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A10024. Restes peu variés Quelles sont les valeurs possibles pour le reste de la division de

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Academic year: 2022

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A10024. Restes peu variés

Quelles sont les valeurs possibles pour le reste de la division de (n−2)! par n?

Solution

Sinest le produitpqde facteurs inégaux, ceux-ci figurent parmi les facteurs de (n−2)! qui est donc multiple de n. Si n est un carré r2 > 4, r et 2r figurent parmi les facteurs de (n−2)! qui est donc multiple den, le reste de la division est encore 0. Sin= 4, (n−2)! = 2 et le reste est 2.

Mais sinest premier, les entiers de 2 à n−2 peuvent être groupés en paires (x, y) avec n divisant xy−1 ; (n−2)! est de la même forme kn+ 1 que les facteursxy, d’où le reste 1.

Les restes possibles sont donc 2 (n = 4), 0 (n composé > 4), ou 1, qui caractérise les nombres premiers (théorème de Wilson).

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