Contribution à l'étude de la propagation des ondes ultrasonores dans un milieu hétérogène

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Contribution à l’étude de la propagation des ondes ultrasonores dans un milieu hétérogène

J. Cl. Loewenstein, M. L. Gaulard

To cite this version:

J. Cl. Loewenstein, M. L. Gaulard. Contribution à l’étude de la propagation des ondes ultrasonores

dans un milieu hétérogène. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1966,

1 (2), pp.101-108. �10.1051/rphysap:0196600102010100�. �jpa-00242690�

CONTRIBUTION A L’ÉTUDE DE LA PROPAGATION DES ONDES ULTRASONORES DANS UN MILIEU HÉTÉROGÈNE

Par J. Cl. LOEWENSTEIN et Mlle M. L. GAULARD,

Faculté des Sciences de Nancy, ^{École Nationale} Supérieure d’Électricité et de Mécanique.

Résumé. 2014 Cet article relate l’étude de la propagation d’une onde ultrasonore dans

milieu à structure granulaire lorsqu’on fait varier le rapport dimensionnel d/03BB du diamètre moyen des grains

^la longueur ^{d’onde à travers} le milieu. Le milieu hétérogène ^{utilisé est}

un

milieu artificiel simple constitué par des microbilles immergées ^dans

liquide. ^Différents

facteurs permettent de faire varier le rapport d/03BB, ^la fréquence ultrasonore, le diamètre des

billes, ^leur tassement, ^leur

spécifique, la célérité propre ^au liquide interstitiel, ^{la masse} spécifique ^{de ce} liquide.

Cette étude conduit aux résultats suivants : le rapport d/03BB ^{doit être} inférieur à une certaine

limite, au-dessus de laquelle l’atténuation provoquée par le milieu devient considérable.

L’examen de quelques considérations théoriques

permis ^{de retrouver ces résultats}

assimilant la structure complexe ^à

type ^{de modèle} permettant le calcul.

Abstract.

This article describes the study of ultrasonic

transmission in ^a granular

medium when the dimensional ratio d/03BB ^between grain diameter and the wavelength ^varies.

The heterogeneous ^medium utilized is an artificial medium composed by microballs immerged

in

liquid. ^Various parameters allow the ratio d/03BB ^{to be varied :} the ultrasonic frequency,

microball diameter, ^their packing, ^their specific mass, the natural velocity ^{of the} interstitiel

liquid, ^the specific gravity ^{of the} liquid.

We find that the ratio d/03BB ^{must be below}

^certain limit, above which the attenuation caused by the medium becomes considerable.

Examination of some theoretical considerations has permitted these results to be deduced

by comparison ^{of the} complex ^{structure with}

type ^{of model} permitting ^the calculation.

APPLIQUÉE 1, 1966,

INTRODUCTION

L’examen des travaux antérieurs relatifs à la

propagation des ondes ultrasonores dans les maté- riaux hétérogènes ^{à structure} granulaire ^{a attiré}

notre attention sur l’influence prépondérante ^de

deux paramètres : ^d’une part le ^diamètre moyen des

grains, ^d’autre part la longueur ^d’onde ultrasonore dans le matériau considéré. Nous avons alors jugé

intéressant d’étudier systématiquement l’influence de ces deux paramètres ^{sur la} propagation ^des

ondes ultrasonores avec un modèle commode de milieu hétérogène : ^nous reconstituerons un milieu

hétérogène artificiel à l’aide de microbilles immer- gées ^{dans un} liquide.

Une onde ultrasonore se propageant ^{dans un} milieu déterminé est caractérisée _par la perte

d’énergie qu’elle ^subit par unité de longueur ^de

milieu traversé, c’est-à-dire _par un coefficients

d’absorption, ^{et par sa} célérité : nous envisageons ^le problème ^{de ce double} point ^{de vue.}

I. Dispositif expérimental.

^{I.1. PRINCIPE DES}

MESURES.

Nos essais ont été effectués avec un

générateur ultrasonore du type

Métalloradar

de la Société ULTRASONIC, fonctionnant _par impul-

sions. Les transducteurs sont des céramiques ^au

titanate de baryum. L’appareil ^{est conçu} pour travailler soit _par transmission, ^soit par réflexion,

aux fréquences ^de 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 10 ^MHz.

Pour nos mesures, nous avons adopté ^{la méthode}

de sondage par transmission, qui requiert ^l’utili-

sation de deux transducteurs l’un servant d’émet- teur, l’autre de récepteur. ^Un oscilloscope permet de mettre en évidence le phénomène ultrasonore :

nous voyons apparaître ^sur l’écran de l’appareil ^à

la fois l’image ^du signal émis par la sonde émettrice

et l’image ^du signal ^reçu par la sonde réceptrice après que le train d’ondes ait traversé une fois l’échantillon (fig. 1).

FIG. 1.

Le signal ^de réception ^est caractérisé _par as

hauteur h et par ^son retard T _par rapport ^au signal

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:0196600102010100

102

d’émission. La hauteur h nous servira, pour chaque échantillon, ^à déterminer l’absorption : ^{h sera}

d’autant plus ^{faible que} l’atténuation produite ^par

le milieu traversé sera plus importante. ^{Le retard}

est mesuré par la distance D lue sur l’écran de

l’oscilloscope. ^{Celle-ci nous servira à mesurer la}

valeur des célérités selon le procédé ^{suivant :}

Soit un échantillon étalon d’eau distillée de lon-

gueur 1 ^{et dans} lequel ^{la célérité est} C1. La distance

entre le premier ^{écho transmis et le} signal ^émis

est D1. Les valeurs correspondantes pour ^un échan- tillon inconnu à étudier sont par exemple :

l - C2

D2. ^{Nous avons choisi} volontairement, ^et

pour simplifier ^{la même} longueur 1 dans les deux

cas. Un calcul simple ^{nous conduit à la relation}

suivante :

Connaissant donc C1, ^la célérité dans l’eau pure’

pour laquelle ^nous admettrons la valeur de 1 500 m/s, et mesurant D, ^et D2, ^nous pouvons ^en déduire la valeur de la célérité C2 dans l’échantillon étudié.

Par la suite, ^{nous ne ferons} que des mesures

relatives comparant l’absorption ^{et la} célérité du milieu inconnu à étudier à l’absorption ^et la célérité d’un milieu connu.

1.2. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL.

Ayant ^{à étu-}

dier des milieux composés de microbilles immergées

dans un liquide, nous avons dû résoudre le problème

de la cellule destinée à les recevoir. En raison des

exigences ^du remplissage

empilement ^{et tasse-}

ment des billes, ^absence indispensable ^{de bulles}

d’air

nous avons adopté ^le dispositif ^suivant ( fig. 2).

Fie. 2.

L’éprouvette ^{destinée à} recevoir le mélange ^billes- liquide ^{est une cuve} parallélépipédique ^{en dura-}

lumin dont les deux faces opposées ^sont percées ^d’un

trou de façon identique. ^{Les deux} transducteurs, appliqués ^sur l’éprouvette par ces orifices, ^sont

ainsi ^en contact direct avec le milieu billes-liquide

à étudier. L’épaisseur ^de l’éprouvette (épaisseur

effective de milieu sondé) ^{est de 2 cm : c’est le} degré élevé d’atténuation du milieu billes-liquide

qui ^{nous a contraint à} adopter ^cette dimension rela- tivement réduite.

Les billes étant supposées seules, ^non immergées,

le tassement peut ^être caractérisé par ^un

indice de vide » _e, qui ^{est défini} par le rapport :

e

volume interstitiel v/volume des nilles V.

Le volume du récipient ^{étant alors} égal ^{à :} Vr ^{= U} + V.

La détermination expérimentale ^{de l’indice de} vide, donc de la nature du tassement, s’effectue _par

une méthode simple ^de pesée. ^{Pour un} remplissage

sans tassement, quelle que soit la dimension des billes _que nous utilisons, ^{nous trouvons une valeur}

moyenne de 0,63 ; pour le tassement maximum _que

nous sommes en mesure de réaliser, ^{nous obtenons}

une valeur moyenne de 0,52. Signalons ^au passage que la valeur minimum théorique ^{est de 0,35 :}

l’écart important que ^{nous trouvons} par rapport ^à

cette valeur théorique provient ^de l’imperfection ^du

tassement et du fait _que les billes ^ne sont pas abso- lument calibrées ni sphériques [1].

1.3. PRÉSENTATION DES DIFFÉRENTS PARAMÈTRES ÉT1JDIÉS. -1.3.1. Paramètres liés aux billes.

Nous

avons utilisé des billes en verre.

Elles proviennent ^des Établissements SOVIREL

et elles ont les dimensions suivantes (diamètre, exprimé ^en mm) : 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; ^{0,7 ;} 0,8 ; 1,0 ; 1,2 ; 1,4. ^{Leur masse} spécifique, ^variable

selon les dimensions des billes, ^{à une valeur} moyenne de 2,90 g/cm3, ^avec des valeurs extrêmes de 2,68 ^à 3,13 g/cm3.

Ces microbilles de masses spécifiques légèrement

différentes sont sans doute aussi caractérisées par des célérités différentes. Cependant, ^{nous ne} pouvons pas atteindre directement les valeurs de ^ces célérités, précisément ^{à cause de cette structure} granulée.

Nous avons donc été contraints d’adopter ^les

valeurs fournies _par les tables de constantes ; ^c’est ainsi _que nous avons pris pour le verre une valeur moyenne, soit :

C

4 700 m/s.

1.3.2. Paramètres liés aux liquides.

^{Nous savons,}

que, dans toute transmission ultrasonore, ^{la valeur}

de la longueur d’onde de l’onde dans le milieu traversé joue ^{un rôle très} important. ^Cette longueur

d’onde h étant liée à la célérité C dans le milieu

par la relation bien ^connue 03BB

C/F (F ^{étant la}

fréquence ultrasonore), ^{nous avons cherché à}

employer ^des liquides ayant ^{entre eux} des célérités

aussi différentes _{que possible.} Nous avons ainsi été

amenés à utiliser les liquides ^{suivants :}

Ces liquides ^{étant tous} trois miscibles ^en toutes

proportions, nous avons étudié les différents types de mélanges possibles ^du point ^{de vue} transmission ultrasonore : nous avons ainsi été amenés à sélec- tionner le mélange alcool-glycérol, qui présente ^la particularité intéressante de voir ^sa célérité varier linéairement

fonction de la concentration

glycérol. Nous utiliserons donc _{par la} suite la série de mélanges liquides ^{dont les} caractéristiques ^sont

données dans le tableau ci-après :

TABLEAU 1

Du point ^{de vue de} l’absorption, nous avons pu vérifier _que l’absorption propre ^à chaque mélange liquide ^ne changeait pratiquement ^{pas d’une concen-}

tration à l’autre.

En examinant les mélanges alcool-glycérol ^étudiés précédemment, ^nous constatons que leur masse

spécifique ^{ne varie} pas dans de très larges propor-

tions ; ^aussi avons-nous cherché à utiliser d’autres

liquides possédant ^{des masses} spécifiques ^{très diffé-}

rentes. Après consultation des tables de constantes,

nous avons choisi les deux _corps suivants, ^le pen- tane (C5H12) ^et le tétrachlorure de carbone (CCI4),

dont ^nous indiquons ^les caractéristiques ci-dessous :

II. Résultats expérimentaux.

^{Toutes nos me-}

sures ont été effectuées aux deux seules fréquences

ultrasonores de 0,5 ^{et 1 MHz. En} effet, malgré ^notre

désir d’utiliser les fréquences supérieures ^{dont nous} disposions, ^{dès la} fréquence de 2 MHz nous nous

heurtions à des phénomènes d’absorption ^tels qu’il

nous devenait impossible de faire la moindre mesure.

Nous allons examiner successivement la méthode que nous avons employée pour présenter les résul- tats, puis les résultats eux-mêmes.

11.1. MODE

PRÉSENTATION DES RÉSULTATS.

Les mesures d’absorption ^et de célérité sont effec- tuées simultanément _pour

échantillon donné, ^en

notant à la fois ^la hauteur h de l’écho transmis ^et la distance D séparant l’écho transmis du signal

d’émission. La connaissance de la célérité à travers

l’échantillon considéré ^nous permet d’en déduire la valeur de la longueur d’onde dans ce milieu ; ^nous

pouvons alors déterminer le rapport entre cette

longueur ^{d’onde A et} le diamètre d des billes qui

constituent le milieu étudié. C’est ce rapport d/03BB

que ^nous portons ^en abscisse tandis _que ^nous portons

en ordonnée la valeur de la hauteur d’écho h corres-

pondante. ^Ce procédé ^nous permet de combiner directement les résultats d’absorption ^et de célérité

sur

même graphique. Les courbes h

f(d/03BB) ^se présentent ^{toutes sous} la forme suivante (fig. 3).

FIG. 3.

Dans tous les ^{cas nous} constatons qu’il ^se produit

une augmentation brutale de l’absorption (dimi-

nution de la hauteur h) lorsque ^le rapport d!/À dépasse ^une certaine valeur. Afin de _comparer les courbes ^entre elles, ^nous définissons une bande pas- sante, ^comme pour

amplificateur : c’est le rap- port dlÀ pour lequel la hauteur h de l’écho transmis

est égal ^à 0,707 fois la valeur maximum de la courbe.

11.2. RÉSULTATS CONCERNANT L’INFLUENCE DES

DIFFÉRENTS PARAMÈTRES.

Il.2.1. Influence ^du

tassement des billes.

Cette étude

été faite avec

des billes de verre dans de l’eau distillée. Nous

avons dit _que le tassement maximum correspondait

à un

indice de vide

de 0,52, ^déterminé expéri-

mentalement. Il semble difficile de faire varier ce tassement à volonté, ^{mais nous} pouvons obtenir facilement le tassement minimum, qui correspond ^à

un indice de vide de 0,63. ^{Nous nous} limiterons donc à l’étude de la transmission d’une onde ultrasonore pour le cas de ces deux valeurs extrêmes du tasse- ment :

indice de vide maximum : 0,63 ^aucun tassement, indice de vide minimum : 0,52 ^{tassement maximum.}

La fréquence ultrasonore utilisée _pour cette série de mesures est 0,5 MHz. Nous ferons ^une première

mesure de célérité et d’absorption ^{avec une} éprou-

vette remplie ^{de billes en verre de} 0,3 ^{mm de dia-}

mètre n’ayant ^{subi aucun} tassement ; ceci nous

104

donne un point ^{de la courbe sans} tassement ; puis,

les billes étant tassées au maximum après passage de l’éprouvette ^sur un secoueur pendant ^un temps suffisante ^{nous faisons une deuxième mesure de célé-}

rité et d’absorption, ^ce qui ^{nous donne un} point ^de

la courbe avec tassement maximum. Les autres

points ^{des courbes sont obtenus de la même façon,}

en utilisant successivement des billes de 0,4 ;

0,5

1,4 ^{mm de diamètre.} Nous donnons (fig. 4)

les deux courbes obtenues.

Il.2.2. Influence de la célérité _propre au liquide ^de

base des échantillons.

Les liquides ^{utilisés seront}

les 6 types ^de mélanges alcool-glycérol précédem-

ment décrits, qui permettent de faire varier la célé- rité de 1 200 à 1 700 m/s. ^Pour chacun de ces

mélanges ^{nous faisons une mesure de célérité et} d’absorption ^{avec les} différentes dimensions de billes de verre les unes après ^{les autres.} Nous faisons

toutes les mesures d’abord à la fréquence ^ultra-

sonore de 0,5 MHz, puis ^{à la} fréquence ^{de 1 MHz.}

Nous obtenons ainsi deux réseaux de courbes _que

nous reproduisons ^{sur les} figures ^{5 et 6.}

FIG. 4.

Influence du tassement des billes. Fréquence : 0,5 MHz. Billes en verre plongées ^{dans de} l’eau dis- tillée.

FIG. 5.

Influence de la célérité des liquides. Fréquence : 0,5 ^MHz.

Billes en verre plongées ^dans

mélange alcool-glycérol ^de célérité 1 200 à 1 700 ms.

A la fréquence ^{de 0,5 MHz, la} précision ^des

éourbes est très satisfaisante, ^{et nous constatons}

que la bande passante ^diminue légèrement quand ^la

célérité du liquide ^{de base} augmente, puisque ^le

rapport d/03BB qui ^définit la limite vers le haut de la bande passante, ^{varie de} 0,33 ^à 0,28 quand ^{la célé-}

rité des mélanges alcool-glycérol passe de 1 200 à 1 700 m/s. ^{A la} fréquence ^{de 1} MHz, par suite de la trop grande absorption ultrasonore, ^{nous avons dû}

nous limiter à l’emploi de billes de 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ^mm

seulement. Cela nous donne un nombre de points expérimentaux ^nettement insufl’isant, ^ce qui, joint

aux difficultés de remplissage pour les billes de faibles dimensions, ^fait que la précision des courbes

est bien moindre à cette fréquence. ^Nous pouvons dire _que la bande passante ^{suit le même sens de} variation _{que pour} les mesures faites à 0,5 MHz,

mais le rapport d/03BB qui ^{définit la limite vers le haut}

de la bande passante ^{varie dans de} plus larges pro-

portions puisqu’elle passe de 0,34 ^à 0,22 pour la même gamme de mélanges alcool-glycérol.

11.2.3. Influence ^{de la masse} spécifique ^du liquide

de base.

La masse spécifique ^des liquides ^utilisés

au cours des essais précédents variait, ^{selon les}

échantillons entre 0,81 ^et 1,14 g/cm3 : ^{cette varia-}

tion relativement _peu importante permettait ^de

considérer la célérité comme paramètre prépon-

dérant. Nous allons utiliser à présent ^{deux nouveaux} liquides, ^le pentane ^et le tétrachlorure de carbone,

pour lesquels ^le paramètre prépondérant ^{sera cette}

fois la masse spécifique. ^{Les billes} employées ^pour

cette série d’essais sont en verre, ^et la fréquence ^est

encore 0,5 MHz. Nous obtenons les résultats repré-

sentés par les courbes ci-dessous fig. 7).

105

h

divisions d’écran

1200 ^m/s

10

FIG. 6.

Influence de la célérité des liquides. ^Fré-

quence : 1 MHz. Billes en verre plongées ^dans

mélange alcool-glycérol de célérité 1 200 à 1700 ms.

La transmission est correcte seulement si d/X ^est

inférieur à 0,30 ^{dans le cas du} tétrachlorure, ^et

à 0,21 ^{dans le cas du} pentane. ^{La densité du} liquide

semble donc jouer ^{un rôle} important : ^{la trans-}

mission est d’autant meilleure _que la masse spéci- fique ^du liquide ^est plus ^élevée. Signalons ^au passage que l’expérimentation ^{relative au} pentane ^{nous a}

procuré quelques difficultés et qu’il ^est probable que le rapport critique d lÀ ^{soit en réalité} plus ^faible que celui _que nous avons obtenu.

III. Considérations théoriques.

^III.I. ÉTUDE

DE LA PROPAGATION D UNDE ONDE ULTRASONORE A TRAVERS UN MILIEU FEUILLETÉ.

Nous avons

essayé [2] d’assimiler ^{à un} milieu feuilleté composé

de couches alternatives et successives de matériau 1

et 2, ^{un milieu à structure} granulaire composé ^de grains ^de matériau 1 reliés ensemble à l’aide d’un matériau interstitiel 2. Essayons ^{de voir ce} que donne cette représentation ^{dans le cas} particulier

FIG. 7.

Influence de la densité du liquide. Fréquence : 0,5 MHz. Billes en verre.

où nous avons des billes immergées ^{dans un} liquide.

Soit alors un parallélépipède ^{de côtés dx,} dy, dz,

constitué d’un feuillet de solide d’épaisseur Il ^et

d’un feuillet de liquide d’épaisseur l2. ^Nous poserons par hypothèse ^dx = d, ^{d étant} le diamètre des billes.

Cherchons quelles ^sont les valeurs que ^nous devons donner aux épaisseurs 11 et l2 des deux feuillets _pour satisfaire aux conditions physiques ^{de notre milieu} [3].

En utilisant encore l’indice de vide _e, et en nous

souvenant que le volume total V

dx . dy . dz, ^doit

être égal ^{à la somme} des volumes respectifs ^{de solide}

et de liquide, ^nous obtenons les relations suivantes :

FIG. 8.

avec la condition L = l1 + l2

^d.

Chacun des deux milieux 1 et 2 étant caractérisé par ^{sa masse} spécifique pl ^et P2. ^et par ^sa célérité Cl

et C2, ^nous désignons par C la célérité dans le milieu feuilleté et par L l’épaisseur totale d’un

couple de feuillets solide-liquide.

106

Pour qu’il y ait propagation d’une onde longi-

tudinale dans un tel milieu, ^{nous écrivons} que ^sur chacune des surfaces de séparation ^{nous devons}

avoir continuité des vitesses et des pressions, ^ce qui

nous conduit à la relation suivante :

avec

Pour _que ^cette équation ^{admette une} solution, ^il

faut _que l’on ait :

Cette condition s’exprime ^{sous la forme d’une}

double inégalité :

avec

Il _y a propagation ^sans absorption quand ^la

double inégalité (2) ^est satisfaite.

Cette représentation permet ^de prévoir ^l’exis-

tence d’une bande passante. ^Il y ^aura propagation

sans absorption des ondes ondes ultrasonores

quand d ^{sera inlérieur à une} certaine valeur. Quand d dépassera ^cette valeur, ^il y ^aura impossibilité ^de propagation (absorption totale).

Nous distinguons ^{deux cas suivant} que la longueur

d’onde ultrasonore est grande ^{devant la dimension}

moyenne de la structure du milieu, ^{ou suivant} qu’elle ^{est du même ordre de} grandeur.

III.2. LA LONGUEUR D’ONDE ULTRASONORE EST GRANDE

DIMENSION NIOYENNE

LA STRUCTURE DU MILIEU COMPLEXE.

Quand ^la

dimension d devient petite devant la longueur

d’onde :

-

L’absorption ^{est nulle.}

-

Il est possible ^de prévoir ^la valeur de la célérité dans le milieu complexe ^en fonction des caracté-

ristiques des deux milieux constituants. En effet,

si pour simplifier l’écriture nous posons :

avec toujours 11 + l2

^L

d, ^{et si nous faisons}

tendre d vers zéro, ^{à la} limite, ^{nous obtenons} pour la célérité C du milieu complexe :

qui s’écrit, ^{en nous souvenant} que :

qui ^est justement ^{la relation} proposée par Urick [4]

pour ^une solution approchée ^{d’un tel} problème.

Les calculs faits _pour l’application ^{de cette for-} mule, ^{dans le cas} de l’étude à 0,5 MHz de l’influence de la célérité _propre au liquide ^{de base} des échan- tillons (§ 11.2.2.) ^{nous donne}

^{assez bon accord}

de la théorie avec les résultats expérimentaux.

Ces résultats sont reproduits dans le tableau 2.

Nous notons, après ^{examen de ce tableau} que tous les résultats fournis _par le calcul, ^{s’ils sont du}

même ordre ^de grandeur, ^{sont néanmoins} toujours

inférieurs

résultats expérimentaux ^{et nous}

remarquons que le principal ^terme agissant (qui ^est

aussi responsable de l’accentuation de la divergence

entre les résultats expérimentaux ^et théoriques)

est 1/E2, c’est-à-dire le coefficient de compressibilité

du liquide ^{de base,}

TABLEAU 2

Les mêmes calculs faits _pour les expériences ^cyon-

cernant l’influence de la masse spécifique ^du liquide

de base (§ 11.2.3.) conduisent aux résultats rassem-

blés dans le tableau 3.

Cependant si les résultats théoriques ^et expéri-

mentaux s’accordent ^assez bien, la variation de la célérité du milieu complexe ^en fonction de la masse

spécifique ^du liquide de base n’est _pas facile à

mettre en évidence, ^{car le} coefl’icient de compres-

TABLEAU 3

sibilité du liquide ^{de base} (qui intervient dans la relation (5)), ^{est fonction non} seulement de la masse

spécifique, mais aussi de la célérité du liquide ^{de base.}

III.3. LA LONGUEUR D’ONDE ULTRASONORE EST DU

MÊME ^ORDRE

^GRANDEUR QUE

^DIMENSION MOYENNE DE LA STRUCTURE DU

COMPLEXE.

- La bande passante que prévoit ^la représentation

d’un milieu feuilleté est limitée vers le haut quand

la longueur d’onde devient de l’ordre de grandeur ^de

la dimension _moyenne de la structure du milieu.

Dans cette région, ^{il est clair} que l’assimilation d’un milieu feuilleté à un milieu a structure granulaire ^n’est plus ^valable. Cependant, ^on peut espérer que les

différents paramètres caractérisant chacun des deux milieux constituants interviendront de la même manière _pour l’élargissement ^ou pour le rétrécicis-

sement de la bande passante. ^{Nous verrons donc}

rapidement l’influence des différents paramètres ^sur

la largeur ^{de la bande} passante ^{dans un milieu} feuilleté, ^{et nous} confronterons ^ces résultats avec nos résultats expérimentaux.

Pour l’étude de la bande passante, ^{la résolution}

graphique ^du système d’équations (3) ^{nous a donné}

les valeurs de d théoriques correspondant ^{aux diffé-}

rentes mesures que nous avons effectuées. Nous rassemblons dans le tableau 4 les résultats tléo-

riques ^et expérimentaux que nous avons obtenus.

TABLEAU 4

Nous _pouvons tirer de ^ce tableau les différentes constatations suivantes :

a) ^Nous retrouvons par le calcul le fait _que la

largeur ^{de bande} augmente ^avec le tassement ; ^nous vérifions aussi _que, lorsque ^{le tassement} passe du minimum au maximum (indice ^{de vide} passant ^de 0,63 ^à 0,52), ^la largeur ^{de la bande} passante n’aug-

mente que très peu.

b) ^{Les mesures faites sur} des billes de verre

immergées ^{dans des} mélanges alcool-glycérol, ^à 0,5

et 1 MHz, ^{nous montrent} que les valeurs théoriques

et expérimentales coïncident bien ^au début, lorsque

la proportion ^de glycérol mélangé ^{à l’alcool est} faible, ^mais que des divergences apparaissent puis

s’accentuent lorsque ^la proportion ^de glycérol aug- mente.

c) La variation de la masse spécifique ^du liquide

de base contribue ^à faire varier la bande passante

théorique ^{dans le même sens} que la bande passante expérimentale, ^{mais les valeurs sont} sensiblement différentes.

Comme _remarque générale, ^nous pourrons dire que le calcul donne toujours ^{une bande} passante

plus large que l’expérience ; ^d’autre part, ^{le calcul} permet ^{de vérifier} que l’influence des différents

paramètres ^étudiés joue ^{dans le même sens} que ^ce que nous avons constaté expérimentalement.

Conclusion.

En conclusion, ^on peut ^dire que la

propagation ^{d’une onde} ultrasonore dans

milieu à structure granulaire composé ^de micro-billes

immergées ^{dans des} liquides dépend, ^{dans une très,}

108

large ^{mesure, des} caractéristiques propres de chacun des matériaux constituant le milieu : diamètre et

densité des grains, ^{célérité et densité du} liquide, qualité ^du tassement. Les paramètres déterminants semblent être la longueur d’onde dans le milieu à structure granulaire (qui ^est elle-même fortement

dépendante de la célérité _propre au liquide ^inters- titiel), ^{et la dimension} moyenne d ^des grains. ^En effet, ^{notre étude nous a} permis d’établir, pour les différents cas que nous avons examinés _{que le rap-} port d/03BB ^{doit être inférieur à une certaine} limite,

au-dessus de laquelle l’atténuation produite ^{par le}

milieu devient considérable.

En ce qui ^{concerne la théorie, l’étude des milieux} feuilletés, ^à défaut d’une représentation géométrique

mieux appropriée, ^{a eu l’immense avantage de}

rendre compte ^utilement du rôle que pouvaient jouer, ^{sur la} propagation ^{d’une onde} ultrasonore à travers un milieu complexe, ^les différents paramètres

caractérisant chacun des matériaux qui ^{le cons-}

tituent.

Manuscrit _reçu le 23 février 1966.

BIBLIOGRAPHIE

[1] LOEWENSTEIN (J. C1.), ^Thèse Nancy, 1964, p. 10.

[2] ^GAULARD (M. L.), ^Ann. Physique, 1961, 6, ^n° 3-4,

427-466.

[3] LOEWENSTEIN (J. CI.), Ibid. [1], p. 59.

[4] ^URICK (R. J.), Appl. Phys., 1947,18, 983-987.