Remarque sur la propagation des ondes thermiques sinusoïdales dans un milieu hétérogène

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Remarque sur la propagation des ondes thermiques

sinusoïdales dans un milieu hétérogène

Maurice Parodi

To cite this version:

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REMARQUE

SUR LA PROPAGATION DES ONDES

_THERMIQUES

SINUSOÏDALES

DANS UN MILIEU

HÉTÉROGÈNE

Par MAURICE PARODI,

Sommaire. 2014 L’auteur

donne, sous forme de séries, la solution du _{système d’équations qui régit}la

propagation

de la chaleur dans un milieu _{hétérogène.}Les formules obtenues sont tout à fait semblables à celles que l’on rencontre dans l’étude de la propagation sur une _{ligne électrique.}

Nous nous

limiterons,

dans cette

_étude,

à l’examen d’un

_problème

à une dimension.

Le milieu conducteur est

_supposé

limité _{par deux}

plans parallèles

indéfinis formant une lame

d’épais-seur uniforme et d’étendue latérale très

_grande

_par

rapport

à

_{l’épaisseur.}

Nous

_prendrons

un axe Ox

normal aux faces et nous

_compterons

_positivement

les flux de chaleur dans la direction de cet axe.

La conductibilité

_{thermique k}

et la

_capacité

calorifique

y du milieu sont

supposées

être fonction

de la seule coordonnée x. En

_désignant

_parP

_{(x, 1)}

et 0

_{(x, 1)}

le flux de chaleur et la

_température

en un

_point

d’abscisse x,

au

_temps

t, les

_équations

de

propagation

s’écrivent

Supposons

que les fonctions P

(x, 1)

et 6

(x, 1)

soient des fonctions sinusoïdales du

_temps,

de

pulsa-tion on; cherchons à déterminer les solutions de ce

système.

Nous _{pouvons raisonner}comme en électricité et

représenter

P (x,

t)

et 0

_(x,

₁₎

_{par leurs}

_expressions

imaginaires

P

_(x)

et 0

_(x).

Ces fonctions

_complexes

satisfont au

_système

Cherchons des solutions de la forme

En

_remplaçant

dans

_(2),

il vient

ou

Écrivons

_queles deux

_premiers

termes des rela-tions

_{précédentes,}

ainsi _{que toutes les}

_parenthèses

sont

nulles;

on obtient

0,

et

_P1

se

_présentent

comme des _constantes,de valeurs d’ailleurs

_{arbitraires b,}

Les

_équations

successives nous donnent

et,

plus

généralement,

(3)

24

Ainsi

avec

On

_peut

remarquer que

On cn déduit

Ainsi,

AD-BC reste constant durant toute la

propagation;

comme _pour= _o, A = D =

i,

B = C = o; la valeur constante de AD-BC est

l’unité. Posons

.4 = S chI"’,

avec

il vient

formules

_{qui rappellent}

celles relatives à _la

propa-gation

des ondes

_électriques

sur une

_ligne

en

_régime

permanent.

Remarquons

que

fj 0

et

Po

représentent

la

tempé-rature et le flux de chaleur dans la face d’entrée de la lame.

Si l’on se donne le flux à l’entrée

_P.

et la

tempé-rature 0 de la face de

sortie,

la

_première

des

équa-tions

₍₆₎

où l’on

_remplace

0 _{par a et}où l’on fait x ~

1,

permet

de déterminer

_{0 0;}

cela

étant,

la distribution de la chaleur dans le milieu est

_parfaitement

connue.