solides Chapitre 7: 2 partie: ONDES MÉCANIQUES

Dr Fouad BOUKLI HACENE

E P S T T L E M C E N A N N É E 2 0 1 5 - 2 0 1 6

Chapitre 7:

Ondes mécaniques dans les solides

2 ^ième partie: ONDES

MÉCANIQUES

Objectifs:

1. L’équation d’onde dans les solides 2. Les solutions du problème

3. La notion des ondes stationnaires-Conditions aux limites 4. Mouvement forcé-Modes propres-Résonance

5. Bilan énergétique

6. Réflexion et transmission-Conditions de continuité 7. Quelques Applications,



Définitions:

 On définit une propagation d’onde dans un milieu matériel comme étant une perturbation évolutive du milieu sous l’action d’une excitation.

 Puisque le milieu est constitué de plusieurs particules en interaction entre elles, les forces internes sont responsables du déplacement de la perturbation.

 Cette propagation dépend des propriétés physiques du milieu où l’onde se propage,

Figure 1.7: Propagation dans différents milieux

 Ondes élastiques dans les milieux discontinus

 On considère maintenant une chaine linéaire à un atome par maille de côté a.

 La position au repos du nième atome de masse m est comme le montre la figure 2.5

 Une onde mécanique longitudinale libre se propageant long de l’axe est caractérisée par

Figure 2.5 : Chaine d’atomes identiques

) ( kx t

Ae j ^{ }

On modélise le mouvement des atomes par un potentiel harmonique de type comme le montre la figure 3,7 avec k est la constante de rappel:

Figure 3.5 : Modèle physique équivalent de chaine d’atomes identiques

kx2

2 1

 L’équation de mouvement de l’atome du rang n s’écrit:

m

 k

2

0

 En posant la constante:

C’est une équation différentielle d’ordre 2

0 )

2

(

2

0

  



n

U U U

U ^{ } 

) (

)

( 

 





n

k U U k U U

U

m  

) (kx t j

n

Ae

U 

 Cette équation différentielle admet pour solution

a n x

 .

Avec:

 En remplaçant la solution dans l’équation différentielle;

On obtient la relation de dispersion:

 ^e

^e



k )  2  ( 

(

2





 ^kna 

k ) 2 1 cos

(

2

  

 D’où:



 

 



 

 

 



 

sin 2 sin 2

2 )

(

kna kna

k  



Avec:



 2 

Finalement la relation de dispersion s’écrit comme suit:



On constate qu’au dessus de la pulsation de coupure, l’onde mécanique n’est pas transmise; seules les ondes de pulsations inférieurs à la pulsation de coupure peuvent se propager le long du système mécanique considéré,

Un calcul identique appliqué au modèle électrique montre que la ligne électrique représentée sur la figure 4,5, ne transmet que des signaux de pulsations comprises dans l’intervalle:

Figure 4.5 : Modèle électrique équivalent

ap ind

c

L C

k 2

) (

0     

Le système est appelé un Filtre passe Haut

 Ondes élastiques dans les solides continus:

 Soit un barreau solide homogène, rectiligne et continu de faible section S dont une extrémité est fixé

sur un support rigide fixe.

On applique à l’autre extrémité une force de traction

à la longueur du barreau, on constate un allongement Δl

Figure 5.7 : Allongement due à la force de traction

 Les variations relatives:

) S ( F l f

l 



Présentent deux aspects fondamentaux

 Le premier est appelé le phénomène élastique, dans ce cas la, le barreau reprend sa longueur originale lorsque la force est supprimée, l’intervalle OA.

 Le deuxième aspect est représenté dans l’intervalle AB, appelé la zone non linéaire, à cet effet, même après la suppression de la contrainte, il existe un allongement résiduel ,

Figure 6.7: Comportement de la loi de Hooke

 Dans la zone élastique, le phénomène

est régi par la loi de Hooke comme suit

S

F E

1 l

l 



Où E est une constante propre au matériau, appelée le module de Young qui s’exprime en Newton par mètre carré,

S: est la section du barreau solide

On étudie des ondes longitudinales se propageant le long de l’axe xx’ dans un barreau solide indéformable, homogène et continue.

A cet effet, On considère un élément du barreau, de section S, de

masse volumique ρ, de constante de Young E, de longueur , et de masse comme le montre la figure 4,7

Les deux sections réparties sur les abscisses et

sont soumises respectivement aux forces de traction et .

dx dm

dx x 

x

) x ( F )

dx x

(

F 

Figure 7.7 : Déformation locale du barreau

 D’après la loi de HOOKE, la contrainte normale est exprimée en fonction de la déformation comme suit:

x SE U

) x (

F 

 

 L’équation du mouvement de l’élément s’écrit comme suit: ^dx

x dx ) F

x ( F )

dx x

( F t

Sdx U

2 2



 





 

 

est le déplacement subit au plan d’abscisse x par la force F(x)

est le déplacement subit au plan d’abscisse x +dx par la force F(x+dx)

) (x U

) (x dx

U 

 On obtient l’équation aux dérivées partielles,

 Une équation des ondes élastiques dans les solides

: est La vitesse de propagation qui dépend

Des caractéristiques macroscopiques des matériaux,

2 2

2 2

2 2

2 2

2

( , ) ( , )

x

t x V U

t

t x U x

U E

t U



 



 



 







 Pour une onde progressive plane

les solutions de l’équation aux dérivées

partielles sont de la forme:

U ( x )  U

e

Où est le module du vecteur d’onde

k _ V

 V  E

 On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du déplacement de l’onde:

) x ( U j

) x ( SEjkU t

) x ( U

x SE U

) x ( U

) x ( ) F

x (

Z ^ 



 

 



 

 Ainsi l’impédance en tout point x est calculée

comme suit:

Z ( x )  S  V  SZ

Où est appelée l’impédance caractéristique du barreau.

Elle ne dépend pas de la position du milieu, Zc

 Aspect énergétique:

 Lors du passage de l’onde; l’énergie cinétique d’une tranche élémentaire; de volume s’écrit:

)

2 ( 1

t Sdx s

dE



  

dE

Sdx d 

 L’énergie potentielle; calculée à partir des forces qui interviennent au moment du passage de l’onde:

)

2 ( 1

x ESdx s

dE



 

 En régime sinusoïdal :

 Les densités d’énergies cinétique et potentielle s’écrivent:

) (

cos )

(

V t x

U x

U   

) (

2 sin

1

0 2

V t x

dv U

W

 dE

   

) (

2 sin

1 _{2 2}

2 0 2

V t x

V U dv E

W_p  dE^p 

 

 Avec:

 V  E

)]

( 2 cos 1

2 [

1

0 2

V t x

dv U W dE

W

W







    

W

 La densité d’énergie totale moyenne de l’onde:

V dt t x

T U W

W W

T p

c

T [1 cos 2 ( )]

2 1 1

0

2 0







  

2 0 2

2

1 U

W_T 



 On calcule La puissance reçue au plan x

x SE U

x

F 

 

 ) (

V F p  .

 Avec:

t U x

SE U

p 





 

 D’où



) (

sin²

2 0 2

V t x

V U SE

p 

 

)]

( [ sin

2 0 2

V t x

VSU

p    

 La puissance moyenne de l’onde s’écrit:

dt T p

p

T





0

1

 D’où: p V_e ²U₀²S 2

1

 



:Est le flux d’énergie à travers la surface S perpendiculaire à est égale à la puissance mécanique véhiculée par

l’onde à travers cette surface,

e T

SV W

p 

 



Ve

 L’intensité est définit par la puissance moyenne par unité de surface s’écrit:

e T

V S W

I  p 

Mouvement ondulatoire dans une corde:

Soit une onde progressive qui se propage dans une corde libre représentée comme suit:

Figure 8.7 : La corde est au repos

 Modèle

 On considère une corde sans raideur, homogène, de masse linéique μ constante, tendue horizontalement sous une tension F.

 On définit la masse linéique:

 Les effets de la pesanteur sont négligés devant la tension de la corde

dx dm l

m 

 

 Par un léger choc, créons une petite perturbation transversale afin de ne pas déformer le câble et de maintenir la masse linéique constante,

 Isolons, dans la zone perturbée, un élément de fil, de longueur dl comme le montre la figure 6,7:

Figure 9.7: Mouvement transversal de la corde

 Hypothèses:

On considère les approximations suivantes:

 Chaque élément de la corde peut être découpé de façon infinitésimale de façon à être presque parallèle à l'axe x.

 Les angles sont donc considérés comme petits,

 La corde est considérée comme déformable mais non allongeable,

 La norme des forces dans la corde est constante en tout point quelque soit la déformation

 Le bilan des forces s’écrit:



Avec:

2 2

2 2

] sin

sin [

] cos

cos [

t dm y F

F

t dm x F

F

x x

dx x dx

x

x x

dx x dx

x



 





 



















 Ce qui signifie qu'il n'y pas de déplacements selon x, et représente l’accélération selon y.

 Si les angles sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement qui donne :

a

1 cos

tan sin







 

 dx dl

x x y

x

 On déduit:

[ F

 F

]  0

F F

F





2 2

] sin

[sin t

dm y

F



 



 



dl dm  

 D’autre part, on a:

 Avec

2 2

] sin

[sin t

dl y

F



 



  



 La déformation de la corde s’effectue perpendiculairement à la direction de propagation.

 Une telle onde est dite transversale et une description complète nécessite une représentation vectorielle de cette onde, le vecteur traduisant la déformation étant contenu dans le plan yz perpendiculaire à Ox.

2 2

x dx

x

t

dx y x ]

y x

[ y

F 

 



 









 Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction y(x):

2 2

] ) (

[ t

dx y x dx

x y

F 

 

 

 



2 2 2

2

x F y

t y



 



 

Il en résulte l’équation aux dérivées partielles:

2 2 2

2 2 2

2 2

2

x V y

t y x

y F

t y



 



 



 







 V F

avec 

 Elle se nomme "l’équation d’onde des cordes vibrantes".

 V: Est la vitesse de propagation de l’onde dans la corde qui dépend des caractéristiques du milieu μ, et de la tension de la corde,

 Elle ne dépend ni de la forme, ni de l’amplitude, ni de la fréquence de l’onde,

 Corde tendue : Ondes stationnaires

 Lorsque la corde est tendue par les deux extrémités, comme le montre la figure 10,7

 Dans ce cas la, on applique les conditions aux bords,

comme suit :

y ( x  0 , t )  y ( x  L , t )  0

Figure 10.7 : Modèle de la corde tendue

 On aura l’interférence des ondes incidentes et les ondes réfléchies, d’où l’apparition des ondes stationnaires. Comme le montre la figure 11,7:

Figure 11,7: Expérience de la corde tendue

 En utilisant la méthode des séparations des variables:

) ( ).

( )

,

( x t A x T t

y 

 On obtient:

2 2

) t ( T

) t ( T )

x ( A

) x (

V A    

 D’où la solution s’écrit comme suit :

) ( ) ( )

, ( sin

cos )

(

sin cos

) (

2 1

2

1 avec y x t A x T t

t T

t T

t T

V x A

V x A

x

A 

















 En appliquant les conditions aux limites; on aura:

x k A

x A

A a

x y

x y

sin

) (

0 0

) (

0 )

0 (

2 1



 









 Les longueurs d’ondes associées aux modes propres sont :

n a a

n

k

V

2

)

2 (

)

(

       





Figure 12.7 : Modes propres des ondes stationnaires

 On utilise les conditions initiales :

t cos

T )

t ( T donc

0 T

0 )

0 t

(

T    

 



 Ces solutions quantifiées obtenues en définissent les modes propres de la corde, vérifiant la solution:

1 2 )

(

cos

sin )

,

( x t k x t A B

y

 



 

)

;

( k



 Les cordes vibrantes sont des résonateurs à fréquences multiples,

 La mise en vibration peut s’effectuer par :

 Pincement (harpe)

 Percussion (piano)

 Frottements (violon)

 D’où, la solution finale s’écrit sous la forme:

1 2 1

)

(

cos

sin )

,

( x t k x t A B

y

n

n n

x

T

    





Figure 13.7 : Les cordes de la guitare

 Exemple:

 Excitation quelconque:

 La corde est à présent est soumise à Une excitation quelconque:

 La solution s’écrit:

) (

) (

) ,

( V

t x V G

t x F t

x

y    

 Qui doit satisfaire aux conditions aux limites:







 0 )

, (

0 )

, 0 (

t L y

t

y

( , ) ( ) ( )

V t x

V F t x

F t

x

y    

 Ce qui induit:

L n V

n

  











   







   





1 1

) (

sin(

) (

cos(

) (

) (

sin(

) (

cos(

) (

n

n n

n

n n

V t x n V B

t x n V A

t x F et

V t x n V B

t x n V A

t x F









 La solution s’écrit:

 D’où:

  







1

) cos(

) sin(

) sin(

2 )

, (

n

n

n n t B n t

L A n x

t x

y   

 







1

) sin(

) cos(

) sin(

2 )

, (

n

n

n

n t B n t

L A n x

n t

x

y ^    

Après dérivation par rapport au temps:

 En appliquant les conditions initiales:



















1 1

) sin(

2 ) 0 , (

) sin(

2 )

0 , (







n

n n

n

L x A n

n x

y

L x B n

x y

 



 Ces expressions représentent les développement En série de Fourier des fonctions de périodicité 2L

 Les coefficients d’intégrations se calculent comme suit:













 









 









 

 

L dx x n L

n x V n

A n

L dx x n L

n x B L

L

n n

L

n n

0 1

0 1

) sin(

2 )

1 sin(

) sin(

2 )

1 sin(







 







 Corde pincée:

 La corde est écartée de sa position d’équilibre, et lâchée sans vitesse initiale comme la corde de la guitare, (figure 112,7),

Figure 14.7 : La corde pincée

 Les conditions initiales spatiales s’écrivent:









 

L x

a a L

x h L

a x

a x h t

y







 0 )

, 0 (

 On obtient le premier coefficient:

0 )

( )

, 0

( x  A x  A

 y 

 Le deuxième coefficient est égale à:



 







 



 _L





B

L

a a

n ( ))

)(

sin(

) 1 sin(

0





 En intégrant par partie, on obtient:



 





 





 sin( )

) ) (

cos(

) sin(

)

cos( L

n a a

L n

L L

n a L

n a a

n L L

n a n

B_n h 













 Soit:

) )sin(

2 (

2

2

L n a a

L a n

B_n hL 

 





 On obtient les solutions générales pour tous les modes:

) cos(

) (

sin ) ) sin(

) ( , (

1

2 2

2

t L n

n x L

n a a

L a n

t hL x y

n

 





 



 Oscillations forcées d’une corde fixée à ses extrémités:

 Soit le dispositif ci-contre dit de « la corde de MELDE »

Figure 15,7: La corde de MELDE

 L’extrémité x=L de la corde est fixée et un opérateur impose en x=0 un mouvement transversal :

t a

t

y ( 0 , )  cos 

 Ce problème correspond à des oscillations forcées: après un régime transitoire où se superposent les oscillations libres amorties et les oscillations forcées à la pulsation ω ,

 Pour déterminer ce régime, on cherche une vibration y(x,t), fonction sinusoïdale du temps, de pulsation ω et vérifiant la condition aux limites.

y ( L , t )  0

Seul le régime forcé subsiste

 On peut à priori chercher y(x,t) comme onde stationnaire de la forme:

) cos(

] sin

cos [

) ,

( x t  A  t  B  t kx   y

 On applique les conditions aux limites:







 0 )

, (

0 )

, 0 (

t L y

t y













) cos(

0

cos ]

sin cos

[ cos











kL

t B

t A

t a























  n kL

A a B

2 cos

0

 On peut en conclure que le phénomène de résonnance se présente quand la fréquence de l’excitateur correspond à l’une des fréquences propres de la corde, alors l’amplitude maximale des vibrations tendant vers l’infini si:

kL  n 

 Impédance caractéristique:

 On définit l’impédance caractéristique Z de la corde par le rapport de la force transversale (dirigée suivant l’axe Oy) de rappel en abscisse x et la vitesse verticale de la corde en abscisse x, qui est s’écrit comme suit:

y y

v Z   F

Pour une onde plane progressive se propageant vers les x croissants, F(x,t):

) ( )

,

(x t F u V y

t x

u    

) (

) ,

( V

t x F t

x

y  

 En posant la variable:

u y t

u u

y t

y



 







 





u y V

x u u y x

y



 

 





 



 1

 On obtient:

 De même:

 Finalement, l’impédance mécanique s’écrit comme suit:

V F u

y u y V

F

t y

x F y v

Z F

y

y 



 

 



















 V F

Z   F^y 

 D’où:

 Réflexion et Transmission

 La figure 16.7 montre deux cordes ayant la même tension F et de masse linéaires différentes μ¹ et μ² raccordées au point x=0, appelé point de discontinuité^.

Figure 16.7: Modes de transmission et de réflexion d’une onde mécanique

 Lors du passage de l’onde mécanique incidente du milieu 1 vers le milieu 2, il existe une onde transmise vers le milieu 2 et

une onde réfléchie vers le milieu 1.

 Au point de discontinuité, on applique les conditions de continuité telle que:









 







 







 



 

















 x 0

t 0

x r

0 x i

t r

i

x ) t , x ( y x

) t , x ( y x

) t , x ( y

) t , 0 ( y )

t , 0 ( y ) t , 0 ( y

 Pour une onde incidente sinusoïdale transversale de faible amplitude aⁱ et venant de la gauche (région x˂0) de la forme :

) x k t

cos(

a )

t , x (

y



 

K¹ est le vecteur d ’onde dans le milieu 1 et K² est le vecteur d’onde dans le milieu 2 ,

 On obtient alors:















t 1 2 r

i

t r

i

k a a k

a

a a

a

 On définit les coefficients de réflexion R et

de transmission T:

i t i r

a T a

a R a





 Après calcul, On obtient :

2 1

1 02

01 01

2 1

2 1

02 01

02 01

T 2 k

k k T 2

k R k

k R k















 

 





 

 

 

 Commentaires : ^{et T 0}

0 R

0 R

2 1

2 1

2 1

2

1 











 





















CE QU’IL FAUT RETENIR !

 On définit une propagation d’onde dans un milieu matériel comme étant une perturbation évolutive du milieu sous l’action d’une excitation.

 Cette propagation dépend des propriétés physiques du milieu ou l’onde se propage

 La corde vibrante est le modèle physique permettant de représenter les mouvements d'oscillation d'un fil tendu. Étant tenue par ses deux extrémités, les vibrations se réfléchissent à chaque extrémité, il y a donc un phénomène d'onde stationnaire. On utilise dans ce cas les conditions aux bords.

 Ce modèle permet de comprendre les sons émis par les instruments à cordes,

 Lors du passage de l’onde mécanique incidente du milieu 1 vers le milieu 2, il existe une onde transmise vers le milieu 2 et une onde réfléchie vers le milieu 1. On utilise dans ce cas-là les conditions de continuités au point de séparation.