TS (spécialité) Correction DS 2 2012-2013
EXERCICE 1 :VRAI/FAUX 1. Soitnun entier naturel non nul.
L’égalité (n+ 1)2=n(n+ 2) + 1 est la relation de la division euclidienne de (n+ 1)2 parn.
FAUX car sin= 1, le reste ne peut pas être égal à 1 (il doit être strictement inférieur au diviseur) 2. x2+x+ 3≡0 (5)⇔x≡1 (5).
FAUX car six≡3 (5) alorsx2+x+ 3≡0 (5)
3. Dans la division euclidienne du nombre 102013par 15, le reste est égal à 10.
VRAI car∀n∈N,10n≡10 (5).
4. Pour toutndeN∗, 2n−1 n’est jamais divisible par 9.
FAUX car si 26−1≡0 (9).
EXERCICE 2 : (avec question de cours)
aetb sont deux entiers relatifs non nuls, on noteDc(a, b) l’ensemble des diviseurs communs àaet b.
1. Pour tout entier relatifk,Dc(a, b) =Dc(b, a−kb) : Sid∈Dc(a, b) alorsd|aet d|bdoncd|a−kb. Ainsidest un diviseur commun deb et dea−kbetd∈Dc(b, a−kb). On a démontré queDc(a, b)⊂Dc(b, a−kb).
Sid∈Dc(b, a−kb) alorsd|bet d|a−kbdoncd|a−kb+kb⇔d|a. Ainsidest un diviseur commun debet dea et d∈Dc(a, b). On a démontré queDc(b, a−kb)⊂Dc(a, b).
On a donc, par double inclusion, Dc(a, b) =Dc(b, a−kb)
2. L’égalité précédente permet de dire que les deux ensembles ont le même plus grand élément donc PGCD(a, b)=PGCD(b, a−kb) (⋆)
3. Sirest le reste de la division euclidienne deaparb, on noteq le diviseur. Si l’on remplacek parq, on obtient PGCD(a, b)=PGCD(b, a−bq)=PGCD(b, r).
4. Propriété (⋆) sik= 1 : PGCD(a, b)=PGCD(b, a−b) .
(a) n+ 1 etn: PGCD(n+ 1, n)=PGCD(n,1)=1 doncn+ 1 etnsont premiers enre eux.
(b) 2n+ 2 et 2n: PGCD(2n+ 2,2n)=PGCD(2n,2)=2 donc 2n+ 2 et 2nne sont pas premiers enre eux.
(c) 2n+ 3 et 2n+ 1 : PGCD(2n+ 3,2n+ 1)=PGCD(2n+ 1,2)=1 car 2n+ 1 est impair et 2 est pair et 2n+ 3 et 2n+ 1 sont premiers enre eux.
(d) 2×10n+ 1 et 2×10n−1 : PGCD(2×10n+ 1,2×10n−1)=PGCD(2×10n+ 1,2)=1 car 2×10n−1 est impair et 2 est pair et 2×10n+ 1 et 2×10n−1 sont premiers enre eux.
EXERCICE 3 :
On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturelnpar : un= 4n+ 1 etvn = 5n+ 3
1. Sin= 705u705= 4×705 + 1 = 2821 etv705= 3528. PGCD(3528,2821)=7
2. d=PGCD(un, vn).d|un etd|vn doncd|4vn−5unc’est à dired|7 d’où d= 1 ou d= 7 .
3. Sin≡5 (7) alors 4n+ 1≡21≡0 (7) et 5n+ 3≡28≡0 (7). les deux nombresun et vn sont des multiples de 7 donc comme d= 1 oud= 7 alorsd= 7.
Réciproquement, sid= 7 alors 7|un et 7|vn donc 7|vn−un⇔7|n+ 2⇔n+ 2≡0 (7) doncn≡ −2≡5 (7).
EXERCICE 4 : Exercice guidé
1. (a) Reste dans la division euclidienne de 2009 par 11 : 2009≡7 (11) donc r= 7 . (b) Reste dans la division euclidienne de 210 par 11 : 210≡1 (11) donc r= 1 .
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(c) Reste dans la division euclidienne de 22009+ 2009 par 11 : 22009= (210)200×29 donc comme 29≡6 (11), on obtient 22009≡6 (11) et par suite 22009+ 2009≡2 (11)
2. On désigne parpun nombre entier naturel.
On considère pour toutndeN, le nombreAn= 2n+p. On note dn le PGCD deAn etAn+1.
(a) dndivise 2n: En effet,dn|An etdn|An+1 doncdn|An+1−An. OrAn+1−An= 2n+1−2n= 2n(2−1) = 2n donc dn|2n.
(b) Parité deAn en fonction de celle dep.
• ppair ⇔p≡0 (2) et∀n∈N∗, 2n≡0 (2) doncAn≡0 (2) et An est pair (A0=p+ 1 est lui impair).
• pimpair ⇔p≡1 (2) et∀n∈N∗, 2n≡0 (2) doncAn≡1 (2) et An est impair (A0=p+ 1 est lui pair).
(c) Valeur dedn sipest impair ?
• Sin∈N∗ ,dn divisant 2n, alorsdn est pair oudn= 1 etAn est impair donc, commedn|An, dn= 1 .
• d0|20 doncd0= 1.
Ainsi,∀n∈N, dn = 1
Compte-tenu de ce qui précède,
le PGCD de 22009+ 2009 et 22010+ 2009 est 1.
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