Partie I - Mesure de la célérité d’une onde ultrasonore Partie préliminaire PHYSIQUE

PHYSIQUE

Les différentes parties de ce problème sont dans une large mesure indépendantes. Seules les argumentations précises et concises seront prises en compte en réponse aux questions qualitatives.

Partie préliminaire

Un télémètre est un dispositif (figure 1) per- mettant de mesurer des distances.

Il est constitué d’un émetteur et d’un récepteur supposés petits et très proches l’un de l’autre. L’émetteur envoie à l’instant une impulsion qui, après propagation à la célérité et réflexion sur un obstacle, revient vers le télémètre et est détectée par le récepteur à l’instant .

• Déterminer la distance entre le télémètre et l’obstacle, en fonction des don- nées.

• Sur l’enregistrement de la figure 2 (où l’unité de temps est la milliseconde), sont visualisés le signal de commande de l’émetteur (signal ) et la réponse du récepteur (signal ), synchronisés sur la même origine de temps.

On donne .

Déterminer la valeur numéri- que de .

Dans ce problème, on se pro- pose d’étudier les caractéristi- ques d’un télémètre à ultrasons pour lequel l’émet- teur et le récepteur sont des lames de quartz possédant des propriétés piézo-électriques.

Partie I - Mesure de la célérité d’une onde ultrasonore

Soumise à une différence de potentiel sinusoïdale de fréquence , soit , une lame de quartz vibre et transmet son mouvement

télémètre émetteur

récepteur obstacle

Figure 1

c

t₂

L

1 2

c = 345 m s⋅ ^–1

t (ms)

Signal 1

Signal 2

t1 t2

Figure 2

f₀ = 40 00 kHz, U t( ) = U₀cos(2πf₀t)

Filière PSI

aux couches d’air environnantes ; la lame émet ainsi une onde ultrasonore sinu- soïdale, de même fréquence , que l’on suppose plane et qui se propage suivant l’axe avec la célérité . La lame de quartz est placée à l’abscisse . L’air est supposé non visqueux, de masse volumique au repos , de coefficient de compressibilité isentropique . L’influence de la pesanteur est négligée. À l’instant , la vitesse de la tranche d’air d’abscisse s’écrit :

.

La pression et la masse volumique fluctuent sinusoïdalement autour de leurs valeurs moyennes respectives (pression de l’air lorsqu’il est au repos) et , et se mettent respectivement sous la forme : et

.

I.A - Définir l’approximation acoustique.

I.B - Exprimer :

I.B.1) à partir de l’équation d’Euler, la surpression acoustique en fonc- tion de , et ;

I.B.2) à partir de l’équation de conservation de la masse, l’expression de en fonction de , et ;

I.B.3) une relation entre , , et .

On notera bien que les résultats demandés font intervenir les fonctions , , et non leurs dérivées.

I.C - En déduire l’expression de la célérité en fonction de et .

I.D - L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire , à la température . Déterminer la valeur de la célérité en fonction de , , de la cons- tante des gaz parfaits et du coefficient .

Application numérique : , , ,

. Calculer et la longueur d’onde de l’onde ultrasonore.

f₀

Ox c x = 0

ρ₀

χ_s 1

V---- ∂V

∂P ---

 

 

S

–

=

t x

v x t( , ) v₀ 2πf₀ t x c---

 – 

 

= cos

P ρ

P₀

ρ₀ P = P₀+p x t( , )

ρ = ρ₀+µ(x t, )

p x t( , ) ρ₀ c v x t( , )

µ(x t, ) ρ₀ c v x t( , )

χs ρ₀ µ(x t, ) p x t( , )

v x t( , ) µ(x t, ) p x t( , )

c χ_s ρ₀

M

T₀ c_GP c M T₀

R γ C_p

C_v ---

=

R = 8 314 J K, ⋅ ^–1⋅mol^–1 M = 29 0 g, T₀ = 293 K

γ = 1 40, c_GP λ

I.E - À l’abscisse , on place un récepteur qui délivre une tension élec- trique proportionnelle à la vitesse de l’onde ultrasonore en : on

peut donc poser . On

relève sur un oscilloscope les tensions et .

I.E.1) En déplaçant le récepteur, on constate que les tensions et sont en phase pour différentes valeurs de (figure 3).

On repère ainsi une coïncidence de phase des signaux et pour une certaine abscisse (coïncidence n° 0) ; puis on relève les abscisses des points où surviennent les nouvelles coïncidences : on note ainsi que la coïncidence n° 3 a lieu à l’abscisse tandis que la coïncidence n° 103 se produit

à l’abscisse .

Calculer la longueur d’onde de l’onde ultrasonore en justifiant le nombre de chiffres significatifs qui sera retenu. En déduire la valeur de la célérité de l’onde. En partant de cette valeur et en utilisant le modèle du gaz parfait de la question I.D, déterminer la température à laquelle l’expérience a été menée.

Citer quelques causes d’erreur qui peuvent entraîner une différence entre cette température et la température mesurée par un bon thermomètre.

I.E.2) On constate que l’amplitude de la tension diminue lorsque aug- mente. Justifier cette observation expérimentale (si plusieurs explications sont apportées, essayer de les classer par ordre d’importance).

Partie II - Effet piézo-électrique

On considère une lame de quartz, cylindrique, de sec- tion constante, d’axe (de vecteur unitaire ), dont les deux faces et en regard sont métallisées (figure 4).

La face est fixée à l’abscisse . Au repos, l’épais- seur de la lame vaut , et ses faces ne sont pas chargées. En présence de sollicitations extérieures (soit une différence de potentiel appli-

quée entre les faces, soit une force appliquée sur la face , soit les deux simultanément) :

U

et

O t

U_r U

Figure 3 x

U_r( )t

v x t( , ) x

U_r( )t = Gv x t( , ) U t( ) U_r( )t

U t( ) U_r( )t x

U t( ) U_r( )t x₀

x₃ = (2 6, ±0 1, ) cm x₁₀₃ = (88 9, ±0 1, ) cm

λ

c T

T T₀

U_r x

Face Face

U

O

F q

– q

x e+ξ Figure 4

B A

S Ox u_x

A B

B x = 0

e

U = U_A–U_B

F = Fu_x A

• l’épaisseur de la lame subit une petite variation avec et prend la valeur .

• les faces et acquièrent respectivement les charges et , réparties uniformément sur leur surface (il s’agit de charges réelles, libres, distinctes des charges dues à la polarisation du quartz).

L’état de la lame est alors caractérisé par le couple de variables . On sup- pose de plus que les vecteurs champ électrique , déplacement électrique et polarisation sont uniformes (colinéaires à l’axe ), dans la lame, et nuls à l’extérieur de la lame.

II.A - Polarisation électrique

On impose dans cette question (faces et fixées). D’un point de vue électrique, le quartz se comporte comme un diélectrique parfait de permittivité relative et l’ensemble {lame + faces métallisées} constitue un condensateur de capacité . On applique aux bornes de la lame une différence de potentiel constante , il apparaît respectivement des charges et sur les faces et , et un champ électrique dans la lame.

II.A.1) Donner les expressions des vecteurs déplacement électrique et polarisation dans la lame en fonction de , de la permittivité diélectrique du vide et de .

II.A.2) Établir une seconde expression de en fonction de , et . II.A.3) Donner l’expression de en fonction de , et .

II.A.4) En déduire la valeur de la capacité en fonction de , , et .

II.A.5) Application numérique : on donne ; ;

; . Calculer . II.B - Polarisation mécanique

En fait, le quartz, comme certains autres cristaux est piézo-électrique : une contrainte mécanique faisant varier l’épaisseur de la lame produit éga- lement une polarisation électrique dans le cristal. On impose dans cette ques- tion (faces et isolées). Une force appliquée sur la face , fait varier l’épaisseur de la lame de à et fait apparaître la polarisation dans la lame. On admet la relation linéaire ( désigne une constante positive caractéristique de la lame de quartz).

II.B.1) Quelle est la valeur du vecteur déplacement électrique dans la lame ? En déduire la relation liant et le champ électrique dans la lame.

II.B.2) Déterminer la différence de potentiel qui est apparue entre les faces et de la lame et la mettre sous la forme . Exprimer en fonc- tion de , et . Dans le cas général , les champs et potentiels des

ξ ξ «e

e+ξ

A B q –q

q,ξ

( )

E D

P Ox

ξ = 0 A B

εr

C

U₁ = U_A–U_B q –q

A B E₁

D₁

P₁ ε_r

ε₀ E₁

D₁ q S u_x

E₁ U₁ e u_x

C S e εr ε₀

ε_r = 4 5, ε₀ = 8 84, ×10^–12F m⋅ ^–1 S = 20 mm² e = 1 0 mm, C

q = 0 A B F = Fu_x A

e (e+ξ)

P₂ = P₂u_x P₂ = hξ h

D₂

P₂ E₂

U₂

A B U₂ = αξ α

h e ε₀ (q≠0,ξ≠0)

questions précédentes se superposent. De plus, une étude mécanique montre- rait une relation entre , et de la même forme. On admet donc pour la suite du problème les relations linéaires :

( et désignant deux constantes positives caractéristiques de la lame de quartz).

II.C - Aspect énergétique

II.C.1) Un opérateur applique la force sur la face , et un géné- rateur applique la différence de potentiel entre les faces de la lame. Exprimer, pour des variations élémentaires respectives et de et , la variation de l’énergie de la lame de quartz en fonction du travail fourni par l’opérateur et du travail fourni par le générateur. Exprimer ensuite en fonction de , , et .

II.C.2) La lame est initialement au repos , on pose dans cet état. Les faces et étant isolées, l’opérateur appuie lentement sur la face

pour faire passer l’épaisseur de la lame de à . Calculer l’énergie de la lame à la fin de cette déformation élastique supposée réversible, en fonc- tion de et .

II.C.3) Tout en maintenant l’épaisseur de la lame à la valeur précé- dente, on ajuste la différence de potentiel aux bornes de la lame de telle sorte que la charge de la face atteigne la valeur . Calculer l’énergie de la lame à la fin de cette seconde transformation en fonction de , , , et , puis en fonction de , , , et .

II.C.4) L’énergie est une fonction d’état des variables et , on admet que l’expression trouvée en II.C.3) est valable quelle que soit la transformation considérée. En déduire une nouvelle expression de et en déduire que

.

II.D - Application numérique :

on donne , .

II.D.1) Évaluer le produit . Quelle est sa dimension ?

II.D.2) Déterminer les valeurs de et obtenues lorsqu’on applique une dif- férence de potentiel entre les faces et de la lame en l’absence de contrainte mécanique .

F q ξ

U q

C----+αξ

= F = βq+kξ

β k

F = Fu_x A

U

dq dξ q ξ

dE_L δW_op

δW_G dE_L

F U dq dξ

q=0,ξ=0

( ) E_L = 0

A B

A e (e+ξ) E_L1

k ξ

e+ξ

( )

A q E_L

E_L1 q C α ξ k q C α ξ

E_L(q,ξ) q ξ

dE_L α = β

k = 1 7, ×10⁹ N m⋅ ^–1 α = 4 2, ×10⁹ V m⋅ ^–1 α²Ck^–1

ξ q

U = 15 V A B

F=0

( )

Partie III - Comportement dynamique des transducteurs (émetteur et récepteur)

III.A - L’émetteur

Lorsque la lame de quartz est soumise à une différence de potentiel variable , sans contrainte mécanique extérieure autre que le contact de l’air, on admet, dans toute la suite, que , et sont liées par le système d’équations :

Dans cette dernière équation, le coefficient est proportionnel à la masse de la lame tandis que est un coefficient positif .

III.A.1) Donner brièvement la signification du terme .

III.A.2) Déterminer l’équation différentielle reliant la vitesse à la différence de potentiel appliquée aux bornes du quartz en introduisant les quantités :

, (avec ), .

III.A.3) On suppose que est un échelon de tension d’amplitude , le cris- tal de quartz étant initialement au repos. Montrer que la solution de cette équation peut se mettre sous la forme :

et donner les expressions de et en fonction de et . On ne cherchera pas à déterminer la constante . Dans toute la suite, on pourra supposer

.

III.A.4) On définit le temps de réponse de l’émetteur comme le temps au bout duquel le signal est inférieur à 5% de sa valeur initiale. Exprimer . III.A.5) Quelle fonction de transfert complexe peut-on associer à l’équation différentielle de la question III.A.2, en régime sinusoïdal forcé de pul- sation ? On exprimera en fonction de , , et . Quelle est la nature du filtre de fréquences correspondant ?

U t( )

U t( ) q t( ) ξ( )t

U q

C----+αξ

=

md²ξ dt²

--- δdξ

---dt kξ αq

+ + + = 0

m

δ (δ>0)

δdξ ---dt

v t( ) dξ( )t ---dt

= U t( )

ω₀ k–α²C ---m k

m---

≈

= Q mω₀

---δ

= Q»1 H₀ –αC mω₀ ---

=

U t( ) E

v t( )

v t( ) Ae

t τ-- –

ω′₀t

( )

= sin

τ ω′₀ Q ω₀

A ω′₀≈ω₀

τE

τE

H( )ω = v U⁄

ω H H₀ Q ω₀ ω

III.B - Récepteur

Réciproquement, lorsque la lame de quartz est soumise à une onde ultrasonore qui impose à l’une de ses faces de vibrer à la vitesse , on recueille une diffé- rence de potentiel telle que, en régime sinusoïdal établi, on puisse écrire, en notation complexe : , où la fonction de transfert a une expression analogue à celle de la fonction de la question III.A.5) dans laquelle on a simplement remplacé par le coefficient réel et constant , les valeurs de et de étant les mêmes que pour l’émetteur.

III.B.1) Donner l’équation différentielle reliant et .

III.B.2) On considère un récepteur recevant l’onde émise par un émetteur sol- licité par un échelon de tension, de la forme :

.

Que devient l’équation différentielle précédente ?

III.B.3) On suppose que, dans cette question, est infini (pour l’émetteur et le récepteur). Vérifier que l’équation ci-dessus s’écrit :

.

Déterminer la constante telle que soit solution de cette équation.

III.B.4) La solution générale de l’équation obtenue en III.B.2) est assez compli- quée. On admettra que, pour suffisamment grand mais fini, cette solution peut pratiquement se mettre sous la forme :

avec les valeurs de , et trouvées précédemment. Déte- rminer la valeur de correspondant au maximum de l’ampli- tude de l’enveloppe de ce signal.

III.B.5) Application numérique : on a relevé figure 5 un tel

signal , l’unité de temps étant la microseconde.

v′( )t U′( )t

K( )ω =U'⁄v′ K( )ω H

H₀ K₀

Q ω₀

U′( )t v′( )t

v′( )t Be

t τ-- –

ω₀t

( )

= sin

Q d²U′

dt²

---+ω₀²U′ = K₀ω₀²Bcos(ω₀t)

U′₀ U′_∞( )t = U′₀ω₀ t sin(ω₀t)

Q

U′( )t U₀′ e

t τ-- –

ω₀ t sin(ω₀t)

≈

t (µs)

V'

Début du signal

0

Figure 5 τ U'

U₀′ ω₀

t₀ t

U′( )t

a) Évaluer l’ordre de grandeur de la fréquence et du facteur . b) On définit le temps de réponse comme le temps au bout duquel le signal

devient inférieur à 5% de sa valeur maximale. Évaluer en fonction de (une réponse à un seul chiffre significatif suffira). Comparer et (défini à la question III.A.4).

c) En admettant qu’avec une électronique simple, l’instant coïncidant avec le début du retour de l’écho est déterminé à près et qu’il n’y a pas d’autre source d’erreur, donner l’incertitude absolue sur la mesure d’une distance . On prendra . Commenter brièvement la précision obtenue.

Partie IV - Application à la télémétrie

IV.A - Le choix de la tension d’alimentation

En pratique, l’amplitude du signal reçu par le récepteur diminue lorsque la dis- tance télémètre-obstacle augmente (cf question I.E.2).Pour pouvoir mesurer de grandes distances, il faut augmenter la puissance transmise à l’émetteur. Pour y arriver, on l’excite périodiquement par des salves d’impulsions. La figure 6 représente une tension d’excitation comportant 3 salves de 4 impulsions (les échelles de temps ne sont pas respectées). On note la période des impulsions,

la durée d’une salve et la période des salves.

IV.A.1) Détermination de :

a) On considère la fonction de transfert complexe de l’émetteur établie à la question III.A.5 en régime sinusoïdal forcé. Déterminer le module en fonction de , , et . Pour quelle valeur de la fonction est-elle maximale ? Quelle est la valeur de ce maximum ? Entre quelles valeurs et de la pulsation, est-elle supérieure à

? Calculer en fonction de et de . b) Tracer l’allure de en fonction de la pulsation pour .

f₀ = ω₀⁄( )2π Q τR

U′( )t τR

τ τR τE

t₂ τ

L = 2 2 m, c = 345 m s⋅ ^–1

T₃ T₂

T₁

t

U t( ) Figure 6

E –

E

0

T₃

T₂ T₁

T₃

H( )ω = v U⁄

H = H H₀ Q ω₀ ω ω

H( )ω H_max

ω₁ ω₂ (ω₁<ω₂) H( )ω

H_max⁄ 2 ∆ω = ω₂–ω₁ Q ω₀

H ω Q = 25

c) Pour toute la suite du problème on choisit . Expliquer pourquoi la réponse en vitesse de la face de la lame de quartz au signal de la figure 6 est pratiquement la même (à un facteur près) que si les salves de durée étaient constituées de portions de sinusoïdes d’expression

(pour celle qui débute en ).

IV.A.2) Détermination de . On admet que le régime transitoire correspon- dant à la salve du signal débutant à , est de la forme :

Dans cette expression, est la constante de temps de la lame définie à la ques- tion III.A.3. Dessiner l’allure de l’enveloppe de ce régime transitoire dans le cas où , et (valeur qui sera conservée par la suite).

Pourquoi est-il peu intéressant de prendre ?

IV.A.3) Détermination de . Déterminer la valeur minimale de permet- tant de mesurer toutes les distances dans l’intervalle sans ambiguïté.

Calculer la valeur numérique de pour et .

IV.B - Le circuit d’alimentation

Les amplificateurs opérationnels utilisés sont considérés comme idéaux. Ils fonctionnent en régime de saturation. Les tensions de saturation en sortie sont

notés et .

IV.B.1) Oscillateur commandé : on considère le montage de la figure 7.

a) Déterminer la tension en fonction de , et .

f₀ ---

=

v t( ) A U t( )

4 π---

T₂ E sinω₀t

t = 0 T₂

U t( ) t = 0 v t( ) 4H_max E

---π

= 1 e

t – ---τ

 – 

 

 

ω₀t

( )

sin

τ

f₀ = 40 00 kHz, Q = 25 T₂ = 2τ

T₂>2 τ

T₁ T₁

0,L_max

[ ]

T₁ L_max = 10 m c = 345 m s⋅ ^–1

+E –E E( >0)

M

+ –

∞

⇔

e t( )

u₊( )t C 2R

u_-( )t R R R

E

s t( )

e s

M Figure 7

R

u₊( )t e t( ) s t( ) E

b) Fonctionnement en mode bloqué : on suppose . Montrer, qu’en régime établi indépendant du temps, la tension de sortie conserve toujours la même valeur que l’on déterminera.

c) Fonctionnement en mode multivibrateur : on suppose .

i)Montrer que la tension de sortie ne peut garder une valeur constante ( ou ) en régime établi.

ii)Déterminer l’équation différentielle liant à . On posera .

iii)On choisit l’origine des temps telle que et .

Résoudre l’équation différentielle et donner l’expression de pour . Que se passe-t-il à l’instant où ? Que se passe-t-il après ?

iv)Tracer soigneusement, pour une période du signal de sortie, les graphes de et .

v)En déduire la période de en fonction de .

IV.B.2) Générateur d’impulsions : on considère le montage de la figure 8.

a) On suppose que la tension est constante. Montrer le montage possède, en régime établi (indépendant du temps), un seul état stable, et donner la valeur de correspondante.

b) Déterminer, en régime variable, l’équation différentielle liant à . On posera .

c) On suppose qu’à l’instant , et que le régime établi est atteint. À l’instant , l’entrée bascule et prend la valeur . Déterminer la valeur de la discontinuité de la tension à l’ins- tant .

d) Déterminer l’évolution de à partir de cet instant.

e t( ) = –E s t( ) e t( ) = +E s t( )

E –E

u_–( )t s t( ) τa

2 3---RC

=

u_–( )0 E ----3 –

= s( )0 = +E

u_–( )t u_–( )t E ----3

<

u_–( )t₀ E ----3

=

u_–( )t s t( )

T s t( ) τ_a

M′

+ –

∞

⇔

e t( ) s t( )

e s

M′ Figure 8

E ----3 u t( ) R

C′ 2R

e t( ) s t( )

u t( ) e t( ) τm = 3RC′

t = 0^– e( )0^– = –E

t = 0 e t( ) e( )0⁺ = +E

u( )0⁺ –u( )0^–

( ) u t( )

t = 0

u t( )

e) La tension d’entrée est un signal rectangulaire symétrique prenant les valeurs et , de période . Tracer soigneusement sur le même graphe, pour et pendant une période de , les tensions , et . f) Donner la largeur des impulsions de sortie correspondantes en fonction de .

IV.B.3) Association des circuits précédents.

a) Montrer comment, en combinant en série un circuit de type , un circuit et un second circuit de type , on peut réaliser les salves décrites sur la figure 6.

b) Application numérique : on prend pour tous les circuits. Avec les

notations de la figure 6 on prend , et .

Déterminer les valeurs numériques qu’il faut donner aux différentes capacités ( pour , pour et pour ).

••• FIN •••

e t( )

+E –E T′

T′ = 10 τ_m e t( ) e t( ) u t( ) s t( ) T₂′

τm

M₁ M

M' M₂ M

R = 1 0 k, Ω

T₁ = 60 ms T₂ = 0 40 ms, T₃ = 25 ms

C₁ M₁ C' M' C₂ M₂