D235 Salles polygonales dans une tour circulaire [*** à la main]

D235 Salles polygonales dans une tour circulaire [*** à la main]

Solution Question 1

La somme S_n des distances d’un point quelconque M intérieur à un polygone régulier P(n) à ses côtés est une constante qui est toujours mesurable :

- quelle que soit la position de M si P(n) est un carré (n=4),

- si M est situé à l’intérieur d’un polygone régulier P’(2n) inclus dans P(n) et dont les 2n sommets sont à l’intersection des 2n perpendiculaires menées des sommets de P(n) à ses n côtés.

Le carré et le pentagone ci-après illustrent ces propriétés:

On vérifie aisément que la somme S_n des distances d’un point M aux côtés d’un polygone P(n) est toujours mesurable dans le cas du carré (n = 4) et que pour toute valeur de n>4 , M doit se situer à l’intérieur d’une zone Z(n) qui permet de tracer les n perpendiculaires issues de ce point aux côtés du polygone. Dans le cas du pentagone, la zone ainsi définie est un décagone (hachuré en jaune). Plus généralement avec un polygone régulier à n côtés, la zone Z(n) est un polygone à 2n côtés.

Dès lors il ne reste plus qu’à démontrer que pour tout M appartenant à Z(n), S_n est une constante. L’aire A_n du polygone est égale à la somme des aires des triangles MAB, MBC, MCD, MDE, etc…Soient M₁,M₂,M₃,... les projections de M sur les côtés

AB,BC,CD,…Comme AB = BC = CD = …= d, on a A_n = (MM₁MM₂MM₃...)*d_n /2.

D’où S_n= 2*A_n / d_n = constante. Si on désigne par R le rayon du cercle circonscrit au

polygone, on a )

n nRcos(π

S_n  .

On en déduit que la première salle de la tour est nécessairement carrée et que les deux autres salles ont un nombre de côtés >4.

Question 2

Comme on fait l’hypothèse que les coins des murs des deux premières salles sont sur un cercle de même rayon R 5 mètres, on peut écrire : 2 2R

2 4R 2

S₁  et )

n nRcos(π

S₂  .

D’où

1 2

S S =

2 2

n) ncos( π

.

Il est facile d’établir le tableau donnant les valeurs de

1 2

S

S pour les premières valeurs de n>4.

Pour n = 9, on a un ratio très voisin de 3. Pour R = 5 mètres (dimension maximale), on a respectivement S₁= 14,142..mètres et S₂=42,286…mètres et 3S₁ = 42,426.. ne diffère de S₂ que de 14 centimètres.

La deuxième salle a donc la forme d’un ennéagone.

Question 3

Les périmètres des deuxième et troisième salles sont respectivement égaux à ) 9 sin(π 18R P₂  ₂

et )

m sin(π mR 2

P₃  ₃ avec R₂ et R les rayons des cercles circonscrits à ces deux salles, m le ₃ nombre de côtés de la troisième salle polygonale.

Comme P₂ P₃, il en résulte

9) 9sin(π

m) m.sin(π R

R

3

2  .

Par ailleurs )

9 cos(π 9R

S₂  ₂ et )

m cos(π mR

S₃ ₃ . D’où

9) tan(π

m) tan(π 9)

9sin(π m) m.sin(π

* m) mcos(π

9) 9cos(π m)

cos(π mR

9) cos(π 9R S

S

3 2 3

2   

Comme précédemment, on établit le tableau donnant les valeurs de

3 2

S

S pour les premières valeurs de m.

Pour m = 5, le rapport

3 2

S

S est très proche de 2, l’imprécision commise étant cette fois-ci inférieure à 5 centimètres.

La troisième salle a donc la forme d’un pentagone.