Ondes et photons - III. Approximation de Dirac

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Ondes et photons - III. Approximation de Dirac

Al. Proca

To cite this version:

ONDES

ET

PHOTONS

III. APPROXIMATION DE DIRAC

Par AL. PROCA.

Institut _{Henti-Poincaré,} Paris.

Sommaire. 2014 L’auteur développe sous sa forme exacte la théorie de la lumière, amorcée dans deux articles _{précédents (J. Phys.,} 1934, t. 5, p. 6 et 1934, t. _{5, p. 122).} Il montre _qu’étant donnée une onde de lumière _quelconque, on _{peut toujours} lui associer un _{corpuscule ayant} une loi de mouvement déterminée et dont l’état est fixé par la structure de l’onde. La masse au repos de ce corpuscule est nulle et ses fonc-tions d’onde satisfont aux _{équations relativistes de Dirac pour} ce cas _particulier. Ce _corpuscule diffère donc du _{photon expérimental par la valeur de} son _{spin, qui} est _h/403C0; c’est donc, d’après M. L. de _Broglie,

un neutrino.

La correspondance entre le champ électromagnétique de l’onde et les fonctions d’onde du neutrino,

s’obtient en _{faisant usage de l’opérateur}

_{demi-gradient,}

dont il a été question dans les articles cités. L’au-teur en donne _{l’expression} exacte. Il étudie ensuite la manière dont les _{caractéristiques} de la lumière influent sur les états du _corpuscule associé. On constate _que si le _corpuscule se trouve dans un état bien déterminé d’énergie W et de _quantité de mouvement p, q, r, l’onde lumineuse correspondante est polarisée

circulairement dans un sens bien déterminé. Si le corpuscule se trouve dans le même _{état p, q,} r, mais

avec

_l’énergie

_négative 2014

W, l’onde lumineuse sera _{polarisée circulairement,} comme _{précédemment,} mais dans le sens _oppo,é. Le

_signe

de

_l’énergie

du _{corpuscule indique} le sens de _{rotation de la lumière}

correspon-dante, ce _{qui permet} une _{interprétation} intuitive des états _{d’énergie négative} d’un _corpuscule non _chargé

du _{type précédent.}

,

PREMIÈRE

PARTIE

1. Introduction. - Nous avons examiné

_jusqu’à

présent

deux formes

_{approximatives}

d’une

_mécanique

quantique

des

_photons.

Nous considérons le mouvement d’un

_photon

comme

décrit en

_mécanique

_{ondulatoire par}

_{l’équation}

fonda-mentale d’une

_particule

de masse et de

_charge

nulles et

en absence de tout

_champ

extérieur. Le

_problème

con-siste à calculer à

_partir

de la fonction

_{d’onde ~}

de ce

corpuscule,

les

_{champs électromagnétiques}

de la

lu-mière

_qu’il

est censé

_{représenter.}

Avec cette

_hypothèse

de

_départ,

le calcul exact doit se faire en

_partant

des

équations

de Dirac pour m, = 0.

Ces

_équations

_que nous écrirons

en

_employant

la notation des

_{spineurs (1),}

nous fourni-ront deux

_{spineurs ~~}

et

Dans

la théorie que nous

développons

le

_{champ électromagnétique}

est un

_champ

(1) Pour tout ce qui concerne le calcul des _spineurs on _peut

consulter l’article de D. LAPORTE et G. E. UIILEXBECK publié dans

Physical Review ~1934, 37, p. 13~0; pour faciliter la tâche du lecteur nous avons _gardé les notations employées par ces auteurs. Voir aussi B. L. VAN DER WAERDEY, Ges. Wiss. _Gottingen, 1929, ainsi que l’ouvrage intitulé : Die _{gruppentheoretische} Methode

in der _{Quantenmechanik, Springer}

_1932;

L. INFELp et B. L. VAN DER

Die _{Wellengleichung} des Electrons in der _allgemeinen Relativitâtstheorie Berlin 1933; G. MIE, Ann. der _PhYSlk,

1933, t7, p. ~60; en _français on _peut consulter un article de J. _SOLOMOIR, J. de _Phys., 193 t, t. 2, p. 3z1.

du

_type

,b : il se déduit de

_")0-,

_{Â, par l’application}

d’opé-rateurs convenables.

_Or,

étant donné le caractère de

variance de

_~~~.,

_1.).,

il

_faut,

_pour

_parvenir

_{à des} gran-deurs se transformant comme les

_èomposantes

d’un

champ électromagnétique,

que ces

_opérateurs

soient

également

des

_spineurs.

Le

_principe

fondamental

em-ployé

pour trouver ées

_spineurs

est la «

décomposi-tion » convenable du vecteur

_gradient

c’est-à-dire l’obtention de certains

_opérateurs

se trans-formant comme des

_spineurs

et _{tels que les} composan-tes de

_(1’)

soient des fonctions

_quadratiques

convena-bles de ces

_opérateurs.

Avant

_tout,

nous devons donc réaliser d’une

_façon

tout à fait

_générale

une

_{pareille décomposition.}

2.

_{Décomposition générale}

du vecteur gra-dient. - Dans un

_précédent

article

_(J.

_Phys.

t934, 5,

p.

121)

que nous

_désignerons

_{dorénavant par Ondes} et

photons

II,

nous avons réalisé cette

_{décomposition}

au

moyen d’un seul

spineur us;

nous avons vu _{que cette}

solution ne

_pouvait

être

_générale,

résultat

_qu’on

pou-vait d’ailleurs

_prévoir.

_{Il faut donc essayer} d’obtenir cette

_{décomposition}

au _{moyen de deux}

_{spiîteurs a,, b.}

de

_composantes

et

La théorie de Dirac nous

_permet

d’écrire

ment les

_{équations qui}

définissent cette

_{décomposition.}

En

effet,

soit

_’L

une fonction d’onde de

_Dirac,

représen-tant comme à l’ordinaire l’ensemble des deux

_spineurs;

on

_sait,

on

_peut

former 16 covariants

quadra-tiques

de la forme

1*g,§,

, où

est un des 16

_produits

indépendants

formés avec les

_{j,. (~~=1, ~,}

3,

_4).

Parmi ces 16

_opérateurs

il y a _{deux groupes de}

_quatre

se transfor-mant comme un vecteur

_d’univers,

à savoir : le courant

et ce

_qu’on

_{peut appeler}

le «

_spin

»

Il semble donc

_{qu’on puisse}

relier de deux manières différentes les

_composantes

d’un vecteur d’univers et les deux

_{spineurs qui}

le «

_décomposent

» : on

_peut

se

donner soit

_{les jr}

soit les

_Sr,

et calculer

_~.

_Or,

il est

facile de voir

_qu’il

n’en est rien et

_qu’une

seule de

ces’

manières de

_procéder

est

_acceptable.

Pour cela il faut considérer le cas

_général

d’une

par-ticule matérielle

₍₁₎

de masse m.

Dans ce cas on a :

ce

_qui

signifie

en

_particulier

et

où

Si donc nous cherchons à

_décomposer

le vecteur

do,

d~, ~3,

il faudra tenir

_compte

_que l’on aura

_toujours

(pour

les fonctions sur

_lesquelles

on

_opère)

Le vecteur d-uiiivers

ô,

est donc un vecteur

or, de

(2)

et

(3),

seul

(3)

est un vecteur

_d’espace

_(2).

Il ne nous reste donc

_{plus qu’une}

seule

_possibilité

de

_{décomposition,}

que nous allons

_préciser

dans ce

qui

suit.

Soient

_{ôo, 6t. 62, Ô3 quatre}

réels formant les

composantes

d’un vecteur d’univers covariant.

Ecri-vons le

_spineur

_qu’on

_peut

lui faire

_correspondre

d’après

v. der Ni’aerden

₍₃₎

sous la forme

(1) Cas que nous examinerons en détail dans un autre article.

(2) Nous avons insisté sur cette caractéristique dans un

ar-ticle des Annales de _{Physique 1933,} 20, p. 347.

(3) CL LAPORTE E’t L HLENBEGB,

Phys.

Rev., ’1931,

37~

1552.

Soient _{ai, a~} et

_bi,

_b2,

les deux

_spineurs

en

_lesqnels

on

_décomposera

_(5);

_{prenons alors le}

_{spineur qui}

correspond

au vecteur «

_spin

»

S,

_(au

lieu de

_prendre

celui

_{qui correspond}

au « courant

»),

et posons

La condition

₍₄₎

s’écrira alors

soit encore

Les

_{équations (6)}

et

₍₈₎

_{représentent}

la

décomposi-tion

_générale

du vecteur

èo,

d1,

à~, ô3,

adaptée

au cas

d’une

_{particule quelconque}

de masse m.

satisfaisant

à

l’équation

de Dirac.

Nous examinerons

_{prochainement}

la solution

géné-rale ;

bornons-nous pour l’instant au cas _{où l’on}

sup-pose

m = o,

donc k = 0. ’

Laissons de côté les solutions

_symétriques

_(telles

que celles que nous avons _{données pour}

l’approxima-tion de Pauli

_{(voir (1)}

Ondes et Photons

₁₁₎

et

bornons-nous à une forme de solution

_simple.

On déduit de

_(8),

pour k

= 0 la solution

possible

Les ar

et bs

sont

_{proportionnels.}

On déduit des

équa-tions

₍₆₎

et de

₍₉₎

donc

Si les

_{ar, bs}

satisfont à

₍₁₁₎

il suffira

_qu’une

seule des

_équations

₍₆₎

soit _{satisfaite pour que les autres} le soient

_{automatiquement;}

_{prenons par}

_exemple

la

première

- , . ,. ~,

Posons

il faut que

159

ce

_{qui exige}

_que

;,

a, ~i

étant trois arbitraires.

En fonction de ces trois arbitraires nous _pouvons

donner la solution de la

_{décomposition (6),}

à savoir

qu’on

peut

encore écrire

Ao, Bo

étant deux

_arbitraires,

non nuls et satisfaisant

à

_l’unique

condition

_{(1) :}

Ce sont les formules

₍₁₆₎

que nous

_prendrons

comme

point

de

_départ

sans nous

_préoccuper

de la

_façon

dont

elles ont été obtenues.

Nous y

remplacerons

les nombres

_ôr

_{par les}

opéra-teurs

_{correspondants,}

reliés linéairement aux

compo-santes du vecteur

_gradient

d’univers et nous donnerons aux

_symboles

V Oit

le sens sur

_lequel

nous avons insisté dans Ondes et Photons 1 et II. De

_plus,

comme

précé-demment,

nous admettons que les arbitraires

Ao

et

l~o

sont des îtombï-es

_(complexes).

(1) Plus _{symétriquement} on _{pourrait prendre} une autre solu-tion

les _A’o, B’", étant deux arbitraires non nuls, soumis à la même condition que les Ao, Bo

Par leur forme (18) se _rapprochent des formules ₍₁₃₎ de Ondes et Photons, 11; mais ni A’~~, ni B’o ne _pouvant être _nuls, on voit que cette solution II ₍₁₃₎ ne _peut en aucun cas être considérée

comme un cas particulier de (18). L’emploi de ces formules _(1S)

exige cependant des _précautions sur _lesquelles nous reviendrons.

3. Calcul des

_{champs. -}

En

_possession

des

spi-neurs _ar,

_bs

cl’une

part, q;,¡,

X,. d’autre

_part,

nous devons

les combiner de

_façon

à obtenir des

_composantes

se

transformant comme celles d’un

_champ

électromagné-tique.

Ici

_aussi,

la structure des covariants

_quadratiques

delà théorie de

_Dirac,

formés à

_partir

des

_{spineurs qui}

constituent les fonctions

d’onde,

nous sera d’un

_grand

secours. Nous savons, en

_effet,

_que

_parmi

ces

cova-riants

_quadratiques

il existe un seul tenseur

antisymé-trique

du second rang, à savoir

Désignons

par p l’ensemble des deux

spineurs

ar,

bs,

comme nous

_désignons

en théorie de Dirac

_{par ,§}

l’en-semble des deux

_spineurs

_~~,

1./..

Dans ces conditions les

_grandeurs

et aussi

se transforment comme un tenseur

_{antisymétrique}

du second rang;

(19)

sont des

_composantes

_réelles,

₍₂₀₎

et

(21)

ne le _{sont pas.} Il faut donc

_prendre

soit _leur

par-tie réelle

soit la

_{partie imaginaire}

Traduisons ceci en

_langage

des

_spineurs.

Le

_spineur

du _{second rang associé à} un tenseur

_{antisymétrique}

ordinaire est un

_spineur

_symétrique,

ainsi _que nous

l’avons

_{déjà rappelé}

(v. Ondes et

_{photons II).}

On

trou-ve comme

_spineur

associé aux

_{précédents,}

soit

soit

Mais, puisque

ar contient un facteur arbitraire de la forme

_{e- i Y.,}

la forme

₍₂₅₎

contient

_{implicitement}

la forme

₍₂₄₎

et il est inutile de faire la distinction.

Nous allons donc

_prendre

_hypothèse

conU1/e

spineur

définissant

le

_{champ électromagnétique :}

et les

_composantes

du

_{champ proprement}

dit sont les

grandeurs

réelles déduites de

₍₁₎

Les

_{~~, "lÀ}

satisfont aux

_équations

de Dirac

4.

_Equations

de Maxwell. - Les

composantes

(28)

ou

₍₂₇₎

du

_champ

ainsi défini se transforment

correctement;

de

_plus,

elles satisfont aux

_équations

de

Maxwell. En effet celles-ci

s’écrivent

_{(2) :}

et l’on a, à cause de la commutabilité de

_{a,,, bs}

Le second _{terme ainsi que le}

_quatrième

sont nuls en

vertu des

_équations

de Dirac

_{(1) (on}

_remplace

la seconde

équation

(1)

par sa

_complexe

_conjuguée).

Les termes

_qui

restent,

le

_premier

et le troisième

s’écrivent,

en tenant

compte

de

_{(6) :}

et ils sont nuls à cause :

1° De l’identité fondamentale du calcul des

_spineurs

et 2° _{du fait que :}

en vertu de

_{(9) (solution possible).}

5. Détermination du

_{champ. -}

Le

_champ

que

nous avons défini _{par le}

_spineur

satisfait donc aux

_équations

de Maxwell. Tout autre

champ

déduit du

_précédent

_par

_{multiplication}

avec un

facteur scalaire satisfait aux mêmes

_{équations ;}

ce

fac-teur ne

_peut

être fixé _{que par} une sorte de

normali-sation des

composantes.

Mais il y a d’autres arbitraires

dans

_{l’expression}

de ce

_champ.

Décrivons le

_photon

_{par deux}

_{spineurs ~~}

et

_1."

_que

nous _{supposons normalisés. Il est clair d’abord que} les

fonctions

et

(1) Cf. LAPORTB et _UHLBNBECK,

_Phys.

Rev. 193i ; 37, p. 1380.

(2) LAPORTE et _UHLENBECK, 10C. Cit.

décriront la même

_particule.

Dans le cas

_particulier

d’un

_{photon (m}

=

0)

x

_peut

être différent

_{de fi,}

à

l’en-contre de ce

_qui

se _{passe pour} un

_électron;

en effet les

équations

sont :

et

_{l’expression}

à normaliser ne _{contient pas les}

phases.

Or,

les

_opérateurs

_ar,

_bs,

contiennent

_également

erc

facteur

deux

_phases

arbitraires

_{(cf. (15)) ;}

ces

deux

_phases

_{n’augmentent}

_{donc pas} l’arbitraire

qu’in-troduit la définition du

_photon

_{par les deux fonctions}

XI fournies

par la

mécanique

ondulatoire.

En

_plus,

les

_opérateurs

_ar, introduisent un autre arbitraire par les

quantités

qui

apparaissent

en facteur

dans ar

et Cet arbitraire

pourra être fixé par la condition de normalisation des

composantes

du

_champ.

_Remarquons

à ce _{propos que}

dans le cas

_qui

nous

_préoccupe

_(particule

de masse

nulle)

les

_équations

de Dirac

₍₁₎

elles-mêmes

compor-tent un arbitraire de ce _genre, c’est-à-dire

_qui

_{n’est pas}

simplement

un facteur de

_phase.

En

effet,

à cause de m =

_0,

si

~~, X).

satisfont à

_(1),

y satisferont encore, C et

_{D pouvant}

être des nombres

_(complexes)

_différents.

La condition de

nor-malisation ne _{fixe pas les}

_{phases qui}

restent

quelcon-ques, comme

_toujours;

mais cette condition

_unique

ne

peut

fixer en

_général

_qu’un

seul des modules de Cet

_D,

l’autre restant arbitraire.

La

_question

doit être traitée à

_part;

voyons d’abord comment interviennent les

_{arbitraires ç, a, p}

dans un

exemple précis.

6.

_Champ

_{électromagnétique}

d’un

_photon

donné.

_{Energies positives}

et

_{négatives. -}

Consi-dérons un

_photon

_d’énergie

et de

_quantité

de

mouve-ments bien déterminées et demandons-nous

_quelles

sont les

_{caractéristiques}

de la lumière

_{qu’il représente.}

Soient

les

_{quatre spineurs qui}

décrivent un

_photon,

de

_quantité

de mouvement p, q, r _et

_d’énergie

_W. Ils satisfont aux

équations

de

_Dirac,

161

Ces

_équations

sont

_compatibles

si

Pour une

_quantité

de mouvement _{p, q, 7°,}

_donnée,

l’énergie peut prendre

deux valeurs à savoir

Calculons le

_spineur

_na,,s. On a, en

_{posant :}

et il faut tenir

_compte

des

_équations

de _{Dirac ainsi que} de la condition

₍₁₇₎

_remplie

_par

les arbitraires

Ao, Bo.

Pour le but que nous avons en vue nous ne

dimi-nuons en rien la

_{généralité}

en

_supposant

_{que le}

_photon

avance le

_long

de l’axe Il faut alors

_prendre

et

Les

_équations

₍₃₂₎

donnent t

pour le

_{photon d’énergie positive}

U7’ et

pour le

photon

d’énergie négative

TV".

Le

_{spineur symétrique}

devient dans

le

_premier

cas

w - ni

et dans le second cas,

en

_posant

.Avec ces notations le

_champ

_{électromagnétique}

accompagnant

un

_photon

_{(l’énergie positive}

sera donné par les formules

(28)

et

₍₃₇₎

et aura la forme :

tandis que le

champ

d’un

_photon

_{(/’Pllergie négative}

sera

Donc un

_photon

_d’énergie

_positive

lT7 == cl)

_>

0 et de

quantité

de mouvement

_{positive p >}

0,

dirigée

suivant

équivaut

à une lumière

₍₃₉₎

se

_propageant

lement à

O.x,

vers les x

_positifs

et

_polarisée

circulaire-mer2t à droite

(en

regardant

arriver la lumière les

champs

tournent de

façon

que h prenne la

place

de

_e).

La

_figure

1 a montre la

_disposition

des

_{chainps ;}

dans la

_figure

~a b l’axe 0 a-

_positif

est

_{supposé dirigé}

vers

l’observateur.

Fig. 4. - Particule _{d’énergie positive.}

Par

_contre,

un

_photon

de même

_quantité

de

mouve-ment

_positive

_~~>0,

_dirigée

suivant

_Ox,

mais

_d’énergie

négative,

équivaut

à une lumière décrite par les

champs

(40).

Cette onde lumineuse se _propage vers les .r

_négatifs,

doîic en sens contraire de la

_quantité

de

lnou-veJnenl du

_{Sa polarisation}

est circulaire

_,gauche

(en regardant

arriver la lumière les

_champs

tournent de

façon

que e _{prenne la}

_place

de

_{h) ;}

dans la

_figure

26

l’axe Ox est

_supposé

_dirigé

vers l’observa-teur.

Fig. 2. - Particule de même

quantité de mouvemeut que celle de la figure 1, mais _{d’énergie négative.}

Ces résultats montrent

_{quelle peut}

être

l’interpréta-tion des

_{énergies négatives}

pour des

particules

de masse

nulle dont le mouvement est défini _par

_{l’équation}

de Dirac. L’assimilation de cette

_particule

a un

_photon

précise

cette

_{interprétation;}

_mais,

même si en réalité cette

_particule

_{n’était pas} un

_{photon (voir paragraphe}

₈₎

les

_champs

_que nous avons introduits

_plus

haut

pré-senteraient un certain

intérêt,

dû au fait

qu’ils

nous

fournissent une

_image

intuitive

_simple

de la différence

qu’il

y a entre une

_particule

à

_énergie

_positive

et une

particule

à

_{énergie négative.}

7. Polarisation

_rectiligne.

- Dans tout

ce

_qui

précède

nous avons

_supposé

_{que la}

_quantité

de

mouve-ment 1)

était

_dirigée

suivant les 0 x

_{positifs, » >}

0.

Cherchons maintenant le

_champ

d’un

_{photon d’énergie}

négative

W",

mais dont la

_quantité

de mouvement soit

dirigée

vers les x

_négatifs.

Posons

On a

La lumière

_{correspondante}

se

_dirigera

en sens

con-traire de la

_quantité

de

_mouvement,

donc vers les x

positifs.

Les

_spineurs

de Dirac s’écrivent t maintenant

et l’on a cette fois-ci

~1,

=

B2.

D’après

les formules

_générales

_(34),

le

_spineur

symé-trique est

,

163

avec

La

_{figure 1}

_{devient pour} ce cas la

_figure

3.

La lumière est donc

_polarisée

circulairement à gau-che.

Superposons

maintenant

_{deux photons :}

l’un

d’éner-gie positive, ayant

une

_quantité

de mouvement

_dirigée

vers les x

_positifs

et l’autre

_d’énergie

_négative

et dont la

quantité

de

mouvement,

égale

en valeur absolue à la

précédente,

soit

_dirigée

en sens contraire.

Fig.3.

Le

_champ

de ce dernier sera

_d’après

les formules

(1i)

et

_(38’)

Il se

_{dirige toujours}

vers les x~

_positifs.

Le

_champ

total s’obtiendra en

_{superposant (46)}

et

_(39).

On aura

donc une lumière

_{polarisée rectilignement}

dans un azi-mut _{déterminé par}

_l’angle

_(p.

Dans la théorie que nous avons

_{développée,}

la lumière

polarisée

linéairement ne constitue pas l’élément

fon-damental

_{simple ;}

cet élément

_simple

est formé _par

la lumière

_{polarisée circulairement, qui correspond}

à

un seul

_photon

dans un état

_d’énergie

bien

_{déterminé ;}

pour décrire une lumière

_ayant

une

_polarisation

recti-ligne

nous avons besoin

_d’imaginer

un

_photon

distribué

sur deux états

_qui

_{soient tels que leurs}

_impcclsions

d’univers soient

_égales

et de

_signes

contraires.

Cela montre

_{qu’en particulier}

l’existence des

éner-gies négatives,

loin d’être une difficulté pour la

_théorie,

en constitue au contraire un élément

_essentiel,

indis-pensable,

sans

_lequel

on ne

_pourrait

_{pas rendre}

_compte

du fait fondamental

_{qu’expérimentalement,}

la lumière

polarisée rectilignement

existe.

8. Considérations

_critiques.

Difficultés de la théorie et

_{signification}

de la méthode

_employée.

- Mathématiquement,

la théorie

_développée

dans les pages et articles

précédents

revient à dire que, pour

une

_particule

de masse

_nulle,

on

_peut

trouver un

_champ

du

_{type ~ (à}

six

_composantes

_{réelles) qui possède}

les

propriétés

de covariance du tenseur

_champ

électroma-gnétique

et

_qui

satisfait aux

_équations

de Maxwell.

Physiquement,

la

_question

se pose de savoir

jusqu’il

quel point

nous SOJJunes en droit d’assinl1ler ce

_clranep

au

_cltaîîip

_{électromagnetique}

d’uue onde de lumière.

les considérer comme des

_opérateurs

ou comme des

moyennes observables de ces

_opérateurs.

_Les

gran-deurs observables seront alors les carrés des modules

correspondants

Cette

_{particularité}

est

satisfaisante en ce sens

_{qu’on peut imaginer}

la mesure

des carrés de

_{chaque composante}

ainsi que le

_permet

_{l’expérience,}

au lieu de ne

_pouvoir

mesurer

que leur som me Y-

(1er

12 +

¡hl’ 12);

mais il n’est nulle-ment démontré

_qu’en

dernière

_analyse

on doive assi-miler nécessairement les

composantes

de

_champ

lumi-neux à des

_grandeurs

de la nature d’une fonction

d’on-de

_If..

Il faut aussi tenir

_compte

d’une autre difficulté très

sérieuse,

qui n’apparaît

pas dans les deux

approxima-tions que nous avons étudiées

_{précédemment,}

mais

_qui

se

_présente

à

_{l’approximation}

de Dirac : la

_difficulté

d u ,

En

_effet,

diverses considérations nous

_obligent

à penser que, si le

photon a

un

_spin,

la valeur de celui-ci

ne

_peut

_{être que}

_{fi 12}

7t.

Or,

la

particule

_que nous avons

considérée

_{jusqu’à présent,}

à savoir celle dont le

mou-vement obéit à

_{l’équation}

de Dirac

pour une masse et une

_charge

nulles,

a un

_{spin égal}

à 1 h

C .

1 ’

d. 1

_29’

.M7t Cette

particule

ne

représente

pas directement le «

_photon

».

_D’après

M. L. de

_Broglie

_(1),

elle serait

plu-tôt un neutrino de

_Pauli,

dont la masse au _repos

sem-ble être

_{nulle (9)}

_C)

et dont le

_spin

_p est

effectivement 1 h .

9- 2 7c

. Doit-on

en _{conclure que les calculs des}

_paragraphes

précédents

ne

_{s’appliquent}

_qu’à

un neutrino et ne

con-cernent _pas la théorie de la lumière? Il n’en est

_rien,

parce que : -.

1° Ces calculs

_{s’appliquent}

au

_neutrino,

mais nous

montrerons

_{qu’à chaque}

onde de lumière est attaché un

neutrino,

et _{celui que} nous avons

consi-déré ;

et parce que

2° La difficulté du

_spin

s’évanouit si l’on

_adopte

une

hypothèse

due à M. L. de

_Broglie

concernant la

cons-titution du

_photon.

SECONDE PARTIE

9. Problème inverse pour le

photon.

Corpus-cule attaché à une onde de lumière. -

Jusqu’à

présent

nous sommes

_partis

de

_{l’équation}

_(48),

ou des

équations

(1) qui

lui sont

_{équivalentes,}

_pour en déduire

l’expression

des

_composantes

_e,,,

_h,,

d’un

_champ

du

type

~,

que nous avons assimilé au

_champ

lumineux.

Ce

procédé

est

_critiquable

_{parce que :}

(1) C. R. 1934, 198, p. i35.

(2) F. PERRI-N, C. R. _1933,

_197,

p. 1625..’l’ote ajoutée à la

correc-Voir

_également

E. Z.

_Physik.,

1934, 88, p, 171.

Il

_{l’équation (Q8)}

semble

_{plutôt l’équation}

d’un

neu-trino que celle d’un

photon,

et

~° parce que le

champ

qui

en résulte est un

_champ

du

type

~.

Le «

_photon

» semble une

_{particule ayant}

un

_spin

h

égal

à

h ,

_{ceci pour rendre}

_compte

de la diminution

Z Tt

du moment

_cinétique

d’un atome lors d’une émission

lumineuse. Il faudrait donc

_partir

de

_{l’équation}

d’une

particule

de masse nulle et de

_spin

_h/?~;

mais il n’est pas certain

qu’on

puisse

établir une

_équation

_relativiste,

analogue

à celle de Dirac

_(’),

_pour une

_particule

dont le

_spin

a cette valeur.

En tout cas,

l’expérience

nous montre

_qu’on

doit

asso-cier les ondes de lumière à des

_particules,

les «

pho-tons »,

ayant

les

_{caractéristiques}

mentionnées _et, en

particulier,

un

_{spin égal}

à

h/27c. Or,

nous allons établir

le résultat suivant : on

_peut

attacher à tout

_{phéîioïiiène}

lunlineux

_(et

en

_particulier

à une onde

_unique),

d’une

façon

bien déterminée et d’ailleurs tout à fait

_naturelle,

une

_particule

de masse

nulle,

_satisfaisant

à

_{l’équation}

de

_Dirac,

donc

_ayant

le

_spin

_1/2

X Le «

photon

»

expérimental

(masse

nulle, spin

1)

est une _autre

par-ticule attachée aux ondes de

lumière,

mais il existe certainement un cc neutrino » masse

_nulle,

spin

qu’elles

définissent et

_qui

constitue lui

_aussi,

nécessai-renient,

un des

_aspects

discontinus du

lumineux.

Prenons en effet le

_problème

inverse de _{celui que}

nous avons traité

_{jusqu’à présent.}

Partons d’une onde

de lumière

_quelconque,

décrite

_{par le potentiel}

d’univers

~-1°,

>

A1,

>

A2,

> A3

(49)

lequel

satisfait aux

_équations

et à la condition de Lorentz

Le

_{champ qu’on}

en déduit à la manière ordinaire

satisfait aux

_équations

de Max,vell

Le

_spineur

_{qui correspond}

au vecteur

₍₄₉₎

sera donné

par les formules mentionnées

déjà plusieurs

fois :

165

Or,

à

_partir

de ce

_spineur

du second rancl

_~9,s

et avec

les deux

_spineurs

du

_premier

_{rang ar,}

_bs,

_que nous

avons introduits nous _pouvons

_for111er

deux autres

spi-neurs du

_prenlier

_rang

_~~,

_{Z, par}

_{l’opération}

invariante

de la « contraction o,

analogue

à la contraction du

cal-cul tensoriel :

L’intérêt de ces

spineurs

tient aux faits

_qu’ils

satis-loii taux

_éqlfations

de Dirac

_(1).

En

_effet,

_{prenons par}

_exemple

=

_{0 ;}

_{on a :}

Par un raisonnement

_analogue

à celui

qui

nous a

conduit aux formules

_(10),

on établit _que

ce

_qui

donne

Puisque

le dernier membre de

₍₅₆₎

est nul et les

_~r

satisfont aux

équations

de

Dirac;

la validité de la seconde

équation

s’établit de la même manière. ’

Exemple :

Prenons un

potentiel

d’univers de la

forme

avec

On trouve

Ce genre de calculs est d’ailleurs

superflu

comme on

le verra

_plus

_loin,

formule

_(63).

Note. - A

priori,

on

_pourrait

_{penser à} un autre

couple

de

_spineurs

du

_premier

_rang

_{qu’on pourrait}

for-mer avec les

_{an bs}

et le

_{champ électromagnétique}

correspondant

à la lumière donnée.

Soitg;’sle

spineur symétrique

du second rang formé

avec les valeurs

_{E,, fh}

des

_composantes

du

_champ;

il satisfait aux

_équations

de Maxwell

Cela étant les deux

_spineurs

satisfont évidemment aux

_équations

de

Dirac,

mais il est facile de voir

_qu’ils

ne

_peuvent

nous être d’aucune

utilité. En

effet,

appliquons

à

_{071’ g..}

= 0

_{l’opérateur}

ak

1 rs

(k quelconque,

sans aucun

_rapport

avec _r,

_{1, s j ;}

on a

donc

k,

1

_prennent

les valeurs 1 et 2

_quel

_{que soit} s. Cela

signifie simplement

8 =

0, quel

que TS

et _{aussi Xr, sont des}

_constantes;

on voit sur un

_exemple

simple qu’elles

sont

_{identiquement}

nulles.

A toute

_propagation

_{décrite par} un

_potentiel

d’uni-vers A)’ on

_peut

donc faire

_correspondre

un

_couple

de

spineurs

’+;.,

Xs

qui satis font

aux

_équations

de Dirac

pour m = 0.

Ceux-ci décrivent donc le mouvement d’une

_particule

de masse nulle

(neutî-ino)

dont l’hamiltonien est

1. 1 h et

_{qui possède}

_{q p par p}

_conséquent

le

spin 1

2_.

2 1t

*

Toute

_{modification,}

tout accident _{subi par} l’onde de lumière se _{traduit par des}

_{changements correspondants}

dans le mouvement de ce neutrino. On trouve

_ici,

cu-rieusement associé à cette onde de

lumière,

une

parti-cule

_qui

au _repos s’évanouit

_{(m === 0)}

et

_{qui possède}

un

spin 1 2 r,

Par

_ailleurs,

sa

_fréquence,

dans un état

2 2 x q

déterminé,

est exactement

_égale

à celle de la lumière

correspondante

(ce

qui

découle du raisonnement

_qu’on

trouvera

_plus

loin et des résultats

_{déjà obtenus).}

Est-ce là le «

_quantum

de lumière »

_{expérimental ’?}

_Pour

pou-voir l’affirmer il faudrait

_{expliquer pourquoi}

au

moment de l’arrêt de la

_particule

ou au moment de sa

création,

le bilan du moment de

_quantité

de mouvement t n’est pas

satisfait,

au moins en _{apparence ; cela}

_exige

probablement

une meilleure connaissance du mécanis-me d’interaction avec la matière.

Quoi qu’il

en

_soit,

en définissant un _{état de}

propaga-tion lumineuse par un

_potentiel

d’univers

_.1~,

on

_peut

déduire :

appliquant

à

_{A" l’opérateur}

« rationnel d’univers » bien connu, mais aussi :

2° un

charnp

d’ondes

_’f,

en

_appliquant

à 1" les

opéra-teurs _que nous avons

_introduits;

on constate _que

ce

_chainp

est celui d’une

_particule

de niasse

nulle,

obéis-sant à

_{l’équation}

de Dirac.

On

_peut

se demander

_quelle

est la relation entre ces

deux

_champs,

ce

_qui

_permettrait

le calcul de e,.,

_I~,.

sans _{passer par l’intermédiaire des}

_potentiels

_(calcul.

qui

présente

souvent de sérieuses

_{difficultés).}

Pour cela soit le

_potentiel

d’une onde lumineuse.

Le

_{champ classique}

se déduit t du

_{spineur symétrique}

du second rang g,,,,

lequel

à son tour s’obtient de _par la formule

(voir

Laporte

et Uhlenbeck

_(loc.

_cit.,

_p.

_~139i).

D’au tre

_part,

à ce même

_{potentiel correspondent}

les

spineurs (55),

soit

Appliquons

à ces formules

_{respectivement}

les

opéra-teurs b.,

et ar r

qu’on peut

encore écrire :

Ajoutons

convenablement

₍₆₉₎

et

_{(62) ;}

il vient t

Or,

ceci n’est autre que la formule

(26)

que

avions

_prise,

_par

_hypothèse,

comme

_point

de

_départ.

Nos

_{développements précédents}

relatifs à la relation entre la

_particule

_que nous avons

_appelée

_{jusqu’à présent}

«

_photon

» et le

_{champ électromagnétique qui}

lui

cor-respond,

restent donc valables. Mais maintenant nous

pouvons affirmer que er,

h,,

sont

_{effectivernent}

les _compo

-santes du

_charnp

luminell r

_{classique ;}

_{Xa, constituent}

les fonctions d’ondes d’une

_{paiticule (neutrino) qu’on}

peut

lui attacher et

_qui

_représente,

dans une mesure

qu’il s’agira

de

_{déterminer, l’aspect}

discontinu du

phé-nomène lumineux.

Le neutrino attaché à une onde de lumière a un

_spin

1

_{:1 ,}

mais la difficulté est levée si l’on admet avec

22 n

11’I. L. de

_Broglie,

_que cette

_particule

ne cor2stitcre pas

elle-lnême le

_photon.

Un

_photon

serait _{formé par l’ensemble} d’un neutrino et d’un antineutrino

_(un

trou au sens

_{de Dirac),}

d’éner-gie négative

et de

_{spin égal}

et de

_signe

contraire à celui du

_précédent.

Au contact de la

matière,

ces deux

_particules

hileraient,

donnant naissance à une onde de lumière.

Remarquons

que, dans la théorie que nous avons

développée jusqu’ici,

rien ne _nous

_empêche

_de

suppo-ser _{que le neutrino soit}

_accompagné

_par un antineutri-no,

puisqu’aussi

bien nous ne _pouvons

_percevoir

le

champ électromagnétique

à l’état _{pur pour ainsi}

dire,

mais

_uniquement

à la suite de son action sur la matière. A

_partir

de la fonction d’onde du neutrino

_(ou

de celle de

_{l’antineutrino, qui}

s’en déduit

_{immédiatement),}

on

peut

calculer le

_{champ électromagnétique}

_{par la} for-mule

_(63).

Les calculs

_précédents

montrent toutefois

_’que

le

champ

défini par m,.s existe aussi pour un neutrino isolé

_(et

un

_{champ analogue}

existe

_également

pour

l’é-lectron). L’hypothèse

de M. L. de

_Broglie

admet que ce

champ

ne se manifeste sous la forme de lumière que

lorsqu’il

y a annihilation. Le

_problème

se trouve ainsi

déplacé

vers le

_problème

de l’interaction d’une

parti-cule,

ou d’un

_couple

de

_particules

du

_{type neutrino,}

avec

la matière.