Enoncé A573 (Diophante) Quatre suites polygonales
Zig écrit les termes successifs des suites polygonales S(a)1 pour a = 3,4,5, . . . jusqu’à 20. Ce faisant, il constate qu’avec quatre suites poly- gonales S(a), S(a+ 1), S(a+ 2) etS(a+ 3) :
– toute puissance à exposant entier pair>0 de 2 est obtenue par différence de deux termes de l’une d’elles,
– toute puissance à exposant entier >0 de 5 est obtenue par différence de deux termes dans une seconde,
– toute puissance à exposant entier >0 de 6 est obtenue par différence de deux termes dans une troisième,
– toute puissance à exposant entier >0 de 7 est obtenue par différence de deux termes dans la dernière.
Déterminez les valeurs possibles de aet justifiez votre réponse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1. Pour plus de détails, voir http ://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_polygonal
Le terme de rang k(≥ 1) de la suite S(a) est (a/2−1)k(k−1) +k. La différence avec le terme de rangk+destd(1 + (a/2−1)(2k+d−1).
Soit à représenter les puissances zm : z, z2, . . .;d est 1 ou un diviseur de zm, et (zm/d−1)/(a/2−1) = 2k+d−1≥d+ 1.
Sidest pair,aaussi, car le facteur 2, absent de 2k+d−1, ne peut donner un demi-entier poura/2−1 = (zm/d−1)/(2k+d−1) ; sizm/dest impair, a−2 divise les quantitészm/d−1 ; quandz est un nombre premier (z= 5 ou 7), le diviseur commun aux nombres zm/d−1 est z−1 et a−2 doit diviserz−1.
Ainsi les suites permettant de former les 5msontS(3), S(4), S(6) ; les suites permettant de former les 7m sontS(3), S(4), S(5), S(8).
Pour 4m, une possibilité estd= 1, conduisant à a−2 diviseur de 4m−1 et du diviseur commun 3 ; les suitesS(3) etS(5) permettent de former ces puissances. Sid≥2, pour m= 1 on devrait avoir
1≥4/d−1 = (a/2−1)(2k+ 1)≥2k+ 1≥3, impossible.
Pour 6m, le cas d = 1 conduit encore à a−2 diviseur de z−1, soit les suitesS(3), S(7).
Sid≥2 est pair, pour m = 1 on devrait avoir (avec apair comme on l’a vu)
2≥6/d−1 = (a/2−1)(2k+ 1)≥2k+ 1≥3, impossible.
Sid≥3 est impair, pourm= 1 on devrait avoir 2≥6/d−1 = (a−2)(k+ 1)≥k+ 1≥2, d’oùa= 3.
Revenant à la liste des 4 suites de l’énoncé, elles permettent de former respectivement les puissances
6m,7m,4m,5m poura= 3, 7m,4m,5m,6m poura= 4, 4m,5m,6m,7m poura= 5.
