Exercice 1.(4 p.) Soienta, b∈R

Math I Analyse 2010-2011

Devoir surveill´e no 3 -le vendredi 10 d´ecembre 2010, dur´ee 45 minutes NOM, pr´enom :

Num´ero d’´etudiant :

Groupe de TD ou nom du charg´e de TD : Question de cours(2 p.)

Enoncer le th´eor`eme de Rolle.

Exercice 1.(4 p.) Soienta, b∈R. Soit f :R→R,f(x) =

(e^x, six >0

ax+b, six≤0. Trouver les valeurs de a etb telles que f soit :

(i) (2 p.) Continue sur R. (ii) (2 p.) D´erivable sur R. Justifier la r´eponse.

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1

Exercice 2. (2 p.) Soit f :R→ R d´erivable. Si f(0) = 0, f(2) = 0, et f⁰(x)≥0, ∀ x ∈R, calculerf(1).

Exercice 3. (3 p.) Calculer lim

x→+∞(√

x−sinx).

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2

Exercice 4. (9 p.) Soit f :R→R, f(x) = 1

2cosx. On se propose d’´etudier les solutions de l’´equation (E) x=f(x).

(i) (1 p.) On suppose x > 1

2. Montrer que x ne v´erifie pas (E). Et si x <−1 2? (ii) (2 p.) Montrer que (E) a au moins une solution x0 dans l’intervalle [−1/2,1/2].

(iii) (2 p.) Montrer que |f(x)−f(y)| ≤ 1

2|x−y|,∀ x, y ∈R. (iv) (2 p.) En d´eduire que f a exactement une solution x₀ ∈R.

(v) (2 p.) On consid`ere un y₀ ∈ R arbitraire, et on d´efinit par r´ecurrence sur n la suite (y_n)n≥0 par la formuley_n+1 =f(y_n). Montrer que|y_n−x₀| ≤ 1

2ⁿ|y₀−x₀|,∀n ∈N, puis que y_n →x₀. [Indication : on a x₀ =f(x₀).]

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Rappeller, svp : NOM, pr´enom : Num´ero d’´etudiant :

Groupe de TD ou nom du charg´e de TD :

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