Propagation d'une onde électromagnétique plane dans un plasma à la coupure et au dela

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Propagation d’une onde électromagnétique plane dans un plasma à la coupure et au dela

R. Papoular

To cite this version:

R. Papoular. Propagation d’une onde électromagnétique plane dans un plasma à la coupure et au dela.

J. Phys. Radium, 1961, 22 (11), pp.749-758. �10.1051/jphysrad:019610022011074900�. �jpa-00236571�

749.

PROPAGATION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE ^PLANE

DANS UN PLASMA A LA COUPURE ET AU DELA

Par R. PAPOULAR,

Service de Fusion Controlée, ^{C. E.} N., Fontenay ^{aux roses.}

Résumé.

La solution complète ^des équations de’ Maxwell pour deux types de distributions de densité fait ressortir l’insuffisance des hypothèses ^de l’optique géométrique pour les plasmas

minces : a) le coefficient de réflexion d’une couche de plasma n’est voisin de 1 que pour des fré- quences inférieures ^à la fréquence nominale de coupure ; b) ^ces fréquences ^{sont d’autant} plus ^basses

que l’épaisseur ^du plasma ^est plus faible ; c) ^le déphasage de l’onde réfléchie dépend ^de l’épaisseur

du plasma aussi bien _{que de} la fréquence ^de travail. Par contre dans certains cas (au moins), ^le déphasage ^de l’onde transmise est pratiquement ^le même que celui calculé ^en optique géométrique.

Une relation générale ^entre l’amplitude ^{et le} déphasage ^du champ électromagnétique ^{est démontrée}

en annexe.

Abstract.

The complete ^{solution of Maxwell’s} equations for ^two typical density distributions makes clear the shortcomings ^{of the} geometrical-optics hypotheses ^{for thin} plasmas :

a) the reflection coefficient of a layer ^of plasma ^is very different from 1 unless the working ^fre-

quency ^{is lower} than the nominal cut-off frequency and ; b) ^{the more so} the thinner the layer ;

c) ^the phase lag ^of the reflected wave depends ^{on the} plasma ^{thickness as well as on the} working frequency. Nevertheless, ⁱⁿ certain cases, at least, the phase lag ^of the transmitted wave is pra-

tically ^{the same as} that which is deduced from geometrical optics. ^A general relation between

amplitude ^and phase angle ^{of the} electromagnetic ^{field is also} proved ^an appendix.

LB JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM TOME 22, ^NOVEMBRE 1961,

1. Introduction.

L’une des methodes les plus

utilis6es pour la mesure de la densite des _gaz ionises est celle de l’ interférométrie hertzienne. Elle consiste

a mesurer le d6phasage subi par ^une onde plane

traversant le volume ionis6 ou se réfléchissant sur

lui.

Pour interpreter le resultats de ces mesures, ^on consid6re habituellement _que l’approximation ^de l’optique g6om6trique ^{est valable,} c’est-à-dire que la variation relative de l’indice de refraction du milieu ionis6 est faible _pour ^un trajet 6gal ^{a la} longueur ^d’onde.

Or, il n’est pas ^rare de rencontrer dans les labo-

ratoires, ^des plasmas ^de quelques centimetres

d’epaisseur. ^D’autre part, les densités 6lectroniques

courantes 6tant comprises ^{entre 1012 et 1014} cm-3,

les longueurs d’ondes les plus ^{usit6es en interfe-}

rom6trie sont 8 et 4 mm. Dans ces conditions, ^{on ne} peut ^admettre que la densite ^et l’indice soient tres lentement variables, ^{et il} parait ^utile d’analyser plus rigoureusement ^la propagation ^6lectroma- gn6tique ^{dans ces milieux.}

Plusieurs auteurs se sont attaqu6s ^{a ce} probl6me

des le d6but des etudes sur l’ionosphère. C’est ainsi que Hartree (1931) ^a donne les solutions des 6qua-

tions de Maxwell et le d6phasage ^de l’onde réfléchie dans certeins cas particuliers (reflexion totale) ^et

s’est surtout int6ress6 a des variations relativement lentes de la ^densite ionique. ^{A sa} suite, ^Wilkes (1940) 6tudia les ondes polaris6es circulairement,

avec une densite croissant suivant une loi para-

bolique.

-

Saha et Rai (1937), puis ^Deb (1940) ^{ont 6tudi6}

I’amplitude ^du coefficient de transmission de couches ionis6es d’épaisseur finie mais grande, ^au voisinage ^{de la} frequence ^de coupure (r6partitions

de densite triangulaire ^et parabolique). ^{Un travail} qui semble mal connu est celui d’Epstein (1930) lequel ^{a donne une} expression ^du coefficient de r6- flexion dans ^{le cas d’une} r6partition ^{en « cloche »}

sans restriction sur les deux param6tres d6finissant cette distribution. Toutefois, ^{il ne} s’est pas int6- ress6 aux questions ^de phase, ni a celles de 1’ampli-

tude des champs ^{dans la} region ionis6e. Tout r6cem-

ment, ^Golant (1960) ^{a cite des resultats} obtenus par la m6thode d’Epstein ^et concernant l’amplitude ^du

coefficient de reflexion des plasmas minces. Enfin Budden (1957 ^et 1959) ^{a mis au} point ^{une m6thode}

de calcul matriciel num6rique permettant ^{de r6-}

soudre le probl6me ^le plus general ^{a 1’aide d’une}

machine a calculer.

Dans le present travail, ^nous nous proposons

d’ étudier les coefficients de reflexion et transmission

en amplitude ^{et en} phase ^ainsi que la r6partition

des champs ^{dans la} region ionis6e, ^et ceci pour deux

types de distribution de densite qui ^se rapprochent

assez de la realite.

Hypothèses : ^Pour faciliter les calculs, ^{nous avons}

fait les hypotheses simplificatrices suivantes : 1) La densite electro’nique et, par consequent

l’indice de refraction ne dependent ^{que d’une va-}

riable d’espace ^{x, la} propagation s’effectue le long

de 1’axe et le plasma ^est suppose ^{illimité dans les}

directions _y et z : le problème ^{est donc ramené à une}

dimension. Cette hypothèse ^est justifiée par le fait que les interféromètres g6n6ralement ^{utilises sont}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019610022011074900

pratiquement des filtres d’ondes planes ^{a cause de}

la directivit6 des aériens 6metteurs et r6cepteurs.

2) ^{On ne} tient pas compte ^du champ magnitique.

- Pratiquement, il y ^a toujours ^un champ magn6- tique perpendiculaire ^{a x, mais le vecteur 6lee-} trique de l’onde hyperfréquence peut ^etre dirig6 parall6lement ^{a ce} champ, auquel ^{cas ce dernier}

n’intervient pas dans la propagation.

3) ^{On ne} tient pas compte ^{de la} dissipation ^{d’ éner-} gie par collisions (conductibilité électrique nulle).

Cette simplification ^{est d’autant} plus justifi6e que le milieu est plus ^{chaud et} moins dense.

Pour r6soudre le probl6me pose, ^{il est} 6galement

n6cessaire de faire une hypoth6se ^{sur la} r6partition

de la ^densite 6lectroDique ^en fonction de l’ abscisse x.

Nous consid6rerons deux types ^de ripartition : ^le type parabolique ^{et le} type trapézoidal.

II. R6partition parabolique.

^{II est certain} que cette r6partition ^n’est pas parfaitement ^r6alis6e

dans la pratique ; toutefois, ^{elle ne} doit pas ^{etre tres}

en def aut, ^{tout au moins dans les} regions ^centrales

du plasma.

D’autre part, ^{avec cette} r6partition, ^{la solution} rigoureuse ^des equations ^{de Maxwell ne} s’exprime

au moyen de fonctions connues et tabul6es que dans des cas particuliers. ^Parmi ceux-ci, ^{nous ne}

consid6rerons que celui ^ou la densite critique ^nc correspondant ^{a la} frequence ^{de travail est} 6gale ^h

la densit6 maximum du plasma ; ^{c’est ce} que ^nous

appellerons condition de coupure nominale. Nous

prendrons, pour origine ^des x, I’abscisse de ce maxi-

FIG. 1. _; Dj.islte et permittivite ^en fonction de la distance

mum. On aura done (voir ^aussi fig. 1) :

densite relative

permittivite ^relative

indice du plasma

indice du milieu environnant (vide) = 1.

L’hypothèse 7z(0)

^n,, est a peu pres réalisée,

chaque ^fois qu’on ^{cherche a mesurer la} f requence

de _coupure d’un plasma ^donne.

II-1. EQUATIONS ^{DU PROBLEME ET FORME DE LA}

SOLUTION.

Les champs 6lectrique ^et magn6tiqiie

sont de la forme

Les equations ^{de Maxwell en} rotationnel devien- nent

ou [.Lo : permeabilite absolue du vide,

co permittivite absolue du vide,

0 : 27U/,

f : frequence de travail ( = fe, ici) -

et d’ou l’on tire

ou C

V / EO 1 tJ-o vitesse de ]a Iumière dans ^le vide.

B/,:-o P-o

Ces deux equations appartiennent ^{à la même}

famille d’equations ^{de Bessel.}

Cette equation ^{se ram6ne en effet a} 1’equation (3)

si l’on fait

et a 1’6quation (4) ^si Fen y ^fait

Or, ^{la solution} g6n6rale ^de (5) ^{est de la forme}

ou B est une combinaison lin6aire de deux ^{f onc-} tions de Bessel lin6airement indépendantes. ^Or

dans le cas present, ^{l’ordre de ces fonctions est}

v

(1

a)/(m + 2)

1/4 ^ou 3/4’selon qu’il s’agisse de la solution de (3) ^{ou de} (4). ^{Comme ces}

nombres ne sont pas des entiers, ^on peut prendre

car alors les fonctions J v ^et J -v ^sont lin6airement

indépendantes.

751 Posons done Z

(V"-bl) ^x2

argument ^des

fonctions de Bessel

Portons maintenant (6) ^et (7) ^dans (1), ^{en tenant} compte des relations

ainsi _que de Il vient

D’you

Tout ceci n’est valable que pour x > 0.

Pour x 0, posons x

X ^{avec X} > 0. Les signes ^{« moins o} disparaissent ^dans (1) ^et (2) ^mais (3) ^et (4) ^ne changent pas de forme.

Si l’on pose ^Z

(Vbl2) X2, ^{on trouvera} pour E

et J? des solutions de la forme

qui ^{sont de la} meme forme que (6) ^-et (8), ^au signe pres ^{de H.}

Or, ^ces solutions doivent se raccorder aux prece-

dentes _pour

et

Mais on sait (Jahnke-Emde-Loch, 1960, p. 134)

que

11 en r6sulte que

Les densités (9) donnent alors

Finalement, ^on peut prendre

Les deux constantes .NI et N seront d6termin6es par les conditions aux limites, c’est-h-dire, ^en l’oecurence, ^{l’ onde} incidente, Ei, ^au plan ^d’abs-

cisse

_x, et la presence ^{du vide de} part ^{et d’autre}

du plasma.

11-2. COEFFICIENT DE REFLEXION.

Pour con-

naitre le coefficient de reileXion du plasma ^{il est}

utile de calculer d’abord « l’impédance ^» presentee par le plasma ^{dans le} plan

xl.

Dans ce but, 6crivons que l’imp6dance presentee

au plasma ^{dans le} plan + xl ^est celle du vide,

c’est-a-dire

D’ou en utilisant (6) ^et (8) ^et posant N 1M

S,

On en tire

En portant ^{cette valeur dans} (10) ^et (11) ^on

obtient

ou l’argument ^{des fonctions J est} toujours Zl.

Le coefficients de reflexion (en amplitude) ^s’ob-

tient _par la formule bien connue

On trouve

Les expressions asymptotiques ^{de r} et q s’ob-

tiennent aisement a partir de celles des fonctions de Bessel.

On trouve alors

et

FIG. 2.

Coefficient de réflexion _p

r e-iq> en amplitude.

La figure ² repr6sente ^les variations du module r

et de l’argument q du coefficient de reflexion. Ces resultats montrent que :

1. Meme lorsque ^la densite maximum du plasma

atteint la valeur critique correspondant ^{a la fr6-}

quence de travail, l’onde incidente n’est _pas entiè- rement réfléchie. ^{La moitié de la ((} puissance ^inci-

dente ^» traverse encore le plasma, ^{même si ce dernier}

est tres épais. Naturellement le coefficient de r6- flexion tend vers zero en meme temps que 1’6pais-

seur du plasma.

2. A un déphasage près de 7t /2 ^en avant, ^la

phase y ^{de l’onde} réfléehie par rapport ^à l’onde inci- dente a la meme valeur que si la réflexion était loca-

lisée dans le plan ^{midian x}

^{0 et si les lois de} l’optique giomitrique ^{itaient encore valables,}

En effet dans l’approximation ^de l’optique géo- m6trique, le retard de phase ^{de l’onde} réfléchie par

rapport A ^l’onde incidente, ^{dans le} plan

xl, est,

FIG. 3.

Coefficient de

transmission ^{en amplitude}

La figure ^{2 montre} que, aux erreurs de calcul

pres, la relation

est valable non seulement pour les grandes ^valeurs

de xi Jx ^mais pour ^{toutes ses} valeurs.

11-3. COEFFICIENT DE TRANSMISSION.

Si l’on

d6signe par Ei, ^l’onde progressive ^{incidente en}

x

Xl’ par E(- Z,) ^celle qui r6sulte de la com-

position des ondes incidente et r6fl6chie, ^en

x

x,, et enfin _par E(Z,), l’onde transmise au

delh du plasma, ^{en x}

^{x,, le} coefficient de trans- mission en amplitude ^est

Mais

par definition. Et, d’apr6s (6) ^et (10)

En substituant la valeur trouv6e pr6c6demment

pour S, ^on obtient finalement

753 où

argument des fonctions J : Z,,

II est facile de vérifier Ie principe de conservation de l’ énergie

D’autre part,

et

La figure ³ représente ^les variations du module t et de l’argument § du coefficient de transmission.

Ld _encore, on constate que l’expression

du déphasage de l’onde transmise obtenue en optique géométrique ^est pratiquement ^valable pour ^toutes les valeurs du paramètre Zl = 7txl/,,-, ^sauf peut-être

pour xi jh 0,5.

11-4. VARIATIONS DU VECTEUR #LECTRIQUE ^A

TRAVERS LE PLASMA.

Prenons comme reference le vecteur E(0), ^{dans le} plan x == 0

ou S a la valeur calcul6e plus haut ; ^d’ou

et

La figure ⁴ repr6sente ^les variations de la phase

du vecteur electrique ^{a travers un} plasma ^{« a la}

coupure nominale »), d’épaisseur ^{4X. Pour}

x - 2X et x > 2a, ^la phase varie suivant ^des lois bien connues correspondant respectivement

aux cas d’une onde r6fl6chie superpos6e ^{a une onde} plane ^{et au cas d’une onde} progressive ^{seule. 11 est}

difficile de parler d’ondes transmises et r6fl6chies dans un milieu d’indice variant rapidement. ^Tou- tefois, ^{il est} remarquable que pour x > 0, ^la phase

varie sensiblement comme pour ^une onde _pro-

gressive traversant un milieu d’indice lentement variable (courbe ^en pointille).

Au contraire, pour x 0, ^{on retrouve les oscil-}

lations de phase caractéristiques ^des ondes station- naires comme si, ^{dans cette} region, ^se superposaient

une onde incidente et une onde r6fl6chie en x

0

(ou ^{autour de ce} plan). ^On notera que la p6riode

spatiale ^{des «} oscillations» varie, ^en gros, propor- tionnellement a 1’inverse de l’indice _moyen du

plasma.

FIG. 4.

Phase du vecteur electrique complexe E(x) ^dans

un plasma parabolique, d’6paisseur ^{4X « a la} coupure ^o.

L’origine ^des phases ^{est définie par le vecteur} E(0). ^La

courbe pointiII6 repr6sente les variations de phase ^de

l’onde incidente dans l’hypoth6se ^de l’optique geome- trique.

FIG. 5.

Allure des variations de l’amplitude JE(x)l,

d6duite de la relation (19).

Pour finir disons quelques ^{mots des} variations de

l’ amplitude ^de E(x). ^On peut 6videmment les dé- duire des relations (17) ^et (18). ^{Mais on} peut 6gale-

ment en connaitre rapidement ^{1’allure en se basant}

sur une relation g6n6rale, ^{démontrée en annexe,}

pour la propagation ^{des ondes} planes ^{dans les mi-}

lieux d’indices variables.

Cette formule a ete utilis6e _pour dessiner la

figure 5, qui rappelle ^les variations de la densite de

probabilite ^d’une particule ^{a travers un mur de} potentiel.

III. R6partition trapezoidale..

^{Comme le}

montre la figure 1, ^la r6partition trap6zoidale ^de

bases 2x, ^et xi /2 ^{est une assez bonne} approximation

de la r6partition parabolique et, partant, ^{de la dis-}

tribution la plus ^{courante de la} densite 6lectro-

nique. ^{Elle a aussi} 1’avantage de ^se laisser traiter de

façon rigoureuse et, enfin, la mithode d’analyse ^dont

elle est justiciable peut ^{s’etendre à une} distibution

quelconque, laquelle peut ^etre toujours representee par

un nombre aussi grand que l’on veut de segments ^de droite, où si l’on veut, ^de trapèzes sl1.perposés.

III-i. EQUATIONS ^{DU PROBLKME} ET FORME DE LA SOLUTION.

Quelque ^{soit le} segment repre-

sentatif de la courbe de l’indice dans un intervalle

donne, ^on pourra toujours, grace ^{a un} changement

convenable de l’origine, ^{se ramener au cas d’un} segment porte par ^une droite passant par l’origine,

donc d’equation

Les equations ^{a r6soudre deviennent}

Cinq ^cas peuvent ^se présenter selon les valeurs de x et A, ^en supposant que l’energie ^se propage

toujours dans la direction des x > 0.

En se reportant ^{a la solution de} l’équation (5) ^et

en posant ^{k2 A}

^{b on obtient}

où et

M et N sont des coefficients qui dependent ^des

conditions aux limites. Des manipulations ^ana- logues ^aux pr6c6dentes conduisent à

ou

Notons que où

Les relations (22) ^et (23) peuvent ^{se mettre sous}

la forme

où I’argument des fonctions J est naturellement Z et où Q(Z) ^est la matrice de transfert ^du. segment

FIG. 6.

Segments représentatifs ^{de la} permittivite ^e:.

consid6r6. Si les extrémités du segment ^consid6r6

sont designees par les indices m et n, ^on aura,

111-1-2) A > 0, x ⁰ (fig. 6.2).

Posons X === - x > 0. Les equations (20) ^et (21)

deviennent

En posant p

^b > 0 on voit _que la solution pour E ^{est une} fonction de Bessel modifiee

ou cette fois,

755

Rappelons que

et

La matrice de transfert du segment ^{est alors} donn6e _par

111-1-3) A 0, x > ⁰ ( fcg. 6.3).

La transformation P =: - ^b

^{k2 A} 2 > 0 conduit a la matrice de transfert

ou I’argument des fonctions 7 est

et ou JAI remplace A dans les expressions (22) ^et (23) ^de y et &. °

111-1-4) ^A 0, x ⁰ (fig. 6.4).

La transformation X

^x > 0 conduit a la matrice

ou I’argument des fonctions J est

et ou IAI remplace A ^{dans les} expressions (22) ^et (23)

ni-i-5) ^A

^0.

a) e

⁰ (fig. 6.5a).

^Les equations (20) ^et (21)

donnent

La matrice de transfert est ici

b) c

^B

^{Ct- :A 0} (flg. 6.5b).

Si l’on pose (X2 ==- k2 B ^{on trouve} aisement

La matrice de transfert devient

111-2. RACCORDEMENT DE DEUX SEGMENTS DE

MEME PENTE.

z) Soient deux segments ^des types (1) ^et (2) respectivement. Quels ^{sont les rela-}

tions entre les coefficients M et N correspondants ?

Les equations ^de raccordement (9) ^{se traduisent}

sous forme matricielle

Mais d’apr6s Jahnke-Emde, p. 207,

On en tire

b) ^{Si les} segments ^{sont des} types (3) ^et (4) ^res- pectivement, ^on voit de la meme maniere _que

111-3. SEGMENTS SYMETRIQUES PAR RAPPORT A

L’AxE x

0.

L’énergie ^se propageant toujours

de

oo a + oo, soit 9.1la matrice caractéristique qui, ^{lie les vecteurs Ea, Ha, en amont, et} Eb, Hb,

en aval d’un segment ^{donne :}

Une relation analogue peut etre 6crite pour ^un

segment symetrique ^du premier ^et que nous carac-

t6riserons _par un signe prime. ^{Il est} demontre, ^dans

I’annexe 2, que

Si les deux segments sym6triques ^sont adjacents

et si

on trouve ais6ment la matrice caractéristique ^de

1’ensemble :

En tenant compte ^{de la} propriété ^{bien connue des} quadripoles : JUI

^i.

Remarques : ^1. Les calculs sont simplifies par la

r6gle suivante : l’inverse d’une matrice carr6e de rang 2 s’obtient en inversant les positions ^des

termes de la diagonale principale ^{et en} changeant

seulement les signes ^{des termes de la 2e} diagonale,

756

puis ^{en divisant tous les} termes par le determinant de la matrice initiale.

2. Les tables numeriques des fonctions de Bessel

se trouvent dans Jahnke-Emde-Losch (1960) ^ou

dans les references citees par ^ces auteurs ; ^{voir en} particulier les tables du National Bureau of Stan-

dards, NeW-York, ^{1948 et} 1949, p. 413 ^et 365.

111-4. REPARTITION TRAPEZOIDALE ISOCELE.

Ce cas est illustre par la figure ^{7 ou} l’on suppose

FIG. 7.

R6partition trapezoidale ^isocele.

que le vide regne ^{en x} > xz ^{et en x} x, (s

1).

Cette répartition ^est entièrement définie par les para- mètres _Xl et B.

La matrice caractéristique UDp ^{est donn6e} par la relation (33), ^{ou U est la matrice} caractéristique

de la moiti6 gauche (par exemple), ^soit

Les matrices Qa, Q4 ^et Qs ^{sont donnees} par (26), (27) ^et (29), respectivement ; d’après ^{le § 111-2 on} peut poser

Comme A 4(1 - B) _3x ^{’ les arguments qui fi-}

gurent ^dans (34) ^sont

On voit que ^tous les r6sultats peuvent etre ^donnés

en fonction des paramètres xI/À ^{et B.}

Or la region ^{GK est} parcourue par ^une onde incidente vers la droite (e-"x) ^{et une} onde r6fl6chie

vers la gauche (bCCZ). ^{En toute} rigueur, ^le plasma

n’est done jamais parfaitement opaque ; ^ce pheno-

mene est 6videmment analogue ^{a 1’effet « tunnel»}

de la mecanique quantique. Toutefois, des que

et l’on peut admettre que

en n6gligeant l’influence de la moiti6 droite du

plasma ^et l’onde réfléchie en K ( § III-1-5b).

Il est important de remarquer que cela ne peut

se faire ^au voisinage ^{de la} fréquence ^de coupure nominale (B 0) pour des plasmas d’jpaisseur infé-

rieure a la longueur ^{d’onde de travail} (cf. Epstein).

Dans ce qui suit, ^nous admettrons, sauf indi- cation expresse, que le plasma ^{est assez} 6pais ^{et la} frequence de travail tres inf6rieure a la frequence

de _coupure nominale : ce sont les conditions d’un

plasma parfaitement réfléchissant.

111-5. PLASMA PARFAITEMENT REFLECHISSANT.

-

Ce cas est illustre _par la figure ^{8 ou l’on} suppose

FIG. 8.

Plasma parfaitement réfléchissant."

que le vide regne ^{en x XD et ou} l’origine ^des

abscisses a ete prise ^{dans le} plan ^ou la densite effective est 6gale ^a la densite critique ^corres- pondant ^{a la} frequence ^{de travail. La matrice} caractéristique ^{est alors} donn6e par

où

l’imp6dance presentee par le plasma ^au point ^{D est}

alors

757 et le coefficient de reflexion, par consequent

avec

De nombreux expérimentateurs ^mesurent l’angle

de reflexion _YD (retard de l’ onde r6fl6chie _par rapport

a l’onde incidente en D) ^{et ils en d6duisent la dis-}

tance DO

xD. 11 est donc int6ressant de con-

naltre la relation entre ’pD et ^XD-

Quand xD jA --> 0 (transition rapide ^{entre le vide}

et le plasma)

et

On en deduit

Ainsi, pour ^B variant de 0 a - 00, la limite de _cpa varie entre 0 et

r. Elle est 6gale ^a

7/2 pour

B :::::: - 1 (I

Ic/Ý2’;. On aboutit aux mêmes ré- sultats en consid6rant la relation bien connue

qui ^{n’est valable} que pour ^une transition brusque

d’un milieu a un autre.

A Fautre extreme, quand XD /À -> oo, ZD ^et ZG

ZD(- B)3/2 ^{tendent vers 1’innni} (£ ^moins

que B

0, coupure nominale)

Il en r6sulte _{que a} et b tendent vers

Tandis _que c et d tendent vers

d’ou

Or, le retard de phase d’une onde qui, partant

de D, ^se r6fl6chit en 0 sans changement ^de phase puis ^{revient en D est}

Ce r6sultat est a rapprocher ^{de celui} du § 11-2, equation (14).

Le raccordement entre les deux valeurs extremes

(36) ^et (37) ^de YD ^se fait par ^une courbe sinueuse voir la fig. 9).

FIG. 9.

Retard de phase de l’onde r6fl6chie

sur un plasma parfaitement réf1échissant. B

emi.

Cette courbe tend vers l’asymptote (37) ^d’autant plus rapidement que IBI ^est plus grand : ^{la diff 6-}

rence entre la valeur r6elle et la valeur asympto- tique ^devient n6gligeable des que ZD ^et ZG d6pas-

sent la valeur 2. Si - B 1 il faut pour cela _que

Par exemple, ^si lell

1,2, ^B

0,44 ^{et la}

condition (38) ^devient

On voit que, pour des fréquences peu inf6rieures a fc, le raccordement ne se fera _{que pour de} grandes

valeurs de xD /x. ^{A la} limite pour f

/c, ^B

^{0 le}

calcul montre que pD tend asymptotiquement ^vers Ainsi, pour

^{1 B} 0, ? ^{se situe} grossiè...

rement entre les valeurs (37) ^et (39) ^{et ne} dépend

pas seulement de xD /À.

ANNEXE 1

Relation entre la phase ^et 1’amplitude ^{d’une onde}

plane.

La solution ^de l’équation (13) ^de propa?

gation ^du champ 6lectrique, peut ^{se mettre sous ]a}

forme

o7h (D satisfait a la condition

Posons O’

rx + jp ; l’équation précédente ^se

subdivise en et

L’int6gration ^{de la} premiere ^{ce ces deux} 6qua-

tions donne

Mais

ou _ 3m[O] ^{est la} phase ^{de E au sens habituel}

du terme.

D’autre part,

et, par consequent

d’oit

qui equivaut ^a (19). ^On peut g6n6raliser pour ^un milieu dissipati f ^{en écrivant E}

^Er - j ^{Ei on obtient}

alors

Notons que

:Jte(E ^X H*)

puissance ^transmise par unite de surface a travers le plan d’abscisse ^x.

somm6e dans un cylindre ^de longueur x ^{et d’aire de}

section droite agale ^{a 1. 11 en r6sulte} que

[puissance ^{transmise en x +} puissance ^consommee de 0 a x].

La relation (19) n’exprime ^{donc rien} d’arztre que le

principe de conservation de l’ énergie.

Remarques : ^1. cp ^est la phase ^du champ ^elec- trique ^{resultant et non celle d’une} quelconque ^onde

incidente ou réfléchie.

2. La relation ci-dessus d6montr6e serait 6vi- demment valable _{pour H} si e etait constante et V, variable ^en fonction de x.

3. La constante d’intégration Po ^est caract6ris-

tique ^non seulement des propri6t6s ^{du milieu mais}

aussi des conditions aux limites.

ANNEXE 2

Matrices de transfert de tranches de plasma sy-

métriques par rapport ^au plan ^central.

^Consi-

derons la tranche de plasma ^{comme un} quadripole

de matrice U (fig. 10). La matrice ’LL’, ^d’une

tranche sym6trique par rapport ^au plan ^central (fig. 10) ^est identique ^a celle de la tranche initiale

FIG. 10.

Quadripôles representatifs de tranches de

plasma sym6triques par rapport ^au plan ^central.

lorsque ^{le sens de} propagation ^de 1’6nergie ^{est in-}

vers6e. Or pour inverser le sens de propagation, ^il

suffit de changer partout ^{H en} - H (flg. 10). ^Or

et

On en deduit

La matrice cherch6e est done

qui ^est 6quivalente ^a celle définie _par (32)

Manuscrit _regu le 20 mai 1961.

BIBLIOGRAPHIE

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