Ù 2 2

1× = T M

Ù M =4T En remplaçant dans la contrainte de budget :

2000 )

4 ( 20

40T + × T = soit 120T =2000 d’où : 16.7

3 50 ≈

=

T et 66.7

3 200 ≈

= M b. p_T =80

Idem :

M T MT p

TMS = p Ù

20 80 2

1× = T M

Ù M =8T Et la contrainte budgétaire :

2000 )

8 ( 20

80T + × T = soit 240T =2000 d’où : 8.33

6 50 ≈

=

T et 66.7

3 200 6

400 = ≈

= M

La consommation de T diminue du fait de l’augmentation de son prix.

La consommation de M reste inchangée : l’effet de substitution et l’effet revenu se compensent.

Composition des groupes de TD

Vendredi 11h Sorbonne salle D642

NOM PRENOM Numéro d'étudiant

1 BESNARD Steve 10626464

2 BEYLIER Sophie 10424163

3 CHERUETTE Julie 10722449

4 CLASSEN Emmanuel 10621042

5 DELAROCHE Martin 10720060

6 DURRLEMAN Jonathan 10621424

7 GAUTHEY Florian 8111987

8 LANOUX Antonin 10621436

9 LEMAIRE Cécile 10721250

10 LOVICHI Cécilia 11029852

11 MAZZACURATI Axel 10626584

12 MURIEL Ludivine 16121989

13 TALBOT Aurélien 10622284

14 VONG Sokunthear 10521038

Vendredi 13h Panthéon salle 17

NOM PRENOM Numéro d'étudiant

1 ABITBOL Garry 10729523

2 AFRIADE Asmae 11028344

3 AHAMADA Warida 10720401

4 ATTOU Amina 10421963

5 BAPTISTA ALVES Helio Edson 10720268

6 BORDIER Adèle 10634995

7 CHOUCHANE Sirate 10721572

8 COGO Marine 11031347

9 DUPONT-FIGUERES Alexis 10727340

10 FALKENBERG Hanno 11032332

11 FOUTEAU Guillaume 10622424

12 GOA Marie-Paule 11030582

13 HABSHY Maria 10624496

14 HAMDINI Ouerdia 11030596

15 HAMZA Nervine 10729825

16 HOLCMAN Karen 10621132

17 HOUDUSSE Mélanie 10621832

18 HUANG Lijie 11027931

19 LUONG To Nhu 10621823

20 MARTINS Manoela 11031111

21 MDARHRI-ALAOUI Elias 10730121

22 MORITA Massaya 10731961

23 MOURALI Hajer 1103115

24 NOUAR Mariem 11021503

25 PLACIDE Cynthia 10527102

26 PLAISANCE Quentin 10727546

27 PLANTIER Charlotte 11029877

28 RENTERIA José Maria 11027835 29 SCOTTO

d'APOLLONIA Etienne 11021000

30 TINEVA Mariya 10626187

31 VARGAS Watalia 11032276

32 VOIRON Romain 10720731

33 WOLNOWICZ Thomas 10720632

34 ZONDAG Marc 11031678