Equation de propagation du champ électromagnétique

2016/2017 Diane Cabaret de Alberti 1

Propagation

Hypothèses : dans le vide, en absence de charges et courants

Equation de propagation du champ électromagnétique

Equations de Maxwell : Equation de propagation, équation d’onde, équation de d’Alembert :

( ) 0 ( ) 0 0

( ) 0 ( )

MG divE MA rot B E

t MT divB MF rot E B

t

  ^

 



  



(1)

2

0 0 2

2

0 0 2

0

0 E E

t B B

t

 

 

   



   



(2)

Célérité de l’onde ou vitesse de propagation de l’onde :

2 2

8 1

2 2 2 2

0 0

1 1 1

3.10 . E 0 B 0

c m s E et B

c t c t

 

  

        

  (3)

Onde plane progressive

Résolution générale d’une équation d’onde scalaire à une dimension Soit ^{s x y z t}



^{, , ,}



vérifiant

2

2 2

1 s 0

s v t

   



Définitions :

On dit qu’une onde est plane si, à chaque instant, la fonction ^{s x y z t}



^{, , ,}



a la même valeur en tout point d’un plan perpendiculaire à une direction fixe définie par un vecteur unitaire n et appelée direction de propagation.

L’onde plane est de plus progressive quand le signal se propage dans un sens déterminé.

Propriété :

Les solutions de l’équation de propagation unidimensionnelle selon x peuvent s’écrire comme la superposition de deux ondes planes progressives :

       

2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 0 , ,

s s x x

s x t f x vt f x vt ou s x t f t f t

v v

x v t

               

      (4)

Solutions de l’équation de propagation du champ électromagnétique sous forme d’ondes planes progressives

Hypothèse : propagation selon les x croissants

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1 0

1 0

x x

y y

z z

x x

E t B t

c c

E E

x x x x

x c t E E t E t et B B t B t

c c c c

B B

x x

x c t

E t B t

c c

       

     

         

    

                

          

       

 

      

       

        

   

   

Propriétés :

Les champs électrique et magnétique n’ont pas de composantes suivant la direction de propagation.

Les vecteurs sont perpendiculaires à la direction de propagation, on les qualifie de transverses.

Les champs électrique et magnétique forment avec la direction de propagation un trièdre direct.

0 0

y y

z z

x x x x

E E t E t et B B t B t

c c c c

x x

E t B t

c c

   

   

   

   

       

             

       

     

   

   

B 1n E

c  (5)

2016/2017 Diane Cabaret de Alberti 2 Aspect énergétique

Densité volumique d'énergie électromagnétique équirépartie entre terme électrique et terme magnétique :

2

2 2

0 0

0

1 1

2 2

u  E B  E

   

Vecteur de Poynting dirigé selon la direction de propagation :

2 0 0

x x

E B

c E u cuu



    

L’énergie d’une OPP dans le vide se propage à la célérité,c.

Onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement

Retour sur l’équation d’onde scalaire Soit ^{s x y z t}



^{, , ,}



vérifiant

2

2 2

1 s 0

s v t

   



Définition :

Une onde plane progressive est dite monochromatique si c’est une fonction sinusoïdale de fréquence f .

Une OPPM se propageant à la vitesse v selon la direction donnée par un vecteur unitaire n s’écrit sous la forme :



^{, , ,}



^mcos



⁰



s x y z t s t  k r  (6)

où rreprésente le vecteur position tel que : rOMxu_xyu_yzu_zen coordonnées cartésiennes.

Elle est caractérisée par : - sa pulsation, , ou sa fréquence, f , ou sa période temporelle,T : 2 f 2

T

    (7)

- son vecteur d’onde, k, ou sa longueur d’onde,  :

k 2 n n

v

 

   (8)

Elle présente une double-périodicité temporelle de période T et spatiale de période telle que :

vT (9)

Application au champ électromagnétique

Propagation unidimensionnelle et champ électrique polarisé rectilignement suivant Oy:

 

 

0 0

0

0

0 0

cos 0

0 cos

y y

y

y

E E t kx B

E t kx

c

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

     

Propagation 3D et champ électrique polarisé rectilignement suivant Oy:

   

 

0

0

0 0

0

0

0 cos

cos 0

0 cos

z y

y

x

y y y

x y z

y

k E t k r

k

E E t k r B avec k k

k E k

t k r

 



 

 



 

   

 

   

 

   

         

 

   

   

      

Relation de dispersion : Champs électrique et magnétique forment avec le vecteur d’onde un trièdre direct :

k c

 (10) 1

B k E

  (11)

Notation complexe et champ électrique polarisé rectilignement suivant Oy:

  0

0 0 0

j t k r j y

y y

EE e ^{ } avec E E e^ u

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Etats de polarisation d’une onde plane progressive monochromatique

Définition :

La polarisation d'une OPPH est définie à partir de son vecteur E, comme la nature de la courbe décrite par l'extrémité de Edans un plan d'onde.

Dans le plan x0, on peut se ramener à l’expression suivante :

   

0 0

0 cos cos

y y z

z

E E t avec

E t

   

 



  

 



Polarisation elliptique (cas général) : Polarisation circulaire :

0 0

2 et E ^y E ^z

   

Polarisation rectiligne : 0 ou

 

Mise en évidence d’une polarisation rectiligne : On place un autre polariseur à la suite du premier.

Si les deux polariseurs ont leur axe de transmission perpendiculaire, le champ électrique à la sortie de l’analyseur est nul.

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Réflexion sous incidence normale d’une OPPM polarisée rectilignement sur un plan conducteur parfait

Définition :

Dans un conducteur parfait :     E0, 0, B0, j0

Propriété :

La réflexion d’une onde électromagnétique sous incidence normale sur un conducteur parfait est une réflexion totale avec un déphasage de  du champ électrique et un déphasage nul pour le champ magnétique. Il n’y a pas de charges surfaciques.

La superposition des ondes incidentes et réfléchies sur un conducteur parfait donne naissance à une onde dont les dépendances spatiale et temporelle sont séparées : l’onde résultante est une onde stationnaire. L’onde ne se propage plus. Elle oscille sur place. L’onde stationnaire résultante ne transporte pas d’énergie.

La réflexion induit un courant surfacique non nul de même direction que le champ incident. Ce courant est à son tour une source de champ électromagnétique à l’origine du champ réfléchi.

Soit une onde électromagnétique incidente polarisée rectilignement selon Oy se propageant dans le vide dans une région sans charges ni courants selon l’axe Ox croissant dans le demi-espace x0. En x0, dans le plan Oyz, se trouve un conducteur parfait. Le champ électrique incident peut s’écrire : E_i E0_icos



tk x u_i



_y

D’après la relation de passage pour le champ électrique en x0, on trouve le champ réfléchi :

 

0 cos

r i i y

E  E tk x u

La superposition des deux donne : E_vide2E0_isin

   

t sin kx u_y

D’après la relation de passage pour le champ magnétique en x0, on trouve un courant à la surface du conducteur

parfait : ⁰

 

0

2 ⁱcos

s y

j E t u

c 

 