Enoncé E666 (Diophante) Perles à rebours
Zig et Puce jouent au jeu suivant :
Ils ont un collier de n perles (n ≥ 2), chacune ayant une valeur entière positive (en euros).
Le premier joueur Zig coupe le collier au niveau d’une perle de son choix et garde cette perle.
Le collier est maintenant linéaire avec deux extrémités.
Puis, chacun à tour de rôle Puce, Zig, Puce etc. choisit une perle à l’une des deux extrémités de ce qui reste. A la fin, celui qui a la plus grande valeur cumulée gagne.
Le jeu est dit favorable à un joueur J si celui-ci a une stratégie lui per- mettant de s’assurer au moins la moitié de la valeur totale du collier. Le jeu est dit défavorable sinon.
a) Montrer que si nest pair, le jeu est toujours favorable à Zig.
b) Montrer que si n= 3, le jeu est favorable à Zig.
c) Que se passe-t-il lorsque n= 5 ?
d) Trouver un collier pour lequel le jeu est défavorable à Zig.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
a) Supposons les perles alternativement coloriées en rouge et en jaune, avec –par exemple– la valeur totale des perles rouges supérieure à la va- leur totale des perles jaunes. Zig peut gagner en prenant toutes les perles rouges ; en effet, après avoir coupé le collier et pris une première perle rouge, il laisse à Puce le choix entre les deux perles jaunes qui terminent la file de perles ; quel que soit ce choix, Puce laissera à Zig une file avec une extrémité rouge et une extrémité jaune, permettant à Zig de répéter son coup.
Si les perles rouges et les perles jaunes ont même valeur totale, Zig a encore une stratégie gagnante si une perle –par exemple jaune– a une valeur plus forte que chacune de ses voisines ; coupant le collier à cette perle, Zig aura un avantage sur Puce une fois que celui-ci aura pris une perle (rouge) à son tour, et dans la file restante la valeur totale des perles rouges est supérieure à la valeur totale des perles jaunes.
Cette stratégie s’adapte aussi au cas où aucune perle n’a de valeur plus forte que ses deux voisines, s’il existe une séquence d’un nombre impair de perles de même valeur encadrée par deux perles de valeur plus faible ; Zig gagnera en prenant en premier une perle commençant cette séquence.
C’est seulement si les perles se suivent par paires de même valeur que Zig ne peut empêcher Puce d’égaler son total.
b) Zig peut prendre d’abord la perle de plus grande valeur ; Puce prendra une perle au plus égale, et Zig gagne en prenant la dernière perle.
c) Quand Zig a pris la première perle, Puce se trouve face à une file d’un nombre pair de perles, qu’on peut supposer alternativement coloriées en rouge et en jaune. Puce a alors la possibilité de prendre toutes les perles rouges ; mais cela ne le fait gagner que si la différence entre total rouge et total jaune fait plus que contrebalancer l’avantage pris par Zig avec la première perle.
Si les perles sont dans l’ordreabcdeet que Zig a pris la perlea, la stratégie ci-dessus donne à Puce un avantage|b−c+d−e|qui lui permet de gagner si|b−c+d−e|> a. Mais Zig a le choix de la perle qu’il prend au début.
Si par exemple Puce peut gagner en prenantbetdquand Zig a commencé paraou e, c’est que b+d > a+c+e.
Pour que Puce gagne si Zig commence parb(ouc), il fautd+a > b+c+e, mais alors Zig gagnera en commençant pard, quel que soit le choix de Puce entrea+c,a+e,b+c, c+eetb+e, puisque b+ddominea+c,a+e etc+e, et que a+ddomineb+c,c+eetb+e.
d) Il résulte des questions précédentes qu’il faut, pour donner à Puce une stratégie gagnante, un nombre de perles impair≥7.
Je n’ai pas su imaginer une configuration des perles permettant une telle stratégie.
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