E214 – Les punitions de Zig et de Puce [*** à la main]
Zig et Puce ont chahuté en classe de mathématiques. Pour les punir, leur professeur qui n’est plus autorisé à leur faire copier cinq cents fois la même ligne, leur donne les deux exercices suivants destinés à les occuper pendant un bon moment:
E₁ Puce reçoit une première liste de 2019 entiers compris entre 0 et n qu’il doit recopier sur une même colonne puis en face de chaque entier il doit écrire sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier apparaît dans la première colonne.
Puce constate qu'en lisant la deuxième colonne de bas en haut, il obtient la liste de la première colonne lue de haut en bas. Déterminer la plus petite valeur possible de n.
E₂ Zig reçoit une deuxième liste de 2019 entiers pas nécessairement distincts qu’il doit recopier sur une même colonne. Comme l’a fait Puce, il doit écrire en face de chaque entier sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier figure dans la première colonne. A l’inverse de Puce, il poursuit sur une
troisième colonne en écrivant en face de chaque entier de la deuxième colonne le nombre de fois où il figure dans cette même colonne. Et ainsi de suite...
Zig ne peut s'arrêter que lorsque tous les entiers de la (k − 1)ième colonne et ceux la kième colonne sont ligne à ligne identiques avec k ≥ 3.Il obtient ainsi un tableau Tk de 2019 lignes et k colonnes.
Q₁ Démontrer que Zig est certain de s'arrêter après avoir écrit un nombre fini de colonnes.
Q₂ Trouver le nombre maximum de colonnes du tableau Tk.Q₃ Décrire une liste de 2019 entiers telle que Tk
contient le maximum de colonnes et la dernière colonne contient au moins cinq entiers distincts.
Solution proposée par Raymond Bloch à la partie E1.
Appelons C1 et C2 les deux colonnes. Puisque C2 est la symétrique de C1 par rapport au centre de C1, il en résulte que :
1- Il est impossible qu’une ligne du tableau formé par les deux colonnes comporte deux nombres distincts : toutes les lignes comportent deux fois le même nombre.
2- Il ne peut y avoir qu’un nombre impair 2k+1 dans le tableau, et la symétrie conduit à placer les 2k+1 nombres 2k+1 au centre de C1 et au centre de C2. Afin de placer 2019 paires de nombres identiques dans le tableau que forment C1 et C2, on inscrit de haut en bas :
2 2
4 4
4 4
6 6
6 6
6 6
………….
2k 2k
…………..
2k 2k
I I
…………
I I
2k 2k
…………..
2k 2k
………
6 6
6 6
6 6
4 4
4 4
4 4
2 2
Il y a 2k lignes comportant 2k, et « I » lignes comportant le seul nombre impair « I » du tableau.
Il y a 2019 nombres sur chacune de colonnes C1 et C2 :
2(2+4+6+…+2k) + I = 2019, ou 2k(k + 1) = 2019 – I, donc k ≤ 44.
Nous choisissons donc k = 44, d’où I = 2019 – 44*45 = 39.
En résumé, C1 comporte de haut en bas : un 2, deux 4, trois 6,…, quarante quatre fois 88, trente neuf fois 39, quarante quatre fois 88, ….,trois fois 6, deux fois 4, une fois 2, soit
2+4+6+…+88+39 = 2(44*45/2) + 39 = 1980 + 39 =2019 termes.
La plus petite valeur de n, le plus grand nombre de la liste C1, est donc 88.
