MPSI-Éléments de cours Suites et fonctions à valeurs complexes 28 février 2020
Suites et fonctions à valeurs complexes
Rédaction incomplète. Version alpha Plan
I. Suites à valeurs complexes. . . 1
II. Fonctions à valeurs complexes. . . 2
1. Fonctions continues . . . 2
2. Fonctions dérivables . . . 2
Index
inégalité des accroissements nis pour une fonc-
tion à valeurs complexes,2 théorème de Bolzano Weirstrass pour les suites complexes,2
Dans cet exposé, on cherche autant que possible à utiliser les propositions et théorèmes usuels relatifs aux suites et fonctions à valeurs réelles. L'utilisation desε,αest la plupart du temps inutile.
I. Suites à valeurs complexes
Dans toute cette section, le symboleI désigne une partie innie deN.
Dénition. On dira qu'une partieΩdeCest bornée si et seulement si il existe un réelR >0 tel que
∀z∈Ω :|z| ≤R
Une suite à valeurs complexes est dite bornée lorsque l'ensemble de ses valeurs est une partie bornée deC.
Remarques. 1. Une partie deCest bornée lorsqu'elle est contenue dans un certain disque centré à l'origine.
2. Une suite à valeurs complexes(zn)n∈I est bornée si et seulement si il existe un réelRtel que :
∀n∈ I:|zn| ≤R
Dénition. Une suite à valeurs complexes(zn)n∈I converge vers un nombre complexezsi et seulement si la suite réelle(|zn−z|)n∈I converge vers0. On notera
(zn)n∈I→z Proposition.
(zn)n∈I →z⇒(|zn|)n∈I → |z|
Toute suite convergente à valeurs complexes est bornée.
Proposition. Soit(zn)n∈I et(zn0)n∈I deux suites à valeurs complexes qui convergent respectivement verszetz0. Soitλ∈C Alors :
(zn)n∈I→z (zn+z0n)n∈I →z+z0 λ(zn)n∈I→λz (znz0n)n∈I→zz0 Preuve. Les résultats se déduisent des propriétés des suites réelles et des relations :
|zn−z|=|zn−z|
|λzn−λz|=|z||zn−z|
|(zn+z0n)−(z+z0)| ≤ |zn−z|+|zn0 −z0|
|(znzn0)−(zz0)| ≤ |zn0||zn−z|+|z||zn0 −z0|
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai C4791
MPSI-Éléments de cours Suites et fonctions à valeurs complexes 28 février 2020
Proposition. La suite à valeurs complexes(zn)n∈I converge versz si et seulement si : ((Re(zn))n∈I→Rez
(Im(zn))n∈I→Imz
Preuve. Si on suppose la convergence de la suite complexe, on utilise la convergence de la suite conjuguée puis les opérations pour obtenir les convergence des suites de parties réelles et imaginaires.
(Re(zn))n∈I =1
2(zn)n∈I+1
2(zn)n∈I (Im(zn))n∈I = 1
2i(zn)n∈I− 1
2i(zn)n∈I
Dans l'autre sens, si on suppose les convergences des suites de parties réelles et imaginaires, on obtient la suite complexe par combinaison :
(zn)n∈I= (Re(zn))n∈I+i(Imzn)n∈I
Théorème (Théorème de Bolzano-Weirstass pour les suites complexes). De toute suite bornée à valeur complexe, on peut extraire une suite convergente.
Preuve. Soit(zn)n∈Iune suite bornée à valeurs complexes. Comme, pour tous lesn,|Rezn| ≤ |zn|et|Rezn| ≤ |zn|, les suites de parties réelles et imaginaires sont des suites bornées de nombres réels.
Appliquons le théorème de Bolzano-Weirstrass à la suite des parties réelles. Il existe donc une partie innieJ1de I telle que(Re(zn))n∈J1 converge.
La suite(Im(zn))n∈J1est encore une suite bornée de nombre réel. On peut appliquer une deuxième fois le théorème de Bolzano-Weirstrass. Il existe une partie innieJ2 deJ1 telle que(Im(zn))n∈J2 converge.
La suite(Re(zn))n∈J2 est convergente car elle est extraite de(Re(zn))n∈J1. Ainsi les deux suites
(Re(zn))n∈J2 (Im(zn))n∈J2
convergent ce qui assure la convergence de
(zn)n∈J2
Pour le théorème de Bolzano-Weirstrass, voir la section sur lessuites de réels.
Le théorème de Bolzano-Weirstrass pour les suites à valeurs complexes joue un rôle capital dans ladémonstration du théorème de d'Alembert.
II. Fonctions à valeurs complexes.
Les fonctions d'une variable réelle et à valeurs complexes sont des cas particuliers decourbes paramétrées. Voir aussi l'entrée fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles duGlossaire de début d'année
1. Fonctions continues 2. Fonctions dérivables
Attention, le théorème des accroissements nis n'est pas valable pour une fonction à valeurs complexes. Il est très facile d'imaginer le mouvement qui revient à son point de départ sans jamais s'arrêter. En revanche, l'inégalité des accroissements nis reste valable sous la forme suivante.
Proposition (Inégalité des accroissements nis pour une fonction à valeurs complexes). Soit f une fonction à valeurs complexes de classe C1 sur un segment [a, b], soit M un réel tel que |f(t)≤ M pour tous les t ∈ [a, b]. Alors :
|f(b)−f(a)| ≤M(b−a)
Preuve. On ne donne pas ici de démonstration de ce résultat. Une démonstration très simple sera obtenue en utilisant l'intégration des fonctions à valeurs complexeset la relation fondamentale liantintégration et dérivation.
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