Ondes et photons - II. Approximation de Pauli

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Ondes et photons - II. Approximation de Pauli

Al. Proca

To cite this version:

ONDES ET PHOTONS

. II. APPROXIMATION DE PAULI Par AL. PROCA. Institut Henri-Poincaré, Paris.

Sommaire. 2014 L’auteur examine la première approximation d’une _{mécanique quantique} des _photons dans l’espace de _{configuration,} fondée sur les _{principes indiqués} dans un _précédent article _(Journal de Phy-sique, 1934, t. 5, p. 6).

L’approximation consiste à décrire le photon par une fonction d’onde à deux composantes seulement. On obtient l’expression des _composantes du _{champ électromagnétique, qui} satisfont aux _équations de

Maxwell et se transforment correctement. On trouve _{qu’un photon d’énergie} et de _quantité de mouvement

bien

définies _correspond à une lumière _polarisée circulairement dans un sens déterminé.

Pour le problème général de la signification des

_énergies

_negatives, ces résultats conduisent à l’interpré-tation suivante, à vérifier :

L’énergie d’une _particule est _par essence une _quantité

_positive;

son _{signe n’indique que le} sens de

_rotation,

droit ou

_gauche,

de certains _champs attachés à la _particule, et

_qui

se

_confondent

avec le _champ

electromagné-tique

de Maxwell si la

_particule

est un _corpuscule de lumière.

i. Introduction. - Dans un

_précédent

article

₍₁₎

nous avons tenté une

_synthèse

entre _{la théorie}

quan-tique

d’une

_particule

de

_charge

et de masse nulles et la théorie

_{électromagnétique}

de Maxwell. Nous avons vu

_qu’étant

donnée la fonction d’onde de de

_Broglie

_~.~

de la

_particule

dans

_l’espace

de

_{configuration,}

il

était

possible

de trouver certaines fonctions e,

h,

qu’on

pouvait regarder

comme le

_{champ électromagnétique}

accompagnant

le

_photon,

_parce

_qu’elles

satisfaisaient

aux

_équations

de

_Maxwell,

se transformaient correcte-ment et conduisaient à la valeur exacte de

_{l’énergie.}

Nous nous sommes

_cependant

bornés à

l’approxima-tion de

_{Schrôdinger,}

_{c’est-à-dire que} nous avons

sup-posé

le

_photon

décrit

_{par l’équation simple}

La théorie

_qui

en _{résulte n’est pas}

_{satisfaisante,}

_pour

les mêmes raisons

_qui

font

_qu’il

_{n’est pas}

_possible

d’établir une

_mécanique

relativiste de l’électron en par-tant d’une

_équation

du second ordre.

IL est même difficile de

_regarder

cette théorie comme une véritable

_première

_{approximation;}

en

_effet,

la

mé-canique

de

_{Schrodinger (dont}

la

_précédente

n’est

_qu’un

cas

_particulier

_{pour »1} =

_0),

n’est

_{applicable qu’aux}

particules

de vitesse réduite, condition que ne

rem-plissent

certainement pas les

photons.

Avant de passer à la théorie

exacte,

nous allons examiner un autre

_traitement,

_qui

constitue cette fois-ci

effectivement une

_première

_{approximation}

et _que nous

appellerons

« de Pauli _{», parce}

_qu’il

n’introduit que deux fonctions d’ondes pour décrire la

(1) Journal de _Physique, 19:H, t. 5, p. 6. Xous désignerons cet

article par I ; voir aussi _Corllptes 1933, t. 197, p, 1 123 et

Hl34, t. _198,

p.

54.

particule,

au lieu des

_quatre

_{qu’exigerait}

la théorie de Dirac.

Considérons un électron de

_Dirac,

en absence de

champ ;

son mouvement est

_gouverné

_{par les}

_quatre

équations

suivantes que nous écrirons en

_employant

le

symbolisme

des

_{spineurs (1) :}

Si ces

_équations

sont exactes _pour une

_particule

quel-conque, il

faudrait,

pour

pouvoir

assimiler cette

der-nière à un

_photon,

admettre d abord que sa

_chargée

et

sa masse soient

nulles;

on aurait donc

_simplement

Ensuite,

il faudrait

_s’arranger

_{pour le}

_spin

de _la par-ticule que nous assimilons à un

_photon

soit nul ou

_égal

à Nous discuterons en détail cette

_question

du

spin

dans un article

_prochain,

consacré à l’étude de

,1’approximation

de Dirac. Nous verrons

_{cependant plus}

loin

_{qu’à l’approximation}

de

Pauli,

traitée

ici,

le

_spin

du

_photon

est

nul,

en vertu de la manière même dont

on choisit cette

_{approximation.}

La difficulté est ainsi

éludée ;

nous la retrouverons entière dans la théorie exacte.

2.

_{Décomposition}

fondamentale. - L’idée fon-damentale que nous avons utilisée dans nos

_{précédentes}

(1) Cf. p. ex. IMPORTE et _{UIILE--IBECK, Illiyçtcal} 1930. _37, p. 1380.

122

publications

est la suivante.

_{L’impossibilité}

de

réali-ser la

_synthèse

entre la théorie de Maxwell et la théorie de

Dirac,

vient du fait que la

première peut

être

déve-loppée

sans faire aucunement

_appel

à des

_spineurs,

tandis

_qu’il

n’en est _{pas de même pour la seconde. Si} donc nous voulons relier d’une

façon

ou d’une autre les

spineurs qui

définissent le mouvement d’un

_photon

aux

_composantes

du

_champ

_{électromagnétique}

e, h, il

faudra nécessairement utiliser d’autres

_spineurs

_qui,

combinés avec les

_premiers,

fourniront des

_grandeurs

se transformant comme e et h. Cette seconde

_catégorie

de

_spineurs,

nous la trouverons

_{en décomposant}

le vec-teur d’univers

Tout comme la théorie de

_Dirac,

basée sur la

dé-composition

d’un

_scalaire,

celle

_qui

suit est fondée sur la

décomposition

du vecteur

_(4).

La théorie de Dirac nous

donne

_l’exemple

d’une

_{décomposition}

de ce _{genre : les}

composantes

du courant

se

_présentent

comme des fonctions

_{quadratiques des ~ ;}

les formules

₍₅₎

réalisent une certaine «

décomposi-tion » du

_{vecteur i,..}

Il

_s’agit

de trouver une

décom-position analogue

pour le cas du vecteur

_(4).

Nous traiterons le

_{problème général}

dans un

pro-chain article. Pour

l’instant,

nous _remarquerons

_qu’ici

le

_problème

semble se

_simplifier

du fait _{que, m} étant

nul,

on a

_{toujours, quel}

_{que soit}

_Ç,

_{ou )t), :}

soit

Nous admettons en outre _{que les}

_opérateurs

en

les-quels

on

_décompose

le vecteur

₍₄₎

doivent tous ètre commutables entre eux et avec les

composantes

(4).

Comme dans

_I,

nous devons d’abord obtenir de tels

opérateurs

et _{les utiliser pour former de nouvelles} fonctions

_qui

décrivent le

_{champ ;}

nous aurons ensuite à prouver que ces fonctions

_jouissent

_{bien des}

pro-priétés

que nous leur avons

_supposées.

3. Théorie à deux

composantes. -

Considérons

d’abord un vecteur d’univers Ar

_(r

_{= 1, 2,}

_3,4)

_réel,

ordinaire

_{(c’est-à-dire}

_qui

ne soit pas nécessairement un

_opérateur)

et satisfaisant de

_plus

à la condition

Soit a~~ le

spineur qui

lui est attaché comme

d’habi-tude,

au~moyen

des formules

Les ai2 et a-, sont

imaginaires conjuguées ;

a;~ azz

sont réels.

La

_{décomposition}

la

_plus

_simple

et t la

_plus

immé-diate de ce

_spineur

_a,? s’obtient _{évidemment au moyen}

d’un seul

_spineur

inconnu

us, donc de deux

fonctions Ut

et u2. Elle consiste à poser

Cela

_{exige cependant}

_que

soit

qui

n’est autre que la condition

(7) ;

c’est cette condi-tion

_qui

nous

_permet

la

_{décomposition simple}

_~9).

Un seul

_{spineur us,}

_signifie

_quatre

_composantes

réelles;

or, on ne se donne que trois

_quantités

indé-pendantes (à

cause de

_{(7) );}

nos formules finales

com-porteront

donc une arbitraire. Posons

_alors,

_pouravoir

des formules

_symétriques

donc

ce

_qui

_impose

condition assurée si tous les ~r sont

_positifs.

Posons (?

= a.

_{--- ~3;}

on a

Appelons

a-un

_angle

arbitraire et écrivons

On en déduit

Nous avons fait entrer le double

_signe

devant le radi-cal dans l’arbitraire eÚ.

_Remarquons

encore _que ces formules ne sont _{valables que si}

_(11’)

est

satisfaite,

ce

qui

est d’une

_{importance capitale;}

nous reviendrons au

paragraphe

7 sur ce

_point.

et faisons en outre le

_changement

de variables

Nous aurons finalement

Nous attribuerons aux

symboles d ,

... le même

ôg

sens

(dérivées

d’ordre

_{fractionnaire)}

_que nous avons

introduit dans I.

4.

_{Application. -}

Considérons une onde

_plane

de la forme

(17)

avec la condition W >

_0,

sans

_laquelle

les formules

₍₁₃₎

ne seraient

_plus

_applicables.

On

_peut

écrire :

()n a, alors

en _{choisissant la même détermina,tion pour}

_Quant

à

_{l’opérateur}

ei on

_peut

lui

appliquer

tout ce _que nous avons dit dans 1

_{(Paragraphe 7),}

sauf ce

_qui

concerne son

_{interprétation physique.}

5

_Expression

des

composantes

du

_champ.

-Considérons maintenant une

_particule

de

_charge

et de

masse au _repos

_nulles;

une telle

_particule

sera décrite

en

_{mécanique quantique,}

_{par les}

_équations

_déjà

men-tionnées

Si cette

_particule

est assimilable à un

_{photon, quelles}

seront les valeurs du

_{champ électrornagnétique}

de la lumière

_{correspondante? D’après}

le

_procédé

utilisé dans

I,

nous devons obtenir ces valeurs en combinant

convenablement les

composantes

us, fournies par la

décomposition

du

vecteur ,

et les

_{spineurs ,;., zi.,}

_qui

décrivent le

_corpuscule

de lumière

_{dans l’espace de}

con-figuration.

Il suffira de trouver un

_{spineur symétrique}

du second

rang, de la forme

9;.’s;

les valeurs des

composantes

du

champ

s’en déduiront par les formules

indiquées

par Uhlenbeck et

_Laporte

_(loc.

cit. et aussi

1934,

t.198,

p.

452).

Or,

la manière la

_{plus simple}

de former un

_pareil

spineur

du second

_ordre,

consiste _{évidemment à} pren-dre

I.À

identiquement

nul

et à utiliser

_’f~

_pour former

Ce

_gr;;

_(donc

le

_{élect?oi>ia,q>iétique}

correspon-dant) satisfait aux équations

de Maxwell

_satisfait

celles de En

effet,

les

_équations

cle Maxwell

s’écrivent

_{(Cf. Laporte}

et

_Uhlenbeck,

loc.

_cit.)

et l’on _a, à cause de la commutabilité des

_{1. ,}

le second terme étant nul en vertu de

_{l’équation}

de Dirac

₍₃₎

et le

_premier

à cause de l’identité

fondamen-tale du calcul des

_spineurs

Cela nous conduit donc à définir un

_photon

_{par les}

équations quantiques (20)

et

_(3),

_photon

dont le

_champ

électromagnétique

est

_(,21)

ou,

mieux,

à dire que le

champ

n’est défini _{que par les} deux

_{composante s,,.I., ,}

-satisfaisant au

_{système unique}

- 0.

Ecrivons d’une

façon

explicite

ce

_champ.

On a en

général

les relations suivantes entre _g;’8 et le

_{champ :}

124

On a donc

_simplement

t

et il suffira de

_{prendre les}

_{parties réelles}

et

_imaginaires

des seconds membres pour avoir les valeurs

(réelles)

des

_composantes

du

_{champ électromagnétique.}

Etant donné que

ou

_peut

écrire

Un voit

_qu’en

vertu de

₍₂₀₎

le du

_photon,

défini

comme en

_{mécanique quantique}

_par

est nul : la lumière est

_dépourvue

de

_spin

à

l’appro-(nation de Pauli.

6. Polarisation. - Si la lumière n’a pas de

spin

clle

_possède

_{par contre} une

_{polarisation.}

Pendant un

certain

_temps,

on a cherché à mettre en

_parallèle

le

soin

des

_particules

et la

_polarisatiun

des ondes

électro-magnétiques

et à réaliser des

_expériences

sur le

_spin

électrons

_qui

soient

_l’analogue

des

_expériences

de

polarisation

lumineuse. Du

_point

de vue

_auquel

nous oous

_plaçons

_ici,

cette manière de faire

_apparaît

comme

une erreur. La

_présente

théorie

_sépare

nettement la notion de

_spin

et celle de

_polarisation

et

_explique

l’ia-succès des tentatives

_{expérimentales mentionnées ;}

elle

suggère

une autre direction dans

_lacluclle

ces dernières devraient

_s’engager.

Considérons un

_{photon d’énergie}

et de

_quantité

de mouvement bien

_{déterminées;}

il sera

_représenté

_par

une onde

_plane

et nous ne diminuerons en rien la

géné-ralité en

_supposant

_{que celle-ci} se _{propage le}

_long

de l’axe Ox. La fonction d’onde du

_photon

sera

Un doit

avoir -

=

_ï)2

et les

.1,

doivent satisfaire

c

aux

_équations

de Dirac

_qui

s’écri;ent ici

Puisque

0,

on doit

_prendre

donc

-41

=

li

reste arbitraire. Posons

-1,

_{_ ~}

Cela

étant,

calculons les

_champs

au _{moyen des}

for-mules

_(~3’)

et

_{( 19)}

en

_admettant,

comme dans

I,

que E

désigne

l’opérateur

«

_{multiplication}

_par un nombre e ".

On a facilement

soit avec :

On voit

_qu’à

l’encontre de

_l’angle

arbitraire a

qui

s’introduit à

_{l’approximation}

de

_Schrôdinger

et

_qu’on

devait

_interpréter

comme

_{un angle}

de

_{polarisa lion,}

l’an-gle

E n’a aucune influence sur la valeur des

_composantes

des

_champs.

L’arbitraire E

_qui

_provient

des

_opérateurs

u; se fond dans celui

_qui

a _pour

_origine

le _{fait que les}

~

ne sont _{déterminés par les}

_équations

de Dirac

_qu’à

un facteur de

_{phase près.}

_{Cela fait que la lumière}

cor-respondant

à un

_photon

déterminé a une

_polarisation

définie et nullement arbitraire.

Les formules

₍₂₈₎

montrent

_{qu’un photon}

_{décrit par}

correspond

v une lumière se

_propageant

dans la même direction que le

photon,

à savoir

_Ox,

et

_ayant

risation circulaire droite.

Les

_composantes

des

_champs

ne sont déterminées

qu’à

un facteur

_près,

dont le module

_peut

_{être fixé par} la _{condition que}

_l’énergie

du

_champ

lumineux soit

égale

à celle du

_photon;

il reste encore un facteur de

phase qui, lui,

est arbitraire.

7. Problème des

_{énergies négatives. -}

Un

photon d’énergie positive

représente

donc une lumière

ce résultat est établi d’une

_façon

certaine à

l’approxima-tion de Pauli et il subsiste

_également

dans la théorie exacte. Il est naturel alors de penser que,

probablement,

un

_{photon dléjïei-gie négative}

_{représentera}

une

polarisée

circulairement en sens inverse.

Nous verrons dans la théorie exacte

_qu’il

en est effec-tivement

ainsi;

mais les

_{développements précédents}

ne nous

_permettent

_{pas de vérifier l’exactitude de} cette

suggestion;

l’approxi»iatioii

de Pauli 1le

_suffit

_pas

pour cela.

En

effet,

nous _{n’avons pas le droit de conclure à}

par-tir du

_{paragraphe précédent}

_{que, si} un

_photon

d’éner-gie positive représente

une lumière

_polarisée

circulai-rement dans un certain sens, un

_photon

_d’énergie

néga-tive

_{représentera}

une lumière

_polarisée

en sens

contrai-re. La

_{décomposition (13)}

ne serait

_plus

valable dans le

cas où

parce que nous tomberions sur le cas

que nous avons

_{expressément}

_éliminé;

la dernière des

équations

(8)

conduirait à une

_{impossibilité.}

Nous pouvons

évidemment,

dans le cas A’ -

_0,

obtenir une autre

_{décomposition}

en

_changeant

le

_signe

des seconds membres des deux dernières

_{équations (8).}

Les formules

_obtenues,

_qui

sont différentes des

précé-dentes,

s’appliqueront

alors exclusivement aux

parti-cules du

_type

₍₂₉₎

à

_{énergie négative,}

_auxquelles

cor-respondraient

des

_champs

tournant en sens inverse des

_{précédents.}

En

résumé,

les calculs que nous avons

_développés

ne sont

_applicables

_{que pour les}

_{énergies comprises}

entre 0 et

_{+ 00;}

des formules

_analogues,

mais non

identiques,

permettent

d’examiner le domaine de 0 à mais il n’est pas

possible,

à

_{1"approximation}

de

Pauli,

de donner des formules

_uniques

pour tout l’in-tervalle -

--~

oc .

Cela montre en

_quel

sens la théorie

_précédente

est

une

_{approximation}

et les conditions dans

_lesquelles

elle est

_applicable.

_{Cela prouve aussi le fait} connu

₍₁₎

_qu’une

(1) W. _PAULi, Handbucla der

_Physik,

1933, t. _{XXIV-1, p. 226.}

théorie relativiste à deux

_composantes

_{n’est pas} réali-sable. Il faut donc passer à

_{l’approximation}

de

_Dirac,

ce _que nous ferons dans l’article suivant.

Les résultats

_précédents

_suggèrent

une nouvelle

_ligne

d’attaque

du

_problème

des

_{énergies négatives}

d’une

particule

quelconque,

photon

ou électron. Dans toute théorie comme

_celle-ci,

basée sur les

_équations

de

Dirac,

il semble

_qu’on

doive se heurter inévitablement

à un certain moment à une difficulté

insurmontable,

constituée par

l’apparition

des

_{énergies négatives.}

Or,

pour le cas du

_photon,

cette

_{circonstance,}

loin de cons-tituer une

_difficulté,

est au contraire un élément

indis-pensable

à toute théorie

correcte;

en

_effet,

il est

indis-pensable

d’avoir des

_champs

tournant dans les

_deux

sens _pour

_pouvoir

réaliser une lumière

polarisée

liné-airement. D’autre

_part,

on _{sait que dans la théorie de}

1-’électron de

Dirac,

on ne

_peut

_également

_pas se _passer

de la considération des

_{énergies négatives.}

En aucun

cas, nous ne _{pouvons les}

_éliminer;

nous sommes donc

obligés

de les

_{interpréter.}

Or,

les

_{développements précédents}

nous

_suggèrent

l’interprétation

suivante :

La _{notion intuitive que} nous avons de

_l’énergie

d’une

_{particule quelconque}

ne nous

_permet

_pas

d’attri-buer un

_signe

au nombre

_qui

la mesure;

l’énergie

ne

peut

être pour

noues,

au moins avec nos habitudes

d’esprit

actuelles,

qu’une

quantité

essentielleine>it

posi-tive,

égale

à la valeur

_absolues

₁

₁

de ce nombre. Nous pouvons

cependant

attribuer une

_{signification}

intuitive aux

_signes

_{+ et}

-

dont est affecté ce

nombre : ces

_signes

_{indiquent sinlplement}

le de

rotation droit ou

_gauche

de certains attachés

à la

_particule.

Si la

_particule

est un

photon,

ce

_champ

sera le

_{champ électromagnétique}

de la

lumière;

un

photon d’énergie positive représentera

une lumière

polarisée

circulairement à droite et un

_photon

d’éner-gie négative

une lumière

_polarisée

à

_gauche.

_{Si la} par-ticule est un

_électron,

nous devons chercher

_quels

sont les

_{champs qui}

_jouent

ce rôle et

_qui

_permettent

ainsi une

_{interprétation}

des

_{énergies négatives;}

les considé-rations

_{précédentes}

montrent leur

_importance

et lais-sent

_prévoir

_{que la}

_comparaison

avec la théorie des trous de Dirac

_pourrait

être très fructueuse.