A573. Quatre suites polygonales
Zig écrit les termes successifs des suites polygonales S(a)(1) pour a = 3,4,5,... jusqu’à 20.
Ce faisant, il constate qu’avec quatre suites polygonales S(a), S(a+1), S(a+2) et S(a+3) : - toute puissance à exposant entier pair > 0 de 2 est obtenue par différence de deux termes de l’une d’elles,
- toute puissance à exposant entier > 0 de 5 est obtenue par différence de deux termes dans une deuxième,
- toute puissance à exposant entier > 0 de 6 est obtenue par différence de deux termes dans une troisième,
- toute puissance à exposant entier > 0 de 7 est obtenue par différence de deux termes dans la dernière.
Déterminez les valeurs possibles de a et justifiez votre réponse.
(1) Pour plus de détails, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_polygonal Solution proposée par Paul Voyer
a ne peut valoir que 3, 4 ou 5, car seules S(3) et S(5) contiennent une différence de 4.
a=3
Les incréments de S(3) valent 1, 2, 3, toute valeur, y compris 6, 36, 216, etc.
S(4) a pour incréments 3+2k, on y trouve 7, 49, 343, etc, car 7n-3 est pair
S(5) a pour incréments 4+3k, on y trouve 4, 16, 64, etc, car 4n-4 est multiple de 3 S(6) a pour incréments 5+4k, on y trouve 5, 25, 125, etc, car 5n-5 est multiple de 4
a=4
S(4) a pour incréments 3+2k, on y trouve 7, 49, 343, etc, car 7n-3 est pair
S(5) a pour incréments 4+3k, on y trouve 4, 16, 64, etc, car 4n-4 est multiple de 3 S(6) a pour incréments 5+4k, on y trouve 5, 25, 125, etc, car 5n-5 est multiple de 4 S(7) a pour incréments 6+5k, on y trouve 6, 36, 216, etc, car 6n-6 est multiple de 5
a=5
S(5) a pour incréments 4+3k, on y trouve 4, 16, 64, etc, car 4n-4 est multiple de 3 S(6) a pour incréments 5+4k, on y trouve 5, 25, 125, etc, car 5n-5 est multiple de 4 S(7) a pour incréments 6+5k, on y trouve 6, 36, 216, etc, car 6n-6 est multiple de 5 S(8) a pour incréments 7+6k, on y trouve 7, 49, 343, etc, car 7n-7 est multiple de 6
