TD n°4 : Physique des plasmas (session du 19/10/09)
Exercice 1 :
Complément ondes : relation de dispersion dans un plasma électron-positron
On considère un plasma froid, non magnétisé, homogène, globalement neutre constitué d’électrons
( )
e− et de positrons( )
e+ de densités à l’équilibre n0.
On négligera les collisions.En considérant des ondes transverses de faible amplitude, calculez la relation de dispersion de ces ondes.
Exercice 2 :
Théorie cinétique et amortissement Landau.
Partie 1 : Théorie fluide
a) En utilisant un modèle à deux fluides, établir la relation de dispersion d’une onde plasma longitudinale dans un plasma. Vous détaillerez les équations et les approximations utilisées. Vous démontrerez que la relation de dispersion est de la formeω2 =ωp2 + f
(
γe,k,vth) .
La théorie fluide ne nous permet pas d’obtenir la valeur de γe. Nous allons utiliser la théorie cinétique pour déterminer cette valeur.
Partie 2 : Théorie cinétique
Une onde plasma peut être amortie, même en l’absence de collisions, s’il y a un échange d’énergie entre l’onde et la particule (c’est le cas pour les particules qui ont une vitesse voisine de la vitesse de phase de l’onde plasma). Cet effet n’apparait pas dans le cadre de la théorie fluide. Ici, nous proposons de le mettre en évidence en utilisant la théorie cinétique.
On utilise les équations suivantes :
∫
=
=
∇
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
∂
fdv n
E
v f m
E q r v f t f
0
0 ερ
r r
r r r r
On considère une fonction de distribution des électrons à l’équilibre f0 telle que :
T k mv
B
e B
T k
f m 2
12 0
2
2
−
= π
b) On se limite à un problème à une dimension et on considère une petite perturbation :
1
0 f
f
f = + , n=n0 +n1, E0 =0 Linéariser les équations précédentes.
c) En cherchant des solutions de la forme ei(ωt−kx), établir la relation de dispersion :
( )
, =1+ 2 +∞∫
−1 ∂∂~0 =0∞
−
v dv f kv k k
D p
ω
ω ω avec
0 0 0
~ n f = f
d) Pour des particules telles quev<<ω k, développer la relation de dispersion et montrer qu’on obtient :
2 2 2
2 =ωp +3k vth ω
On rappelle que :
∫
y2e−y2dy= π 2e) Maintenant, on considère également les particules dont la vitesse v est du même ordre que la vitesse de phase vph =ω k de l’onde plasma. La relation de dispersion devient :
( )
, =1− 22 +∞∫
−1 ∂∂~0 =0∞
−
v dv f k v k k
D p
ω ω ω
On rappelle que :
k
v v
i f principale Partie
v dv f k
v ω
ω π =
+∞
∞
−
∂
− ∂
∂ =
∂
∫
− 0 0~ .
1 ~
Montrer que la partie imaginaire de la fréquence ω =ωR +ωi
(
où ωR et ωi sontrespectivement les parties réelle et imaginaire de ω
)
vaut :k v R
p
i v
f
k ω
ω ω ω π
=
∂
− ∂
= 2 0
2 ~
2
L’amortissement obtenu est l’amortissement Landau
