ELEMENTS DE CORRECTION DOSSIER 3
Exercice 3.1 : Programme de maximisation
Programme du consommateur :
1/ 3 2 / 3
3
72 6 24
MaxU X Y
X Y
=
= +
On utilise le Lagrangien :
1/ 3 2 / 3
3 (72 6 24 )
L= X Y +λ − X − Y Les conditions du premier ordre :
2 / 3 2 / 3
1/ 3 1/ 3
0 6 0 (1)
0 2 24 0 (2)
0 72 6 24 0 (3)
L X Y
X
L X Y
Y
L X Y
λ λ
λ
−
−
∂ = ⇔ − =
∂
∂ = ⇔ − =
∂
∂ = ⇔ − − =
∂
Les conditions du second ordre sont vérifiées Des conditions (1) et (2) nous obtenons :
2 / 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3
6 1
24 2 4
1 2
X Y Y
X Y X
Y X
−
− = ⇔ =
⇒ =
2) On introduit l’équation précédente dans la contrainte budgétaire :
72 6 24 1 0
2
* 72 4
18
X X
X
− − × =
= =
Par conséquent : 1
* * * 2
Y =2X ⇔Y = 3) Soit R1=72 2 144× =
La courbe consommation revenu reste la même puisque seul le revenu a doublé. Par conséquent :
144 6 24 1 0 2
144 1
* 8 et * 8 4
18 2
X X
X Y
− − × =
⇒ = = = × =
4) Le prix varie. Il faut donc maintenant redéterminer la nouvelle courbe consommation revenu. A l’optimum, le TMS est égal au rapport des prix.
2 / 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3
( ) 15 15
( ) 24 2 24
x y
P
Um x X Y Y
Um y P X Y X
−
= ⇔ − = ⇔ =
D’où 15 Y = 9 X
On remplace cette équation dans la contrainte budgétaire :
72 15 24 15 0 72 55
9
* 72 1, 31 55
X X X
X
− − × = ⇔ =
= =
Par conséquent : 15 72 24
* *
9 55 11
Y = × ⇔Y =
Exercice 3.2 : Effet substitution, effet revenu
Attention, erreur de frappe dans l’énoncé :
La fonction d’utilité correspondant aux demandes est normalement la suivante :
3 / 1 3 /
3X2 Y U =
1) Situation initiale : 0 2 300 3 5 40
X = =
Nouvelle situation : 1 2 300
. 50
3 4
X = =
La baisse du prix de X entraîne une augmentation des quantités achetées en bien X. La quantité de bien Y ne varie pas (Y=5).
2) Effet de substitution au sens de Slutsky et effet revenu
a) L’effet de substitution au sens de Slutsky s’effectue à pouvoir d’achat inchangé. Le consommateur pourra toujours acheter le même panier que celui initial. Donc, X=40 et Y=5.
On sait que :R=P Xx +P Yy Donc, R1= × + × =4 40 20 5 260
b) Avec ce nouveau revenu, sa demande en bien X serait : 0 2 260
44, 33
X′ = 3 4 = et celle de Y :
0
260 4, 33 Y′ =3 20 =
×
Nous consommons plus de biens X et moins de bien Y. Il y a donc un effet substitution du bien Y au bien X.
c) Effet substitution est donné par : X0′ −X0 =43, 33 40− =3.33 Effet revenu est donné par : X1−X0′ =50 43, 33− =6.67
Effet total : X1−X0 =50 40 10− = d)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
initial baisse revenu final
3) Effet de substitution au sens de Hicks et effet revenu
a) Connaissant les fonctions de demande il faut déterminer X* et Y*
2 300
* 40
X =3 5 = et 300
* 5
Y =3 20 =
×
Par conséquent : U =3×402/3×51/3 =60
b) A l’optimum, le TMS est égal au rapport des prix. Donc : 5
1 2 20
4 2
) (
) (
3 / 2 3 / 2
3 / 1 3 /
1 = ⇔ =
=
= − −
X Y Y
X Y X P P y Um
X Um
y x
D’où 10 Y = X
c) On remplace cette équation dans la droite de budget :
* 6
10 6 20 4 X R
X X X
R
=
=
× +
=
Par conséquent :
60 6 10
* 1 R R
Y = =
(Nous aurions obtenu les mêmes valeurs en remplaçant les prix dans les fonctions de demande données dans l’énoncé)
Il suffit de remplacer ces valeurs dans la fonction d’utilité pour déterminer le nouveau revenu.
52 , 3 258
926 , 12 60
60 60 3 6
60 60 3 6
3 / 1 3 / 2
3 / 1 3 / 2
× =
=
× =
×
=
=
×
=
R U R
R U R
d) Avec ce nouveau revenu, sa demande en bien X serait : 087
, 4 43
52 , 258 3 2
0 = =
′ X
Celle de Y : 4,308 20
3 52 , 258
0 =
= ×
′ Y
e) Effet substitution est donné par : X0′−X0 =43,087−40=3,087 Effet revenu est donné par : X1−X0′ =50−43,087=6,913
Effet total : X1−X0 =50 40 10− = f)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
initial baisse revenu final
Exercice 3.3 : Elasticité
1) Programme du consommateur :
+
=
=
Y P X P R
Y X U
Y X
5 / 3 5 /
5 2
On utilise le Lagrangien : ) (
5X2/5Y3/5 P X PY L= +λ X + Y Conditions du premier ordre :
0 0 3
0 2
5 / 2 5 / 2
5 / 3 5 / 3
= +
−
∂ =
∂
=
× +
∂ =
∂
=
× +
∂ =
∂
−
−
Y P X P L R
P Y
Y X L
P Y
X X L
Y X
Y X
λ
λ λ
Les conditions du second ordre sont vérifiées.
Des conditions du premier ordre nous obtenons :
Y X Y X
Y X
P X Y P
P P X Y
P P Y
X Y X
= ×
⇒
=
⇒
− =
−
3 2 3
2 3 2
5 / 2 5 / 2
5 / 3 5 / 3
On remplace dans la contrainte budgétaire :
X X
Y X Y X
P X R
X P R
P X P P
X P R
5
* 2 2 5
3 0 2
=
⇒
=
⇒
× =
−
−
Nous en déduisons Y*.
Y Y
X X
P R P
P P R
Y 5
5 3 2 2
*= 3 =
2) Elasticités prix directes
* 5
3
* )² 5 (
15
*
*
Y P
R Y
P P
R Y
P P Y
Y Y
Y Y
Y Y
PY =− =−
∂
= ∂ ε
* 5
2
* )² 5 (
10
*
*
X P
R X
P P
R X
P P X
X X
X X
X X
PX =− =−
∂
= ∂ ε
3) Elasticités revenu
* 5
2
*
*
X P
R X
R R X
X X
R =
∂
= ∂ ε
* 5
3
*
*
Y P
R Y
R R Y
Y Y
R =
∂
= ∂ ε
4) Applications numériques 4.1) X* et Y* à l’optimum :
10 4 5
100 2 5
* 2 =
×
= ×
= PX
X R
6 10 5
100 3 5
* 3 =
×
= ×
= PY
Y R
4.2) Déterminons les élasticités : 10 1 6 5
100 3
* 5
3 =−
×
×
− ×
=
−
= PY R
Y Y
PY
ε
4 1 10 5
100 2
* 5
2 =−
×
×
− ×
=
−
= P X R
X X
PX
ε
4 1 10 5
100 2
* 5
2 =
×
×
= ×
= P X R
X X
εR
10 1 6 5
100 3
* 5
3 =
×
×
= ×
= PY R
Y Y
εR
4.3) Les élasticités prix sont négatives : biens ordinaires. Or, les élasticités-revenu sont positives donc, nous avons des biens normaux.
