Dr Fouad BOUKLI HACENE
E P S T T L E M C E N A N N É E 2 0 1 5 - 2 0 1 6
2 ième partie: ONDES MÉCANIQUES
Chapitre 6: Généralités sur le
phénomène de propagation
Objectifs:
1. L’équation aux dérivées partielle
2. Les différentes solutions du problème
3. La notion des ondes incidentes et réfléchies 4. La notion de l’onde plane- L’onde sphérique 5. Quelques Applications,
Définitions:
L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans un milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de matière, comme le montre la figure 1.6
Figure 1.6 : Mouvement de la vague
L’onde mécanique se propage avec transport d’énergie,
Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée équation d’Alembert où encore équation d’onde décrite comme suit
2 2 2
2 2
V x
t
Ou est l’onde qui se propage dans la direction ox avec une vitesse constante V.
La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et non dispersif.
Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du milieu.
Elle varie d’un milieu à un autre
On définit la direction de propagation d’une onde dans l’espace tridimensionnel par le vecteur d’onde
) k
, k , k (
k
x y z
On définit la relation de la dispersion de l’onde par le rapport:
) V (
k
Il existe deux types de milieux :
Milieu dispersif et Milieu non dispersif :
Milieu dispersif :
o La célérité de l’onde dépend des caractéristiques du milieu et de la longueur d’onde, telle que:
dk Vg d
o Le signal de l’onde se compose d’un groupe d’ondes dont les fréquences se situent dans une bande très étroite.
o Dans ce cas, on définit la vitesse du groupe avec laquelle se déplace le groupe d’onde
Figure 2.6 : Propagation du paquet d’onde
Exemple
:Ce phénomène se perçoit par exemple dans l'air lorsque l'amplitude est importante (dans le cas du tonnerre, les ondes de haute fréquences se propagent plus rapidement que les ondes de basse fréquence, l'air est dispersif),
Milieu non dispersif :
o La célérité dépend uniquement des propriétés du milieu de propagation, telle que:
te V cons
k() tan
o Elle ne dépend pas de la fréquence, c’est le cas de la propagation des ondes sonores dans l’air, .
o C’est ainsi qu’on peut écouter de la musique sans déformation exécutée par un orchestre o Toutes les composantes d’un son, quelque soient
leurs fréquences, se déplacent à la même vitesse
Il existe deux types d’ondes :
Ondes longitudinale et Onde transversale,
Onde longitudinale
:L’ébranlement est parallèle à la direction de propagation, comme le montre les figures 3.6-a.et 3.6-b
Figure 3.6-a : Phénomène d’onde longitudinale dans les gaz
Figure 3.6-b: Phénomène d’onde longitudinale
Onde transversale
:l’ébranlement est perpendiculaire à la direction de propagation comme le montre les figures 4.6-a et 4.6-b
Figure 4.6-a: Phénomène d’onde transversale
de la corde
Figure 4.6-b: Phénomène d’onde transversale
Il y a des ondes qui ne sont ni transversale ni longitudinale comme par exemples les vagues comme le montre la figure5.6:
Figure 5.6 : Mouvement de la vague
L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes formes :
A une dimension : Mouvement le long d’une corde, d’un ressort.
A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau.
Figure 6.6 : Phénomène d’onde circulaire
Exemple: lorsqu’on jette une pierre sur une surface d’eau,
Les ondes mécaniques présentent une double périodicité :
La périodicité temporelle : caractérisée par la période t (s).
La périodicité spatiale : caractérisée par la longueur d’onde w (m).
Le phénomène de diffraction
est une des caractéristiques importante des ondes.
Il se manifeste lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture dont les dimensions sont du même ordre de
grandeur que la longueur d'onde,
Diffraction
Figure 7.6 : Phénomène de diffraction des ondes
Interférences
:On parle d'interférences lorsque deux ondes de même type se rencontrent et interagissent l'une avec l'autre
Figure 8.6 : Franges d’interférences
Effet Doppler
d'une source sonore en mouvement. L'effet Doppler est le décalage de fréquence d’une onde
(Onde mécanique, acoustique, électromagnétique, etc.) entre la source d’émission et le récepteur en mouvement et qui varie au cours du temps,
Figure 12.6 : Illustration de la variation
de la longueur d’onde en fonction de la vitesse
Modélisation mathématiques: Onde plane
Soit l’équation de propagation définit comme suit :
2 2 2
2 2
V x
t
C’est une équation aux dérivées partielles unidimensionnelles.
En utilisant la méthode du changement des variables :
V t x q
V t x p
Pour le premier terme de l’équation Au premier ordre, on a :
t 1 q
t 1 p t avec
q q
t p p
t
q p
t
Pour le deuxième ordre, on aura:
1 1 ]
2 [
2
t q
t p t avec
q q
p q
t p q
p p
q p
t
t t
t
q p p
p q
t q
2
2 2 2
2 2
2 2
De même pour le deuxième terme :
Pour le premier ordre, on a:
V x
q
V x
p x avec
q q x
p p
x 1
1
q p
V x
1
Pour le deuxième ordre:
V x
q
V x
p x avec
q q
p q
x p q
p p
q p
x x
x x
1 1 ]
2 [
2
q p p
q p
q
x
2
2 2 2
2 2
2 2
0
2
2
p q q
p
On obtient :
Cette équation admet des solutions suivantes:
0 ) (
0 ) (
0 0
2 2
q p p
q
p q
q
p
) ( ' q q F
:Ne dépend pas de p )
( ' p p F
:Ne dépend pas de q
2 )
( )
(
1 )
( )
(
2 1
k p
G p
k q
F q
D’ou la solution totale s’écrit sous la forme:
) p ( )
q
(
21
T
En régime sinusoïdal la solution s’écrit comme suit:
) (
)
( V
t x V G
t x
T
F
Les constantes d’intégrations s’annulent au point x=0 et t=0,
)]
( cos[
)]
( cos[
) ,
( V
t x V B
t x A
t
x
T
On obtient alors la somme de deux types de signaux qui s’écrit sous la forme:
Réfléchie V Onde
t x
Incidente V Onde
t x
) (
) (
2 1
Figure 15.6: Ondes réfléchies dans le sens contraire de la direction positive
Figure 14.6: Ondes progressives dans le même sens de la direction positive
L’équation de propagation à trois dimensions:
On décompose le vecteur d’onde
k
en trois composantes) k , k , k
( x y z sous la forme suivante : k 2 kx2 ky2 kz2
Figure 17.6 : Une onde plane à trois dimensions
On détermine les composantes suivant les directions:
Avec:
On somme terme à terme, on obtient:
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 2
k k
k z k
y
x x y z
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
k z k y k x
z y x
2 2
2 1
t
D’où
Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des variables :
22 2
t V
C’est une équation de propagation des ondes Equation d’Alembert
) ( ) ( )
( ) ( )
, , ,
( t x y z A x B y C z T t
V est la vitesse de propagation de l’onde
On remplace la solution dans l’équation aux dérivées partielles, On obtient alors:
t Cste
t T z C y B x A V
z
t T z C y B x A
y
t T z C y B x A
x
t T z C y B x A
2 2
2 2
2
2 2
2 2
) ( ) ( ) ( ) ( 1
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
D’où
t Cste t z T
C y B x V A
z z t C
T y B x A
y y t B
T z C x A
x x t A
T z C y B
2 2 2
2 2
2 2
2 2
) ) (
( ) ( ) 1 (
) ) (
( ) ( ) (
) ) (
( ) ( ) (
) ) (
( ) ( ) (
On divise chaque terme de l’équation par la solution Ψ, on obtient alors:
2 2
) (
) ] (
) (
) ( )
( ) ( )
( )
[ ( Cste
t T
t T x
C x C x
B x B x
A x
V A
) (
) ) (
( ) ] (
) (
) ( )
( ) ( )
( )
[ ( 2 k2 kx2 ky2 kz2
V t
T t T x
C x C x
B x B x
A x
A
Par identité, on identifie les équations différentielles suivantes:
0 )
( )
(
0 )
( )
(
0 )
( )
(
) ( )
(
2 2 2 2
t T t
T
z C k z
C
y B k y
B
O x
A k x
A
z y x
Ainsi que, les solutions sont déterminées comme suit:
t T
t T
t T
z k C
z k C
z C
y k B
y k B
y B
x k A
x k A
x A
z z
y y
x x
sin cos
) (
sin cos
) (
sin cos
) (
sin cos
) (
2 1
2 1
2 1
2 1
Soit une onde Ψ se propageant d’une manière sphérique dans un milieu à symétrie radiale avec
une vitesse constante V,
Ondes sphériques
Figure 18.6 : Onde sphérique
L’équation de propagation tridimensionnelle s’écrit:
22 2
t V
Pour un milieu ayant une symétrie radiale on a le rayon de la sphère r qui se calcule comme suit:
2 2
2
2
x y z
r
Alors, la solution ψ(x,y,z;t) ne dépend que de la variable r devient:
) , ( )
, , ,
( x y z t r t
Pour la première dérivée on a:
r r
x x
r r
x
De même pour la deuxième dérivée, on trouve:
2 2 2
2 2
2
1 1
1
1 1
r r
r r
r x r
r
x r r
r x r
x x r
r
r r
x x
x x
x
2 2 2
2 2
2 2
2
1 1
r y r
r r
r y y
On obtient pour la variable x:
De même pour la variable y:
De même pour la variable z:
2 2 2
2 2
2 2
2
1 1
r x r
r r
r x x
2 2 2
2 2 2 2
2
1 1
r z r
r r
r z z
On somme pour les trois directions, on obtient
r r
r r z
y
x
2
)
( 2
2 2
2 2
2 2
2
Après transformation on aura :
2 2( ) ) 1
( r
r r r
2 2 2 2
2( ) 1 ( )
t r V
r r
D’où l’équation de propagation :
r
En posant la nouvelle variable:
2 2 2 2
2
1
t V
r
On a obtenue une équation aux dérivées partielles
La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :
V ) t r
( V )
t r ( )
r , t
( 1 2
D’où la solution globale devient:
1 ( ) ( )
) ,
( V
t r V G
t r r F
t
r
On a deux types d’onde : Une onde sphérique incidente et une onde sphérique réfléchie
Le facteur représente l’amortissement de l’amplitude de l’onde sphérique incidente qui est due à la répartition énergétique de l’onde dans toutes les directions de la même manière.
r 1
Ce qu’il faut retenir!
L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans un milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de matière.
Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée équation d’Alembert où encore équation d’onde
La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et non dispersif. Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du milieu. Elle varie d’un milieu à un autre
On définit la direction de propagation d’une onde dans l’espace tridimensionnel par le vecteur d’onde .
Il existe deux types de milieux : Milieu dispersif et Milieu non dispersif
Il existe deux types d’ondes : Onde longitudinale et Onde transversale
L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes formes :
A une dimension : Mouvement plane le long d’un axe comme le mouvement d’une corde, mouvement d’un ressort.
A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau.
A trois dimension ; Mouvement sphérique dans toute les directions
