Ondes et photons - I. approximation de Schrödinger

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Ondes et photons - I. approximation de Schrödinger

Al. Proca

To cite this version:

ONDES

ET

PHOTONS

I. APPROXIMATION DE

SCHRÖDINGER

Par AL. PROCA. Institut Henri-Poincaré, Paris.

Sommaire. - L’auteur essaye d’établir les bases d’une théorie des photons dans _l’espace de

con-figuration, dans _l’espoir d’éliminer de cette _façon certaines _{difficultés de la théorie actuelle du} rayon-nement. _{L’algorithme} dont il se _{sert est constitué par les dérivées d’ordre} fractionnaire, et l’idée fonda-mentale consiste à décomposer convenablement le vecteur d’univers

On examine successivement _{l’expression} des _champs, leur _{polarisation,} leurs lois de transformation et la valeur de _{l’énergie.}

La solution _comporte trois _étapes

_{d’approximation,}

tout à fait analogues aux _{approximations} de

Schrö-dinger, de Pauli et de Dirac pour la mécanique quantique. Dans ce _premier article, on n’aborde que

l’approximation de _{Schrödinger.} Il résulte d’une analyse serrée que, vraisemblablement,l’expression de la densité d’énergie classique

n’est vraie _{qu’en première approximation,} à savoir, pour les ondes planes et _pour un

_{faisceau infinitésimal}

d’ondes, de _directions, et de fréquences légèrement différentes; elle n’est _{plus vraie pour} une lumière quel-conque. Cette conclusion semble pouvoir être soumise au contrôle _{expérimental.}

1. Introduction. -~- On

peut

affirmer avec

certi-tude

_qu’à

l’heure actuelle la théorie du

_rayonnement

est en retard sur celle de la

matière,

que

l’Optique

n’a pas encore atteint le

_{développement}

extraordinaire

qui

caractérise la nouvelle

_mécanique.

Avant

l’appa-rition de

_celle-ci,

la situation était exactement

renversée : la

_mécanique

était à

_peine

au stade

corres-pondant

à

_{l’Optique géométrique}

et le travail de ces dernières années a consisté

_{précisément}

à l’élever au

niveau de

_{l’Optique physique.}

Il semble

_{cependant que}

ce niveau ait été

_{légèrement dépassé}

et que la

mécanique

soit parvenue à un

_degré

de

_perfection

_que n’a pas encore atteint la théorie de la lumière. Cela

s’est _{manifesté par}

_{l’apparition}

de certaines difficultés

qu’on

a rencontrées

_lorsqu’on

a voulu construire une

théorie

_générale

et relativiste de la matière et du

rayonnement.

Les succès obtenus semblent

_indiquer

qu’on

s’est

_engagé

dans une bonne

voie,

et il serait

d’ailleurs difficile d’en

_imaginer

une autre à l’heure actuelle.

_Cependant,

les difficultés

_auxquelles

on se

heurte sont de telle nature

_qu’on

ne

_{peut guère}

les éliminer par de

simples changements

dans le forma-lisme

_{mathématique,}

comme on a réussi

_cependant

à le faire dans certains cas

_{particuliers ;}

elles semblent

au contraire tenir à certains défauts

_organiques

de la théorie du

_rayonnement

qu’on n’aperçoit

pas

toujours

très

_clairement,

mais

_qui

ne semblent

_pouvoir

être éliminés que par une modification radicale de

cette théorie. En un

_mot,

on voit

_qu’il

faut de toute nécessité modifier

_quelque

chose,

mais on ne sait pas

exactement

_quoi

et,

au

_surplus,

on n’a aucun indice

qui

nous

_permette

de découvrir

_quel

serait le

change-ment

_approprié.

Le but du

_présent

travail est

précisément

de chercher

quelle

est la manière la

_plus

naturelle d’introduire de nouvelles

_hypothèses

dans la théorie du

_rayonnement,

hypothèses qui

la modifient le moins

_{possible (qui}

n’aillent pas, par

exemple, jusqu’à

l’abandon des

équations

de

_Maxwell),

mais

_{qui présentent cependant}

assez de

_jeu

_pour nous

_permettre

de l’encadrer dans la théorie

_générale

des

_quanta.

Il semble résulter de

_{l’analyse qui}

va _{suivre que les}

modifications

_auxquelles

on est tout naturellement conduit soient

_{beaucoup plus}

radicales

_qu’on

ne serait tenté de le croire au

_premier

_abord;

et

ensuite,

que le passage à la forme définitive de la théorie doive se faire en

_{plusieurs étapes qui}

ne _{sont pas} sans

présenter

une certaine

_analogie

avec les

_étapes

condui-sant de la

_mécanique

de Jacobi à la

_mécanique

rela-tiviste de Dirac.

Pour arriver à

_dégager

ces

_hypothèses,

un

_long

dé-tour est

nécessaire.

En

_effet,

la

_question

a aussi un autre

_aspect.

L’évo-lution de nos idées concernant la nature de la lumière

a

présenté

des oscillations bien curieuses.

_Après

le succès de la théorie de Fresnel et de la théorie de

Maxwell,

la lumière était considérée comme indiscu-tahlement formée par des

ondes,

élastiques

d’abord,

électromagnétiques

ensuite.

_{Après l’apparition}

de la notion de

_quantum

_{d’énergie,}

on est _revenu, avec la

théorie des

_quanta

de

lumière,

à une

_conception

corpusculaire,

qui

a même été

_poussée

_jusqu’à

ses

extrêmes limites. De cette

_époque

date l’introduction de

_l’analogie

entre un

_photon

et un

_électron,

_analogie

qui

a

joué

un rôle consid.érable dans le

_{développement}

de la

_physique

moderne, tant au

_point

de vue

expéri-mental

_{qu’au point}

de vue

_théorique.

Tout en recon-naissant la

_justesse

et la nécessité de cette

_analogie,

il était

_{cependant impossible}

de nier

_l’aspect

ondulatoire que

présentait

dans certains cas la lumière. La décou-verte d’une dualité

_identique

dans le cas de la matière a renforcé

_l’analogie

_{photon-électron,}

et la

_mécanique

ondulatoire nous a donné

_l’espoir

de

_pouvoir

réaliser

définitivement la

_synthèse

des théories de la matière et du

_rayonnement.

Or,

cette

_synthèse

n’a pas été réalisée. Il _{n’a pas été}

possible

de décrire

_{rigoureusement, -}

c’est-à-dire autrement que par une

_{analogie qualitative,}

-- le

phé-nomène lumineux comme la résultante d’un mouvement de

_photons,

même en

_appliquant

à ceux-ci les lois de

la nouvelle

_mécanique

c’est-à-dire en les considérant

comme

_analogues

en tout

_point

à des électrons. Les électrons obéissent aux

_équations

de

Dirac,

la lumière à celles de Maxwell et ces

_équations

semblent

irréduc-tibles les unes aux autres. Dès les

_premiers

_temps

de la

mécanique

ondulatoire,

M. L. de

_Broglie

a

_essayé

de faire

_{profiter l’Optique}

des

_progrès

de la nouvelle

mécanique,

en se

_plaçant

au

_point

de vue de la théorie

des

_quanta

de lumière

_(1).

_{L’introduction,}

_par

_Dirac,

d’une fonction d’onde à

_{plusieurs composantes}

a fait entrevoir la

possibilité

d’identifier ces

_composantes,

ou leurs

combinaisons,

au

_{champ électromagnétique.}

De

_là,

une foule de travaux

_ayant

_{ponr but de}

« _{maxwelliser »}

l’équation

de

Dirac,

travaux

qui,

en

dernière

_analyse,

« n’ont absolument rien donné

_{o (~).}

Le débat a été rouvert _par un article de M. P.

Ehrenfest

_{(loc. cit.),}

-

qui

a de nouveau

_rappelé

le

problème

et en a

_souligné

l’extrême

_importance,

_trop

oubliée

_{aujourd’hui,}

- ainsi que par _une

réponse

de M. W. Pauli

_(3),

-

qui

montre d’une

façon

claire et

précise pourquoi

le

_champ

d’une fonction

_{d’onde ~}

de Dirac ne

_peut

_{pas être} assimilé à un

_champ

électroma-gnétique,

et

_qui

_{essaye de fixer les limites de}

l’ana-logie

entre un

_photon

et un électron.

L’article de M. Pauli ferme donc définitivement au

moins une voie dans

_laquelle

on

_peut

_s’engager

_pour

résoudre le

_problème.

Doit-on en _{conclure que cette}

solution est réellement

_impossible

à

atteindre,

ou

qu’elle

n’existe

_pas?

_Quand

on réfléchit aux

_avantages

(1) Cf. Ondes et Mouvements, Paris Gauthier-Villars.

(2) Cf. P. EHRENFEST. Z.

_Physik.,

1932,

78,

p. 558.

(3) Z. Physik., 1933, 80, p. 573. ,

considérables _que nous a valus

_l’emploi

de cette

analogie,

il semble difficile d’admettre que les succès

auxquels

elle a conduit soient dus

_uniquement

au

hasard ;

on est au contraire fortement incliné à penser

que derrière cette

analogie,

en _apparence

_purement

qualitative,

se cache une identité des traits

_essentiels,

ou en tout cas une ressemblance

_{beaucoup plus}

pro-fonde et

_qui

_permet,

de toute

_façon,

la réalisation de de la

_synthèse

cherchée.

Il est donc intéressant d’examiner les tentatives de

synthèse

faites

_jusqu’à

ce

_jour,

_pour nous rendre

compte

à

_quoi

est

_imputable

leur insuccès. Cet examen doit être

_complété

_{ensuite par} une

_analyse

des

pro-priétés

de la lumière ou

_plutôt

des théories

_qui

groupent

ces

_{propriétés.}

Ce n’est que de cette

façon

que nous _pourrons avoir tous les éléments _pour

juger

définitivement si cette

_synthèse

est

_possible,

trouver les causes

_qui

en ont

_empêché

la réalisation et voir dans

_quel

sens il faut faire

_appel

à

_{l’expérience}

qui

seule,

en fin de

_compte,

doit avoir le dernier

mot.

Le

_long

détour

_auquel

nous avons fait allusion

con-siste à effectuer cette

_analyse

et à serrer d’aussi

_près

que

possible

le

problème précédent ;

les

hypothèses

fondamentales cherchées se

_{présenteront}

alors

d’elles-mêmes ainsi

qu’on

le verra au

_paragraphe

13.

2. Distinction essentielle entre

_champs

ma-croscopiques

et

_{microscopiques.}

-- Avant de

com-mencer il faut faire une distinction essentielle entre

champs

macroscopiques

et

_champs

_{microscopiques,}

distinction que M. Pauli a été le

_premier

à mettre en évidence clairement

_(1).

Nous devons

_séparer

les

champs

en deux

_{catégories :}

d’une

_part,

les

_champs

macroscopiques (électromagnétiques

ou

_{matériels) qui}

décrivent l’ensemble d’un

_grand

nombre de

_particules

(photons

ou

_électrons),

et de

_l’autre,

les

_chanips

mi-croscopiques

qui

se

_rapportent

à une seule

_particule.

Lorsqu’on

veut établir un lien

_d’analogie

_quelconque

entre les

_champs

matériels et

_{électromagnétiques,}

il faut naturellement ne mettre en

_parallèle

_{que des}

champs

de même genre.

’

3. Position du

_problème

et _solutions

pro-posées. -

Nous nous _{occupons dans cet article}

exclusivement des

_{champs microscopiques}

e et h _pour

un

_{photon et ~}

_pour une

_particule;

le

_problème

est alors le suivant : Soit un

_{photon qui}

se meut dans le

vide ;

considéré comme une

_particule

il

_peut

être

décrit,

en

_mécanique

_ondulatoire,

_par une onde

_~.

D’autre

_part,

l’existence d’un

_photon

dans le vide est

équivalente

à l’existence d’une onde

_lumineuse,

c’est-à-dire à l’existence d’un

_champ

_{électromagnétique,}

obéissant aux lois de Maxwell. Cela

admis,

est-il

pos-sible d’établir une relation

quelconque

entre l’onde de de

_Broglie

du

_photon,

décrite _par la

_fonction,p

et l’onde

l2cmineuse caractérisée par e et

h,

de

façon

à

_pouvoir

déduire l’une d’entre elles de la connaissance de

l’autre "1

Les solutions

_proposées

sont très diverses et

_peuvent

difficilement se classer en

_catégories.

On

_peut

ce-pendant

en

_distinguer

deux. Dans la

_{première catégorie}

nous _{rangerons toutes les solutions pour}

_lesquelles,

d’une

façon

ou d’une

_autre,

le

_champ

électromagné-tique

coïncide avec un

_champ

d’onde

_~,

convenable-ment choisi. Dans ce cas, les

_champs

e et h sont donc des

_grandeurs

inobservables.

Les raisons pour

lesquelles

ces solutions « n’ont

absolument rien donné », sont

_exposées

dans l’article cité de M. Pauli

_(’)

Une seconde

_{catégorie peut}

être formée avec les solutions

_{qui regardent}

les

_champs

e et h comme des

grandeurs

observables et mesurables

_{séparément.}

On. considère alors le

_{champ >)}

d’une

_particule

convena-blement choisie

_(en

_général

un électron de masse

et de

_charge

_nulles)

et on fait

_{l’hypothèse}

que e et h sont les densités de moyennes de certains

opérateurs

dans ce

_champ,

~. Ç(~.

A ces tentatives on

_peut

faire

_{l’objection}

_{que les}

expressions

e et

_h,

ainsi

_obtenues,

ne satisfont

_plus

aux

équations

de Maxwell

_(1),

et aussi une autre

_qui

est

très

_importante

_(3).

e étant de la

_~,

si l’on

prend pour §

une onde

_plane

de

_fréquence

v, le

champ

e lui-même aura la

_fréquence

0. Le

_champ

électro-magnétique

d’un

_{photon d’énergie}

hv serait

_donc,

dans ce cas, une fonction oscillant avec la

_fréquence

0.

Or,

ceci constitue une difficulté

_qu’il

_{n’est pas si} facile

d’éliminer;

en

_effet,

_pour un même

_photon

il existe des

_phénomènes

_régis

par

~,

donc par des fonctions de

fréquence v (par exemple

le

_phénomène

des interfé ~

rences),

et d’autres

_{phénomènes, dépendant}

de e et h

eux-mêmes,

donc des fonctions de

_fréquence

0

_{(tel le}

phénomène

photoélectrique).

La différence de

fré-quence et de e, h pour un même

_photon

est une difficulté

_{supplémentaire qu’il}

faut absolument écarter.

Aucune de ces solutions ne semble donc propre à être

_employée

comme instrument

_d’analyse

de la structure actuelle des théories de la lumière. Il nous a semblé utile d’en chercher une autre

_qui,

dans la mesure du

_{possible, échappe}

aux

_{objections précé-6}

dentes. Cette solution aura, elle

aussi,

des

défauts ;

mais l’idée directrice est de réduire ceux-ci aux défauts

_essentiels,

inhérents à la théorie actuelle du

rayonnement,

ce

_qui

nous

_permettra

de voir clai-rement si la

_synthèse

cherchée est

_possible

et

sinon

_qu’elles

sont les modifications à faire pour l’obtenir.

(1) Bous devrions ranger dans une _catégorie à part les travaux de LANDAU ET _PEIERLS, Z. _Physik, 1930, 68, 188, puisqu’ils prêtent

le flanc aux mêmes critiques, nous ne ferons pas cette dis-tinction.

(2) C’est la _critique faite _également par 1i. PaULI à l’essai de 111 L. DE BROGLIE.

(3) Ci. L. DR _{BROGLIE, Comptes Rendus, 1932, t. 195, 636,} 617

et 832.

4. Idée fondamentale. - Considérons donc un

photon

comme une

_particule

et

_appliquons

la,

méca-nique

ondulatoire. Cette

_particule

sera _{décrite par} une

fonction

_{d’onde ~,}

satisfaisant à une

_équation

dont la forme définitive ne sera

_précisée

_que

_plus

tard. Disons seulement pour l’instant _{que cette}

_équation

doit être

l’équation

de Dirac dans un cas

_particulier,

à savoir

pour un

_champ

_extérieur,

une

_charge

et une masse

pro-pre nulles. Cela suffit pour que nous

_puissions

affirmer que :

a)

satisfait certainement à la condition

et

_b)

_{qu’on peut}

choisir comme solution une onde

plane

de

_{fréquence v,}

cas

_{auquel l’énergie}

du

_photon

sera

_{proportionnelle}

à v.

Considérons maintenant l’onde lumineuse

_qui

cor-respond

au

_photon

et demandons-nous comment on

peut

définir son

_{champ électromagnétique}

e et h.

e, h ne

_peuvent

_pas coïncider avec les

_composantes

de

_~;

d’autre

_part,

une

_{composante quelconque}

_e, ne

peut

pas être de la forme

~* ~ ~,

c’est-à-dire la densité

de moyenne d’un

opérateur.

Mais il encore une

possibilité :

chacune des

_{composantes peut}

être une

grandeur

du

_{type ~,}

c’est à-dire

_{déduite de y}

_par

ap-plication

d’un

_opérateur

convenable

_qui,

en

parti-culier,

n’altère pas la

fréquence.

Nous _{poserons donc :}

X...,

L... sont des

_opérateurs

_qui

doivent être déterminés de

façon

que

(1)

satisfassent aux

_équations

de Maxwell. De

_plus,

_{il faut que pour} une onde

_{plane ~}

de

_{fréquence ’J,}

les

_expressions

_(~1)

soient

_également

harmoniques

de

_{fréquence v}

_{et que}

_l’énergie

soit

_{pr’o}Jortionnelle}

à la mênie

_fréquence.

En

résumé,

nous devons trouver une solution des

équations

de Maxwell

_qui

satisfasse à certaines

con-ditions,

et

_qui,

avant

_tout,

soit déterminée _{par la}

connaissance d’uiie seule

_{fonction dl.}

5. Résolution des

_équations

de Maxwell. --Les

_équations

de Maxwell ont été résolues de

_plusieurs

manières différentes.

La manière usuelle d’écrire les solutions de ces

équations

consiste à introduire les

_potentiels

vecteur et

_scalaire,

donc

_quatre

fonctions

_Ar,

satisfaisant toutes à la condition

0 Ar

= 0. On connaît aussi la solution

de Mie

₍₁₎

et

_Debye

₍₂₎

_qui

_{n’introduit que deux} «

_potentiels

»

_scalaires,

- et enfin _une solution

trique

de Bateman.

Mais,

à notre

_{connaissance,}

on

n’a pas encore écrit les solutions des

_équations

de

Maxwell en

_{n’employant}

_qu’un

seul «

_potentiel

o

c’est-à-dire une seule

_{fonction ~}

satisfaisant

_{à ~ ~ =0.}

Considérons donc d’abord ce

_problème

_particulier

et écrivons les

_équations

de

_Maxwell,

en

_posant

_pour

abréger

Remplaçons

dans

₍₃₎

e et h par leurs

expressions

(1);

les

_équations

de Maxwell ait =

0,...

deviendront

9l §

=

0,...

où st sont des

_opérateurs

fonction de

X,...

L,...

et t des dérivées

_{partielles ô ;}

il suffira alors de

déterminer les

_{opérateurs X,... L,...}

de

_façon

_que

0,...,

et

_{automatiquement}

₍₁₎

sera la solution

cherchée. A

_{première vue,}

il semble que ces

_opérateurs

soient

_compliqués.

Il est

_remarquable

_{de constater que} non seulement ils ne le sont pas, mais

_{qu’ils dépendent}

d’opérateurs

de structure connue _{et que} leur

compli-cation ne

_dépasse

_pas celle d’une dérivation d’ordre

fractionnaire,

d’ordre

_1/2

pour

préciser.

Ecrivons en détail ces

_{équations :}

Nous

_admettons,

en

_outre,

_{que les}

_opérateurs

_X,

_Y,

_Z,

L,

sont commutables entre eux et avec

_{ôo, ôt, d~,}

è3,

c’est-à-dire se

_comportent

dans

_(4),

du

_point

de vue du calcul

_algébrique,

comme des nombres ordinaires.

Nous allons donc résoudre

_simplement

le

_système

d’équations

(4)

comme s’il

_s’agissait

d’un

_système

algé-brique.

Naturellement,

ce

_procédé

n’a aucune valeur de

_{démontration;}

il ne nous _{servira que pour trouver} une

_{expression probable}

_{pour les}

_opérateurs

_{X, ... L,}

..

Nous aurons ensuite à trouver

_{une interprétation}

de ces

opérateurs

et finalement _{prouver que si} on les

_applique

à ~

on _{obtient bien pour}

₍₁₎

une solution des

_équations

de Maxwell.

On déduit des deux dernières conditions I et II de

(4)

que

k étant un facteur de

_{proportionnalité;}

les

_équations

(4)

étant

_homogènes

il suffira de

_{prendre k}

= 1. Des

autres

_équations

on déduit :

et les _{conditions que doivent} satisfaire les

_è,

et

On en déduit aussi

Donc,

avec les conditions

(5)

nous _pouvons

_remplacer

le

_système

₍₄₎

_par

Si

_donc,

_pour aider notre

_intuition,

nous considérons

ôi ,

Ô,,

~3

comme les

_composantes

d’un vecteur de lon-gueur

00’

le

_problème

₍₆₎

revient à trouver deux autres vecteurs

_{(X, Y, Z~)}

et

_(L,

_M,

_{N), perpendiculaires}

entre eux et à

(Ôt,

d~,

à3)

et

_ayant

une même

_{longueur égale}

à x/ôo.

En même

_temps

₍₆₎

nous montre

_quelle

est la

signifi-cation

_profonde

du

_procédé

_{formel que} nous avons

envi-sagé

et nous fait

_pressentir

son

_importance.

_Anticipant

sur ce

_qui

va

suivre,

nous _{pouvons remarquer}

qu’indé-pendamment

de toute relation avec les

_équations

de

Maxwell,

le

_{procédé employé}

revient à

_déconlposer

le vecteur d-univers :

en deux

éléments,

tels que chacune des

composantes

(7) s’exprime

par une

_fonction

_quadratique

de ces élé-ments. La théorie de Dirac nos a familiarisés avec des

décompositions analogues :

par

exemple

le courant d’univers se

_présente

en théorie de Dirac comme une

fonction

_quadratique

des

_composantes

de deux

spi-neurs.

Tout le _{succès de la théorie de Dirac repose d’ailleurs} sur l’introduclion d’éléments que l’ancienne

_analyse

tensorielle

_négligeait

et dont les lois de tranformation

sont _{telles que seulement certaines} fonctions

quadrati-ques de leurs

composantes

rentrent dans les cadres de cette ancienne

_{analyse. Or,}

la théorie actuelle du rayon-nement

_ignore

ce _{genre de}

_quantités,

ou

_plutôt

elle n’en

a _pas besoin : on

_peut

la

_développer

sans faire

aucune-ment

_appel

aux

_spineurs.

Du

_point

de vue des lois de

transformation,

ces deux théories se trouvent en

quel-que sorte sur deux

_plans

différents ;

il n’est _pas

une théorie

_unique.

Mais,

en même

_temps,

cela nous montre que nous ne _pourrons

_espérer

arriver à ce

résultat

_qu’en

les ramenant au même

_plan,

et le seul moyen

logiquement

utilisable est t introduction

systé-nlatique

de

_{décompositions}

du

_type

_que nous avons

employé.

Ce

_point

est fondamental.

Quoiqu’il

en soit

_{l’image géométrique précédente}

nous

_permet

de résoudre immédiatement les

_équations

(6).

Si les

d,, è2, Ô3

sont des nombres

_{représentant}

les

composantes

d’un vecteur de

_longueur

ôo,

menons le

Fig. 1.

plan

normal à ce vecteur et

_qui

_{passe par}

_l’origine,

et

prenons l’intersection à de ce

_plan

avec le

_plan

x

_{0 y,}

(voir figure).

X, Y, Z et L, M,

N se trouveront dans ce

plan,

mais les

_équations

₍₆₎

ne

_fixent

_{pas l’orientation} de

_{X, Y,}

Z dans

_{ce plan.}

_L’angle

a de

_(X,

_Y,

_Z)

avec o

constitue un

_paramètre

arbitraire. En fonction de ce

paramètre

les solutions de

₍₆₎

sont :

Ces

expressions

ont une forme

_{particulière}

due à un

choix

_particulier

du

_paramètre

arbitraire a, ou

_plutôt

à

_l’origine

à

_partir

de

_laquelle

on le

_compte.

Cette

forme fait

_apparaître

des dénominateurs.

_Or,

le déno-minateur

yôo

ne

_peut

_jamais

_{être nul dans notre cas,}

donc il ne _procure aucune difficulté _-__ 0 entraîne

et il

_n’y

a

_plus

de

_propagation;

les

_équations

de Maxwell

_exigent

_{alors que le}

_champ

soit une constante absolue dans tout

_l’espace).

Le dénominateur

_-~-

a2$

apparaît

d’une manière

_{artificielle,}

_{parce que} nous avons choisi comme

_origine

de a la droite

d’intersec-tion du

_plan

normal à

_(01’

ô~,

~3)

et du

_plan

_.x0y,

et que sa

_position

est indéterminée

_lorsque

ces deux

plans

coïncident. Les formules

₍₈₎

_{n’ont donc pas de}

sens

_lorsque

_{ai, ô2, à3}

coïncide avec l’axe

_{Oz ;}

mais cela

ne _{veut pas dire}

_qu’il

_{n’existe pas de solution. Il} suffit

de

_prendre

dans le

_plan

_x0y

une droite à arbitraire

et

_compter

à

_partir

de celle-ci

_l’angle

oc. Au

_surplus,

si

l’on veut avoir des formules

_symétriques

on

_peut,

étant donné un ensemble de nombres

_{01’ ~2,}

_ô3,

choisir trois autres nombres tels _que

ce

_qui

est

_{toujours possible.}

Cela

_étant,

on

_peut

écrire les formules

₍₈₎

sous la forme :

Néanmoins,

nous

_garderons

les formules

₍₈₎

_qui

sont

valables tant que

(Ô1,

~2,

d3)

ne _{coïncide pas} avec 0.~

(c’est-à-dire,

tant

_{que ’~}

_décomposé

en une somme d’ondes

_planes

_{n’en contient pas}

_qui

se

_propagent

non.

malement à

_Oz).

Ces formules font

_jouer

un rôle

parti-culier à cet axe tout comme d’autres formules utilisées en théorie de Dirac.

Enfin écrivons

et formons

on aura

6.

_Opérateurs.

Définitions. - Revenons

mainte-nant au

_problème

fondamental de la recherche des

opérateurs

X, Y, Z, L, M,

N

_qui

conduisent à une

solution des

_équations

de Maxwell. Nous devons nous demander d’abord si les formules

₍₈₎

ou

₍₁₀₎

convena-blen1ent

_{interl)rétées,}

ne nous fournissent _{pas les}

opéra-teurs cherchés. Il suffira _{pour cela de}

_remplacer

les

_dr,

qui

étaient

_jusqu’à

_présent

des

_nombres,

_{par les}

déri-vées

_{correspondantes}

et de chercher

_quel

_peut

être le sens de

et de leurs inverses.

Le sens du

_symbole

or2

est clair :

or2

signifie

une

dérivée du second ordre. Pour

_garder

la même

inter-prétation

devrait

_signifier

une dérivée d’ordre

~./Z.

Or,

on sait comment

_prendre

la dérivée d’un ordre

_quelconque,

négatif et (t’actionnaire

d’une

_{fonction donnée ~}

_(1);

par

conséquent,

le

_problème

ne

_présente

_{pas de}

dif-ficulté.

La dérivée d’ordre

_quelconque

d’une

_{fonction ’f}

a été

mise sous différentes formes. Nous ne

_poursuivons

_pas

ici une étude

_{mathématique complète ;}

_par

_conséquent,

nous ne

_prendrons

_{pas la} forme la

_plus

condensée ou (1) Cf. p. ex. _{Encyclopédie} des Sciences _{mathématiques} II, IB,

parag. 1.

la

_{plus générale,}

mais la

_plus

commode et la mieux

adaptée

à nos

_{besoins. ~}

sera dans notre cas la solution

d’une

_équation

de

_propagation,

donc

_exprimable

direc-tement par une

_{superposition}

d’ondes

_planes

de la forme

Nous choisirons donc la définition

_simple

de

Liou-ville,

qui s’adapte

le mieux à ce

_type

de fonction. La dérivée DS d’ordres

_quelconque,

d’une fonction

sera

Dans cet

_article,

nous

_prendrons

en considération

des

_photons

dans un seul état ou des

_photons

distribués

sur un nombre

_fini

_{d’états ;}

la définition

₍₁₅₎

sera

rigou-reuse dans ce cas

_puisque

toute difficulté de conver-gence est exclue.

Exemple :

pour un

_{photon représenté}

_par une onde

plane

on a

et 1

De _{même pour} une fonction

nous définirons

En

_particulier

_pour l’onde

_plane

₍₁₆₎

et

et de

_plus

est déterminé au facteur e-ja

_près.

Ce facteur est un

opérateur

arbitraire soumis à la seule condition

_qu’il

soit commutable avec tous les

ô,.

ainsi

_qu’avec

_X...,

L...

_{(et qu’il}

ne _{soit pas,} en

_outre,

un diviseur de

_zéro).

Cela entraîne la

_conséquence

évidente suivante : si

(r = 1,

2,

3),

c’est-à-dire les

_{opérateurs (11)}

ce

_facteur

_appliqués

à un

_1,

conduisent à un

champ électromagnétique

satisfaisant aux

_équations

de

Maxwell,

il en sera de même des

_opérateurs

avec ce

_facteur,

_{(r =1,}

_{2, 3).}

Prendre les

_{opérateurs (1 i)}

sans le facteur

équi-vaut à faire x - 0 dans

_(8),

c’est-à-dire

_prendre

Soit alors une onde

_plane

satisfaisant à

’

c’est-à-dire telle _que

On vérifie immédiatement que les fonctions

satisfont aux

_équations

de Maxwell. Ces

_équations

seront encore satisfaites

_{quand ~}

sera une somme d’ondes

_planes

du

_type

₍₁₆₎

_auxquelles

on

_applique

les

_{opérateurs (19).}

’

On

_peut

donc conclure : soit une

satisfai-sant à la condition

₍₂₁₎

les fonctions

forment

les

_couaposantes

d’un

_champ

électromagné-tique

déduit du

_{« potentiel unique » Y qui satisfont}

aux

équations

de Jlaxwell

_(1).

A un «

_{potentiel »}

_déterminé

(t) En _appliquant les opéraleurs X..., L..., il faut traiter les

cos oc, sin a comme deux opérateurs arbitraires, commutant

avec tous les autres et tels que l’application deux fois _répétée de cos a _{plus l’application} deux fois _répétée de sin a _reproduise

la fonction primitive : sin’4 ce + cos2 a = 1. Pour éviter cette

complication, il vaut mieux _prendre le champ sous la foime

complexe ;r = _{e, + ihr} et introduire _{l’opérateur} arbitraire sous sa forme _{exponentielle}

~ correspond

une infinité de

_{champs :}

si

ey,

h°r

r est

l’un

_d’eux,

les autres se déduisent par la formule

où e- i rt est un

_opérateur

_arbitraire,

non-diviseur de zéro et commutant avec tous les

Or-Si le

_{développement de~}

en série de Fourier

_possède

un terme

_{qui représente}

une onde

_plane

normale à

0,-on devra le traiter à

_{part :}

on calculera la contribution

des autres termes _par les formules

_(~2)

et on lui

ajou-tera celle de l’onde

_plane

en

_question,

_qu’on

calculera

directement.

_Enfin,

_{pour que le théorème soit}

rigou-reusement démontré il faudrait s’assurer de la

con-vergence des

développements, question

que nous avons laissée _{de côté pour le moment.}

7.

_{Signilication}

de e-i (Jo. - Considérons le cas

d’un «

_potentiel

»

_{générateur représenté}

_par une seule onde

_plane

de la forme

tel que

Anticipant

sur ce

_qui

va

_suivre,

nous _pouvons dire que

(23)

représente (dans

une théorie

relativiste,

à

l’approximation de

0)

un

_photon

d’énergie w

et de

_{moment »}

=

w,

se mouvant le

c

long

de l’axe des ,x. Le

_{champ électromagnétique}

équi-valent s’obtiendra en

_appliquant

à

_If

les

_opérateurs

_{(8) ;}

on a :

Admettons _que nous choisissions _pour

_{l’opérateur}

arbitraire a le

_{plus simple possible :}

«

multiplication

par un nombre réel ordinaire a o. Dans ce cas, il est clair que ce nombre,%

_représente

_l’angle

de

polarisa-tion de la

lumière,

le

_plan

_{x 0 y}

étant

_pris

comme

_plan

d’origine.

Le

_photon

est

_représenté

_par une onde

plane

c’est-à-dire _par une

_expression

oscillatoire de la

forme

_{(16) ;}

le

_{champ électromagnétique}

est

_repré-

°

senté par des

expressions

du même

_type

à un facteur

de

_phase

constant

_{près :}

_par

_{exemple :}

les

_pulsations

des diverses

_composantes

du

_champ

naturellement par ce

_décalage,

comme elles ne le sont pas par la

phase

arbitraire

qui

subsiste

toujours

dans la fonction d’onde du

_photon.

Ces

_amplitudes

sont réelles et

_égales

à

Les facteurs

_pulsants

des

_composantes

du

_champ

sont

_imaginaires;

mais on

_peut

aussi ne considérer

que les

parties

réelles

_qui

sont aussi des solutions des

équations

de Maxwell.

Ainsi,

dans cette théorie dans

_laquelle

un

_photon

est décrit par une seule

fonction

d’onde,

l’onde

_plane

électromagnétique correspondant

à un

photon,

n’est

pas

complètement

déterminée par ce dernier : sa

polarisation

reste arbitraire. Il n’en est

plus

ainsi dans la théorie exacte.

Prenons maintenant un autre

potentiel

formé _{par la}

superposition

de deux ondes

_planes

du

_type

_(211).

Le

_champ

sera

et il satisfera aux

_équations

de Maxwell _{parce que}

(ei,

hi)

et

_(e2

_h2)

_{y satisfont}

_{séparément,}

et cela

quelles

que soient leurs

polarisations.

Donc

_{l’opérateur}

cos _a, sin x dans

_(8),

_appliqué

à une

fonctions

formée _par une

_{superposition}

d’ondes

_{planes, peut}

avoir une autre forme

simple :

multiplication

de

chaque

onde par un facteur de

phase

différent :

[cos

a] ~ == ~ 1 .

cos _~1

₊

_{~2 .}

cos _CP2

_{+ ...}

1’h CY2,’’’’ étant des nombres différents les uns des

autres;

cela conduira

_toujours

à des solutions des

équations

de Maxwell.

Cet

_{opérateur peut}

être

_{plus compliqué}

_que

_cela,

au

moins dans la théorie

_primitive

basée sur

_l’unique

condition

D

_’~

®

_0;

nous _{n’avons pas réussi} à démon-trer

_qu’il

doit nécessairement se réduire

_{au type}

_simple

décrit

_plus

haut.

Quoi

qu’il

en

_soit,

nous nous limiterons dans ce

_qui

suit au

_type

_{d’opérateur}

_que nous avons

_{signalé plus}

haut et

_qui

a une

_{interprétation}

_{physique simple.}

Revenons à la

_question

de la relation entre

l’équa-tion du

_photon

en

_mécanique

ondulatoire et les

équa-tions de Maxwell.

Nous parcourrons ici aussi les deux

_{étapes qu’a}

par-courues la

_mécanique

ondulatoire du

_point

matériel :

mécanique

de

_Schrôdinger

et

_mécanique

relativiste de

Dirac;

la raison _pour

_laquelle

nous ne _{pouvons pas}

passer immédiatement au cas de Dirac

_apparaîtra

clairement dans un instant.

Assimilons donc le

_{photon à}

un

_point

matériel de

masse

_{nulle ;}

à

_{l’approximation}

de

_Schrôdinger

sa fonc-tion

_{d’onde ’~}

satisfera alors

Dans ce cas le

_{champ électromagnétique}

_e,

_h,

sera donné par les formules

(1)

et

₍₉₎

et ces

_composantes

satisferont aux

_équations

de

Maxwell,

d’après

les

paragraphes

précédents.

Il ne nous reste

_{plus qu’à}

voir comment ces

_grandeurs

se

_comportent

lors d’une

transformation de Lorentz.

8. Lois de transformation. - Le

_champ

est donné par les formules :

et les

_opérateurs

X...,

L...,

sont _{définis par} les

équa-tions

₍₆₎

Or,

le ~

est une fonction _{d’onde que} nous devons normaliser comme d’habitude _par

Dans une théorie correcte

_(et

nécessairement

relati-viste),

il faudrait _{que cette condition} essentielle fût

invariante _par

_rapport

aux transformations de

Loren l z,

ou au moins

_qu’elle

se

_propageât

au cours du

_temps.

L’invariance

_exigerait

_que

_l’fI2,

le carré du module

_{de §}

se transformât comme la

_composante

de

_temps

d’un vecteur

_{d’univers. ~}

devrait donc se transformer

₍₁₎

comme

Vi:

Si le

_{symbole N signifie :}

« se transforme comme », on aura

et,

par les formules

(6) :

Les

_expressions

à

_gauche

du

_{signe N}

se

transfor-(1) C’est pour éviter cette conclusion que Schrodinger avait

proposé dans un de ses _premiers mémoires comme formule de normalisation

f

d V = 1 au lieu de (25), voulant ainsi

ôt

réaliser

l’invariance

de la condition de normalisation et faci-liter la généralisation relativiste de la théorie. (Cf. Mémoires

ment donc comme les

_composa,ntes

de

_temps

_T~*,

7’34, T44

d’un tenseur d’univers

_symétrique

_{de rang} deux.

_Or,

elles ont

_{précisément}

la

_{forme qu’auraient}

les

_composantes

de

_temps

du tenseur

_classique

d’énergie-quantité

ae

_mouven1ent,

_{si les e,,} et

_h,,

étaient les

_champs

électriques

et

_magnétiques

habituels. _{NouÇ pouvons} donc en _{conclure que les e,, et}

_hr

_{calculés par}

₍₁₎

_peuvent

bien

_jouer

ce

_rôle;

les

_{expressions proposées}

se

trans-forment donc correctement.

Pour arriver à ce

_résultat,

nous avons été

_obligés

de supposer

que ~

se transformait comme ce

_qui

détruit l’invariance relativiste de

_{l’équation}

fonda-mentale

Cela est

_{inévitable ;}

il faut choisir entre cette inva-riance et celle de la condition de normalisation

l’une excluant l’autre. Ainsi

_qu’à

est bien connu, on

n’a même _{pas la} ressource de

_pouvoir

_{démontrer que} si cette condition est réalisée à un instant

_déterminé,

elle continuera à l’être aux instants ultérieurs. Nous

rencontrons ici des difficultés

_qui

nous sont

_familières,

et

_qui

_{sont apparues}

_lorsqu

on a voulu construire une théorie relativiste de l’électron en

_partant

d’une

équation

du second ordre. Ces

difficultés,

auxquelles

il

fallait s’attendre et

_qui

_{montrent que la théorie que} nous

_développons

ne saurait sous sa forme actuelle être

_{satisfaisante,}

sont

dues,

aussi bien pour l’électron que pour le

photon,

au _{fait que} nous nous bornons à

l’approximation

de

_Schrodinger.

Elles doivent naturel-lement

_disparaître

dans la théorie exacte

_et,

en

_fait,

on

ne les retrouve

_plus.

9.

_{Décomposition}

en facteurs. -- Le

processus

que nous avons

_employé

consiste en une

_{décomposition}

du vecteur d’univers.

qui

réalise,

un

_vecteur,

ce _{que la} « lirtéaristctior2 »

introduite _{par Dirac réalisait pour} un scalaire de la

forme

On

_peut

mettre cette

_{décomposition}

sous la forme d’une véritable «

_{décomposition}

en facteurs ». Soient

X,

IÀ, v des unités

quaternioniennes,

c’est-à-dire telles

que :

et posons :

on aura :

Si l’on veut

_{particulariser,}

on

_peut

_prendre

_pour,7,

les matrices de Pauli : -.

Considérons les

_quaternions

et

_décomposons

D en deux facteurs

_d’après

le schéma

Posons,

pour

abréger :

on a

et aussi

Il est clair _{que la}

_{décomposition}

₍₃₁₎

est

_toujours

formellement

_possible

d’une infinité de manières et

qu’elle équivaut

aux relations

mais cette

_{décomposition}

_n’exige

nullement _{que l’on}

ait,

de plus,

et :

(35)

est une condition

_{supplémentaire qui}

s’écrirait

simplement

ou

Cela

_étant,

il est facile de vérifier que les

équations

de

Maxwell s’écrivent :

où

Prenons alors comme

_composantes

du

_champ

élec-tromagnétique

celles

_qui

résultent des

_équations

où

est un nombre

_(donc

ne contient pas les (J1, 0"2,

(13),

où

_{X..., L...,}

sont des

_opérateurs

satisfaisants à

₍₃₇₎

et tels que les conditions

_{supplémentaires}

Ces conditions ne

_peuvent

_{pas être} satisfaites par

n’importe

quelle

fonction

_{~~ ;}

il _{faut que}

en vertu de

et de :

Cette

_{conditionétantremplie,}

et elle l’est

_{toujours dans}

l’hypothèse

où ~

est la fonction d’onde d’un

_photon

à

l’approximation

de

_{Schrôdinger.,}

on vérifie

immédiate-ment que les

champs

(38)

satisfont aux

_équations

de

Maxwell. En effet t

et

Pour

_cela,

les conditions

₍₄₀₎

sont donc

indispen-sables.

10.

_{Energie. -}

Nous sommes donc en

_possession

de certaines fonctions déduites de la fonction

_{d’onde ~}

du

_{photon, qui}

satisfont aux

_équations

de Maxwell et se transforment correctement. Pour que nous _{ayons le}

droit de les considérer comme

_{représentant}

le

_champ

électromagnétique

d’un

_photon,

il faut encore

_qu’elles

conduisent à la valeur correcte de

_l’énergie

de ce

pho-ton.

Nous calculerons cette

_énergie

par la formule

Considérons d’abord un

_photon

comme un

_point

matériel de masse

_nulle,

et

_supposons-le

dans un

état

_d’énergie

W-

_hv,

et de

_quantité

de mouvement

(p, , q, r).

Sa fonction d’onde sera

et,

- à

l’approximation

admise, -

on aura

soit

Admettons en outre

_{que ~}

soit normalisé.

En

_appelant

0153

l’angle

de

polarisation,

les formules

(8), (18)

nous

_permettent

de calculer les valeurs des

composantes

du

_champ.

Or,

ces

_composantes

ne sont

déterminées

_qu’à

un facteur constant

_près

_que nous

pouvons choisir

arbitrairement,

et dont nous allons

profiter

pour « normaliser » _{les valeurs des}

compo-santes du

_champ.

Avec ce facteur k

_arbitraire,

les

valeurs des

_composantes

du

_{champ électromagnétique}

d’un

_photon

_{décrit par} une

_for2ction

d’onde de la

_forme

(42)

sont données par :

On vérifie immédiatement que

et si l’on

_prend

donc _par

_exemple

(de

façon

que on a

Prenons maintenant le cas d’un

_photon

« _distribué » sur

_plusieurs

_états,

c’est-à-dire

_représenté

_par une

superposition

d’ondes

_planes.

(les ~, normalisés). (45)

Les termes

_rectangles

donneront zéro et l’on aura

La valeur calculée en

_partant

du

_champ

électroma-gnétique

est

_identique

à celle

admise

en théorie des

Le

_champ

_{donné par les formules}

₍₄₃₎

satisfait aux

équations

de

_Maxwell,

se transforme suivant les lois

requises

et cond2cit à des valeurs correctes de

_{l’énergie;}

tout semble donc

_{satisfaisant,}

au moins au

_degré

d’ap-proximation auquel

nous nous sommes bornés

_jusqu’à

présent.

Cependant

une

_{analyse plus}

serrée nous montrera que le traitement que nous avons

_{appliqué présente}

une lacune. L’étude de cette lacune est extrêmement

importante

parce

qu’elle

nous

_permet

d’entrevoir pour la

_première

fois le sens dans

_lequel

il faudrait modifier ta théorie

_classique

de la lumière _pour arriver à éli-miner au moins

_quelques

uns des désaccords dont

nous avons

_parlé

au début.

Nous avons

vu _que

_l’énergie

du

_champ,

calculée _par

la formule

_(4i),

coïncidait,

formule

_(46),

avec _{celle que} donne la théorie des

_quanta.

Mais en

_{électrodynamique}

et en

_{mécanique quantique}

_relativiste,

l’élément

impor-tant est non seulement la valeur moyenne mesurable de

_{l’énergie (ou}

d’une autre

_grandeur),

mais aussi !a densité

_{correspondante.}

Examinons donc l’accord entre la densité

_d’énergie

calculée à

_partir

du

_champ

électro-magnétique

(43)

et celle calculée

_d’après

la

_mécanique

ondulatoire.

11. Densité

_{d’énergie. -}

1.

_Lorsque

le

_photon

est décrit _par une seule onde

plane

il est clair _que, non

seulement les

_énergies,

mais aussi leurs densités coïn-cident.

2. Pour examiner le cas d’un

_photon

décrit par

_uns

du

_type

_(45),

il suffit d’examiner évidemment le cas

simple

d’un ~

formé _{par la}

_{superposition}

de deux ondes :

On a dans ce cas

le terme

_{T ayant}

la forme

_{indiquée plus}

loin. Ecrivons les relations

₍₄₃₎

sous la forme

Sr

et

_T,

étant des constantes

_(réelles).

Pour

_{un ~}

donné par

le

_champ

sera

et la densité

_d’énergie

s’écrira

Le terme T est

_égal

donc à

soit

Dans la seconde

_parenthèse

nous n’avons écrit que le

terme

_{qui provient}

de et a2 sont les deux

polarisations

indéterminées,

correspondant

aux deux

ondes

_{planes qui}

définissent le

_photon

_(Voir

_parag.

_7).

12. Densité

d’énergie

en

_mécaniqne

ondula-toire. - Soit H l’hamiltonien

qui

définit le

mouve-ment du

_{photon (que}

nous _{pouvons supposer être celui} de Dirac pour

plus

de

_{généralité) et §}

sa fonction

d’onde)

1

La _{valeur moyenne de}

_l’énergie

_{sera f}

_~~‘H~

_{d V,}

qu’on

peut

écrire en tenant

_compte

de

_{l’équation}

fon-damentale

-

-La

_mécanique

ondulatoire définit seulement les

moyennes des diverses

grandeurs,

mais ne

_précise

_pas les valeurs des densités _{de moyennes.} On

_peut

toujours

ajouter à

une

_densité,

formée d’une certaine

manière,

une autre densité _{de moyenne}

_nulle;

l’observation atteint les moyennes et non _{pas les} densités.

_Or,

_{les y}

étant normalisés on a

la _{densité de moyenne de}

_{l’énergie peut}

donc être aussi

bien

_c~*H~

_que

(k

= constante

absolue).

(50)

Quelle

est la valeur correcte de la densité? Nous

avons un critère sûr _{pour la trouver dans le} cas d’un électron : cette

densité,

avec celles de la

_quantité

de

mouvement,

doit satisfaire à certaines lois de transfor-mation et de conservation. Il

_existe,

en d’autres

termes,

l’expression

est connue, et

qui

peut

donc nous donner des indications.

Considérons le cas d’un électron de Dirac de masse _m, en absence de

_champ;

on a

N

En

_multipliant

la

_{première équation}

_par

_>*ç,

et la seconde

_{par ç ,, (où ;}

est un

_opérateur

_quelconque).

et en

retranchant,

on a,

après

transformation

Cette dernière

_égalité

est valable

_quelle

_{que soit la} masse m donc _{aussi pour} un

_{photon m =}

0 ;

c’est une

équation

de continuité et l’on a

_{pour ’}

~ 1 :

Nous avons insisté ailleurs

₍₁₎

sur

_{l’importance}

des termes de la forme

que nous avons

_appelé

« termes

_{macroscopiques}

_{» ;}

cette

_importance

résulte du fait

_qu’ils

sont en

_rapport

étroit avec les

_composantes

du tenseur

énergie-quan-tité de mouvement. Dans

₍₅₃₎

nous _voyons appa-raître le terme

qui peut

s’écrire

et

_qui

a

_{donc, -}

à un facteur

_près,

- la

lJloyenlle que

l’éneî-gie

(!t3);

d’autre

part,

ce terme

joue

le rôle d’une densité

_d’énergie

dans

_{l’équation}

de continuité

_(59).

Nous

_pressentons

_{donc que la} densité

d’énergie que

nous cherchons sera de cette forme.D’autre

part,

la valeur

_qu’en

donne

_{l’expression}

_des compo-santes du

_{tenseur-énergie quantité}

de mouvement

₍₂₎

est

(1) Annales de _Physique; ~le _série, t. _{20, 1933,} p. 3!~7.

(a) Cf. par exemple l’expression donnée par L. INFELD ET v. DER

WAERDBN,

Sitzungsbenchte,

Berlin i933, IX.

c’est-à-dire la

_même,

à un facteur

_près.

Nous

pren-drons donc dans

₍₅₀₎

la constante

absolue k

_égale

à b It

et nous

_prencirons

la densité

_{d’énergie égale}

à

2 21t i et nous

prendrons

la densité g égale a

qui

ne diffère des

_{précédentes}

_{que par} le facteur cons-tant convenablement choisi.

Pour un

_photon

décrit par :

la densité

_d’énergie

est Il.

_’~.

Pour un autre décrit par

on aura :

densité

_{d’éne’rgie}

13. Discussion. -

_Comparons

les formules

₍₅₅₎

et

(47).

La densité

_d’énergie

calculée à

_partir

du

_champ

électromagnétique

est

_différente

de celle calculée à

partir

de la fonction d’onde du

_photon.

Leurs

inté-grales,

c’est-à-dire les

_énergies

sont

_{égales ;}

bien

_plus,

les densités

_{partielles 1 Ci}

₁

_et

_{1 C2}

_’f-2

~2

sont les mêmes dans les deux cas. Ce

_qui

diffère ce

sont seulement les densités

_{qui proviennent}

des

inter-férences entre les deux ondes

_planes,

le terme l’

donné par

(5X)

étant différent du terme

_simple

qu’introduit

la

_mécanique

ondulatoire,

et ne

_pouvant

se réduire à ce dernier.

Nous touchons ici la

_{difficulté fondamentale}

et,

croyons-nous,

qui empêche

une

_synthèse

conaplète

de

_{l’électrornagnétisrne}

et des

Nous avons réussi à déduire de la fonction d’un

_photon

dans

_l’espace

de

_{configuration,}

des

expressions

pour les

composantes

du

_champ

électro-magnétique.

Ces

_composantes

satisfont aux

_équations

de

Maxwell,

ont les lois de transformation

_requises

et donnent _{des valeurs correctes pour}

_{l’énergie ;}

_seule,

la

distribution

spatiale

de cette dernière

_(et

aussi natu-rellement des autres

_composantes

du tenseur

énergie-quantité

de

_mouvement)

_{n’est pas} en accord avec les

exigences

de la théorie des

_quanta.

Il semble difficile d’aller

_plus

loin. A vrai

dire,

la théorie que nous

avons

_{développée jusqu’ici}

_correspond

seulement à

l’approximation

de

_Schrodinger,

et il _{faudrait passer à}

l’approximation

de Dirac

_(ce

_que nous tenterons dans

.