4} (b) Déterminer les restes possibles dans la division de 3n+ 8 parn+ 1

TS (spécialité) Correction DS 1 _2012-2013

EXERCICE 1 : (cours)

Soita,b, cetddes entiers relatifs etnun entier naturel non nul.

Si a≡b(n) et sic≡d(n), alorsa+c≡b+d(n). (Voir démonstration dans le cours)

EXERCICE 2 :(les questions 1 et 2 sont indépendantes)

1. (a) On veut quen+1|3n+8. Orn+1|n+1 donc, en utilisant la propriété :a|beta|calors pour tout (u;v)∈Z², a|bu+cv, on obtient

n+ 1|3n+ 8−3(n+ 1)⇔n+ 1|5.

Or les diviseurs de 5 sont−1, 1,−5 et 5. Les seuls entiers naturels qui conviendraient sont 0 et 4.

On vérifie que pourn= 0, alors 1|8 et pourn= 4, 5|20. Ainsi,S ={0; 4} (b) Déterminer les restes possibles dans la division de 3n+ 8 parn+ 1.

On peut écrire que 3n+ 8 = 3(n+ 1) + 5. Pour que ce soit l’écriture de la division euclidienne de 3n+ 8 parn+ 1, il faut que 5< n+ 1⇔n >4. Ainsi pourn >4, le reste dans la DE de 3n+ 8 parn+ 1 est 5.

pour toutn∈N, les valeurs des restes sont rassemblées dans le tableau ci-dessous : n 3n+ 8 n+ 1 reste

0 8 1 0

1 11 2 1

2 14 3 2

3 17 4 1

4 20 5 0

n >4 3n+ 8 n+ 1 5 2. (a) (n+ 1)³=n²(n+ 3) + 3n+ 1. Vérification laissée au lecteur.

(b) L’égalité qui précède est l’écriture de la division euclidienne de (n+1)³parn²si 3n+1< n²⇔n²−3n−1>0.

Un calcul rapide de discriminant donne 13 et les solutions deX²−3X−1 = 0 sont 3 +√ 13

2 et 3−√ 13

2 .

Avec la règle du signe de a, les entiers correspondant à l’écriture de la division euclidienne sont ceux qui vérifientn >3 +√

13

2 ⇒n>4.

EXERCICE 3 :

On considère la suite (u_n) définie par :

un= 10ⁿ⁺¹−7 3

1. u₁= 31,u₂= 331 etu₃= 3331. Pour tout entier natureln, l’écriture décimale deun est donc : u_n= 33. . .3

| {z }

n 3 1

En effet 10ⁿ⁺¹= 1 00. . .0

| {z }

(n+1) 0

, donc 10ⁿ⁺¹−7 = 99. . .9

| {z }

n 9

3 et de façon évidente,un= 33. . .3

| {z }

n 3 1.

2. Le chiffre des unités deunest 1 doncun est impair et il n’est pas divisible par 2, ni par 5.

La somme des chiffres deun est égale à 3n+ 1, qui n’est pas divisible par 3 doncun n’est pas divisible par 3.

3. (a) Pour tout entier natureln, 3un = 10ⁿ⁺¹−7.

Pour tout entier natureln, 10≡ −1 (11)⇔10ⁿ⁺¹≡(−1)ⁿ⁺¹(11)⇔10ⁿ⁺¹−7≡ −7 + (−1)ⁿ⁺¹(11).

Or−7≡4 (11) donc −7 + (−1)ⁿ⁺¹≡4 + (−1)ⁿ⁺¹(11) et par transitivité, 3u_n≡4 + (−1)ⁿ⁺¹(11)

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(b) u_n divisible par 11⇔u_n ≡0 (11)⇔3u_n≡0 (11). on peut donc dire que si 3u_n n’est pas divisible par 11 alorsu_n non plus. Or,

• sinest pair, 3u_n≡3 (11) donc 3u_n n’est pas divisible par 11 etu_n non plus.

• sinest impair, 3un≡5 (11) donc 3un n’est pas divisible par 11 etu_n non plus.

u_n n’est donc pas divisible par 11.

EXERCICE 4 :

1. nest un entier naturel etuun entier naturel vérifiant 06u69.

Propriété : Le chiffre des unités denestusi, et seulement si,n≡u(10).

Le chiffre des unités denestu ⇔n= 10q+u(DE denpar 10) ⇔n≡u(10) 2. Application :

(a) A la calculatrice, le chiffre des unités des premières puissances de 3 sont rassemblés dans le tableau :

p 0 1 2 3 4 5 . . .

3^p≡. . .(10) 1 3 9 7 1 3 . . . Conjecture : sip≡1 (4) alors 3^p≡3 (10).

En effet,p≡1 (4)⇔p= 4k+ 1 et 3^4k+1 = (3⁴)^k×3. Or 3⁴≡1 (10) donc (3⁴)^k ×3≡3 (10)⇔3^4k+1 ≡ 3 (10)⇔3^p≡3 (10).

(b) Chiffre des unités de 2013²⁰¹³?

2013≡3 (10)⇔2013²⁰¹³≡3²⁰¹³(10). Or 2013≡1 (4) odnc d’après la propriété précédente, 3²⁰¹³≡3 (10) et 2013²⁰¹³≡3 (10) donc le chiffre des unités de 2013²⁰¹³est 3.

EXERCICE 5 : (Bonus)

806³⁰+ 965²¹ est un multiple de 23 ?

• 806≡1 (23) donc 806³⁰≡1 (23).

• 965≡ −1 (23) donc 965²¹≡ −1 (23).

En utilisant la propriété démontrée à l’exercice 1, on trouve que :

806³⁰+ 965²¹≡1−1 (23)⇔806³⁰+ 965²¹≡0 (23) donc ce nombre est divisible par 23.

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