E666- Perles à rebours
Zig et Puce jouent au jeu suivant :
Ils ont un collier de n perles (n 2), chacune ayant une valeur entière positive (en euros).
Le premier joueur : Zig, coupe le collier au niveau d’une perle de son choix et garde cette perle.
Le collier est maintenant linéaire avec deux extrémités.
Puis, chacun à tour de rôle : Puce, Zig, Puce etc. choisit une perle à l’une des deux extrémités de ce qui reste. A la fin, celui qui a la plus grande valeur cumulée gagne.
Le jeu est dit favorable à un joueur J si celui-ci a une stratégie lui permettant de s’assurer au moins la moitié de la valeur totale du collier. Le jeu est dit défavorable sinon.
a) Montrer que si n est pair, le jeu est toujours favorable à Zig.
b) Montrer que si n = 3, le jeu est favorable à Zig.
c) Que se passe t-il lorsque n = 5 ?
d) Trouver un collier pour lequel le jeu est défavorable à Zig.
Solution proposée par Michel Lafond:
a) Lorsque n est pair, soient a1, a2, a3, a4 --- a2n les valeurs successives des perles du collier.
Notons S1 = a1 + a3 + a5 + --- + a2n-1 la somme des valeurs pour les perles de rang impair ; S2 = a2 + a4 + a6 + --- + a2n la somme des valeurs pour les perles de rang pair et S = S1 + S2.
L’une des sommes S1 ou S2, disons S1, est supérieure ou égale à S / 2.
Zig n’a qu’à prendre la perle a1 au premier coup pour être en mesure de rafler toutes les perles de rang impair et gagner la partie.
Ce raisonnement ne marche plus lorsque n est impair.
* * * * * * * * * *
b) Si n = 3 avec les valeurs de perles a, b, c Zig gagne en prenant au premier coup la perle de valeur maximale disons a. Puce prendra évidemment la perle restante (b ou c) de valeur maximale disons b. Zig prend la dernière perle et obtient a + c = MAX (a, b, c) + MIN (a, b, c) quantité supérieure ou égale à la somme b obtenue par Puce. Remarquons qu’il y a égalité si a = 1, b = 1 et c = 0. Mais par définition le jeu est encore favorable à Zig.
* * * * * * * * * * Remarque :
Il est faux de dire que Zig gagne toujours en prenant au premier coup la perle de valeur maximale.
Par exemple, avec le collier circulaire [5, 5, 0, 1, 0] le seul coup gagnant de Zig est de prendre la perle 1 !
c) Lorsque n = 5 : Soient (a, b, c, d, e) les valeurs successives des perles.
Après la prise de la première perle par Zig, le collier devient linéaire avec 4 perles de valeurs [x, y, z, t].
Puce prendra x ou t disons t et Zig se trouvera devant un collier linéaire à 3 perles : [x, y, z].
Il est facile de voir que le gain maximal réalisable par Zig avec le collier linéaire [x, y, z] est : G (x, y, z) = x + z sauf si MIN (x, y, z) = y auquel cas G (x, y, z) = y + MAX(x, z). (1)
Revenons au collier circulaire initial [a, b, c, d, e].
Si on s’intéresse au classement des valeurs (a, b, c, d, e), compte tenu de la circularité, on peut supposer a = MAX (a, b, c, d, e) ce qui donne 4 ! = 24 cas qui peuvent se ramener à 12 par symétrie.
Étudions ces 12 cas. On suppose par commodité de notation que les inégalités sont strictes, mais n’importe quelle inégalité stricte peut être remplacée par une inégalité au sens large.
Cas 1 : a > b > c > d > e Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + e [d’après (1)]
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + d [d’après (1)].
Puce joue au mieux, donc le gain de Zig est le minimum des deux valeurs précédentes soit Z = a + c + e.
[En effet, c < b et e < d impliquent a + c + e < a + b + d].
Mais Z = a + c + e > b + d car a > b et c > d. Donc Zig gagne.
Cas 2 : a > b > c > e > d Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + d.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + d.
Le gain de Zig est Z = a + c + d car c < b.
Mais Z = a + c + d > b + e car a > b et c > e. Donc Zig gagne.
Cas 3 : a > b > d > c > e. Il faut distinguer deux cas.
Si a + c + e > b + d Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + e.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + c.
Le gain de Zig est Z = a + c + e car e < b. Et Z = a + c + e > b + d par hypothèse.
Si a + c + e < b + d Zig gagne en prenant d car il reste le collier linéaire [e, a, b, c] et : Si Puce prend e, Zig obtiendra a + c + d.
Si Puce prend c, Zig obtiendra b + d + e.
Le gain de Zig est Z = b + d + e car b < a et e < c.
Or on ne peut pas avoir b + d + e < a + c sinon on aurait la contradiction suivante : b + d + e < a + c < a + c + e < b + d.
Donc Z = b + d + e > a + c et Zig gagne.
Cas 4 : a > b > d > e > c. Il faut distinguer deux cas.
Si a + c + e > b + d Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + e.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + c.
Le gain de Zig est Z = a + c + e car e < b. Et Z = a + c + e > b + d par hypothèse.
Si a + c + e < b + d Zig gagne en prenant d car il reste le collier linéaire [e, a, b, c] et : Si Puce prend e, Zig obtiendra a + c + d.
Si Puce prend c, Zig obtiendra b + d + e.
Hélas on ne peut pas comparer a + c + d et b + d + e. On distingue deux sous cas :
Si a + c < b + e alors Z = a + c + d. Mais a + c + d > b + e car a > b et d > e. Donc Zig gagne.
Si a + c > b + e alors Z = b + d + e.
Mais b + d + e > b + d > a + c > a + c + e > a + c. Donc Zig gagne.
Cas 5 : a > b > e > c > d Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + d + e.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + d.
Le gain de Zig est Z = a + d + e car e < b.
Mais Z = a + d + e > b + c car a > b et e > c. Donc Zig gagne.
Cas 6 : a > b > e > d > c Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + e.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + c.
Le gain de Zig est Z = a + c + e car e < b.
Mais Z = a + c + e > b + d car a > b et e > d. Donc Zig gagne.
Cas 7 : a > c > b > d > e Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + e.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + d.
On ne peut pas comparer a + c + e et a + b + d. Distinguons deux cas :
Si c + e > b + d alors Z = a + b + d. Mais a + b + d > c + e car a > c et b > e. Donc Zig gagne.
Si c + e < b + d alors Z = a + c + e. Mais a + c + e > b + d car a > b et c > d. Donc Zig gagne.
Cas 8 : a > c > b > e > d Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + d.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + d.
Le gain de Zig est Z = a + b + d car b < c.
Mais Z = a + b + d > c + e car a > c et b > e. Donc Zig gagne.
Cas 9 : a > c > d > b > e Zig gagne en prenant a. Le raisonnement est le même que dans le cas 7.
Cas 10 : a > c > d > e > b. Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + e.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + d.
Le gain de Zig est Z = a + b + d car b < e et d < c.
Mais Z = a + b + d > c + e car a > c et d > e. Donc Zig gagne.
Cas 11 : a > c > e > b > d. Il faut distinguer deux cas.
Si a + b + d > c + e Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + e.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + d.
Le gain de Zig est Z = a + b + d car d < e et b < c. Et Z = a + b + d > c + e par hypothèse.
Si a + b + d < c + e Zig gagne en prenant c car il reste le collier linéaire [d, e, a, b] et : Si Puce prend d, Zig obtiendra b + c + e.
Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + d.
On ne peut pas comparer b + c + e et a + c + d. On distingue deux sous cas :
Si b + e > a + d alors Z = a + c + d. Mais a + c + d > b + e car a > e et c > b. Donc Zig gagne.
Si b + e < a + d alors Z = b + c + e.
Or on ne peut pas avoir b + c + e < a + d sinon on aurait la contradiction suivante : b + c + e < a + d < a + b + d < c + e.
Donc Z = b + c + e > a + d. Et Zig gagne.
Cas 12 : a > c > e > d > b. Il faut distinguer deux cas.
Si a + b + d > c + e Zig gagne en prenant a car il reste le collier linéaire [b, c, d, e] et : Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + d.
Si Puce prend e, Zig obtiendra a + b + d.
Le gain de Zig est Z = a + b + d car b < c. Et Z = a + b + d > c + e par hypothèse.
Si a + b + d < c + e Zig gagne en prenant c car il reste le collier linéaire [d, e, a, b] et : Si Puce prend d, Zig obtiendra b + c + e.
Si Puce prend b, Zig obtiendra a + c + d.
Le gain de Zig est Z = b + c + e car b < d et e < a.
Or on ne peut pas avoir b + c + e < a + d sinon on aurait la contradiction suivante : b + c + e < a + d < a + b + d < c + e.
Donc Z = b + c + e > a + d. Et Zig gagne.
* * * * * * * * * * d) C’est de loin la question la plus difficile.
Avec le collier circulaire à 19 perles :
[426, 251, 133, 487, 125, 359, 0, 148, 464, 288, 326, 137, 388, 253, 471, 408, 109, 285, 119]
J’ai vérifié (par programme*) que Zig ne peut garantir que 49,488…% de la valeur totale.
La présence d’une perle de valeur 0 n’est pas un problème (On peut par exemple remplacer 0 par 0,001 et tout multiplier par 1000 pour avoir des entiers)
Je n’ai pas réussi à trouver un collier défavorable à Zig et ayant 17 perles ou moins.
* Comment calculer le gain maximal du premier joueur pour un collier donné ?
Notons : GL (L) le gain maximal du premier joueur pour le collier linéaire L, G (C) le gain maximal du premier joueur pour le collier circulaire C, Li le collier linéaire obtenu en ôtant la perle i au collier circulaire C,
L (resp. C) la valeur totale du collier L (resp. C) et
L’, L’’ les deux colliers linéaires obtenus en ôtant une extrémité du collier linéaire L.
Les relations récursives suivantes permettent de calculer facilement le gain maximum G (C) d’un collier : G (C) = MAX (C – GL (Li) ) = C – MIN (GL (Li) )
GL (L) = L – MIN (GL (L’) ; GL (L’’) ).
Avec évidemment G (p) = p pour une perle unique.
