E666. Perles à rebours
Problème proposé par Michel Lafond
Zig et Puce jouent au jeu suivant :
Ils ont un collier de n perles (n ≥ 2), chacune ayant une valeur entière positive (en euros).
Le premier joueur Zig coupe le collier au niveau d’une perle de son choix et garde cette perle.
Le collier est maintenant linéaire avec deux extrémités.
Puis, chacun à tour de rôle Puce, Zig, Puce etc. choisit une perle à l’une des deux extrémités de ce qui reste.
A la fin, celui qui a la plus grande valeur cumulée gagne.
Le jeu est dit favorable à un joueur J si celui-ci a une stratégie lui permettant de s’assurer au moins la moitié de la valeur totale du collier. Le jeu est dit défavorable sinon.
a) Montrer que si n est pair, le jeu est toujours favorable à Zig.
b) Montrer que si n = 3, le jeu est favorable à Zig.
c) Que se passe t-il lorsque n = 5 ?
d) Trouver un collier pour lequel le jeu est défavorable à Zig.
Solution proposée par Paul Voyer:
a) si n est pair, on peut colorier les perles, alternativement rouge et bleue par exemple.
Zig peut rester dans une couleur, Puce lui laissant le choix à chaque coup.
Il lui suffit pour gagner de choisir de jouer et de rester dans la couleur qui a la plus grande valeur, obligeant Puce à rester dans l'autre couleur.
Le jeu lui est donc toujours favorable.
b) Si n =3, il est clair que si Zig choisit la perle de plus grande valeur, il gagne, même sans l'aide de la troisième perle.
c) Si n=5 perles a, b, c, d, e, après le choix par Zig de la première perle a, il reste un segment de 4 perles en ligne, b, c, d, e dans cet ordre, Puce doit choisir entre b et e.
Puce choisira la paire b+d ou c+e de plus grande valeur, prenant la première perle b ou e (extrémités) et interdisant l'accès de Zig à l'autre de ces deux perles.
Le gain final maximum de Zig est donc :
- soit a+b-c+d-e, Puce ayant c+e, si b+d ≤ c+e - soit a-b+c-d+e, Puce ayant b+d, si b+d ≥ c+e.
Pour que Zig n'ait pas une situation favorable, il faudrait qu'il y ait à la fois :
Zig < Puce
a+b+d < c+e sinon Zig pourrait gagner en choisissant a et a+c+e < b+d sinon Zig pourrait gagner en choisissant a et b+a+d < c+e sinon Zig pourrait gagner en choisissant b et b+c+e < a+d … et
c+a+d < b+e … et c+b+e < a+d … et d+a+c < b+e … et d+b+e < a+c … et e+a+c < b+d … et e+b+d < a+c … et donc il faudrait, par addition :
6(a+b+c+d+e) < 4(a+b+c+d+e), ce qui est impossible (a, b, c, d, e positifs).
Zig a donc toujours une situation favorable.
d) Pour que le jeu soit défavorable à Zig, il faudrait donc que le collier ait un nombre impair d'au moins 7 perles, et qu'un raisonnement similaire ne soit pas applicable.
Des recherches sur internet aboutissent au traitement par plusieurs auteurs d'un problème similaire, le "pizza problem" de Peter Winkler, qui, à la différence de notre problème, autorise des poids nuls.
Le lien :
http://books.google.fr/books?id=K8O9O7q02poC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=peter+win kler+building+bridges&source=bl&ots=dUSMb8GbnO&sig=M8zLdtIe9rOxWOWe0G XMtkhfj2U&hl=fr&sa=X&ei=TxwhT8fYLsu7hAf5rYnaBA&sqi=2&ved=0CD4Q6AEw AQ#v=onepage&q=peter%20winkler%20building%20bridges&f=false
fait apparaître l'article à la page 63 du document, la stratégie de Puce (Bob dans l'article) se trouve page 78 sous le titre "Claim 17".
Il existe d'autres références, mais elles correspondent à des ventes de livres.
Avec des poids positifs ou nuls, l'article démontre qu'il faut et suffirait de 15 perles, dont la série de poids serait 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 3, 0, 3, 0, 0, 4, 0, 4 (15 perles pour un poids total de 18), pour permettre à Puce de mettre en échec le gain par Zig.
Puce pourrait avec un tel collier collecter les 5/9 de l'ensemble quelque soit le premier coup de Zig, soit 10 points, en laissant 8 à Zig.
Pour faire sentir les choses, si Zig commence avec un 4, Puce pourra jouer plusieurs fois de façon à ne plus lui laisser que des 0 aux deux extrémités du segment.
En ajoutant 1 à chaque perle, tous les poids deviennent positifs, soit
1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 5, 1, 5, de poids total 33, et on rentre dans l'énoncé.
Avec la même stratégie que dans l'article, Puce, qui joue 7 fois, pourrait faire un score de 10+7 = 17 > 33/2 et donc gagner, Zig ne marquant que 8+8 = 16 points.
Avec un nombre plus réduit de poids différents, il faut un collier comportant plus de perles pour offrir une stratégie à Puce.
page 80, Claim 20.
Ainsi, avec seulement les poids 0 et 1, il faudrait 21 perles, dont la série de poids serait 101010100101001010101, de poids total 10, pour permettre à Puce de marquer 6 points, en laissant 4 à Zig.
En transposant à des perles de poids 1 et 2, la série de poids devient : 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2
Puce, qui joue 10 fois, marquerait 6+10 = 16 points, et Zig, qui joue 11 fois, marquerait 4+11 = 15 points.
