��� SUITES NUMÉRIQUES. CONVERGENCES, VALEURS D’ADHÉRENCE. EXEMPLES ET APPLICATIONS.
Dans cette leçon, on considère des suites à valeurs dansK=RouC.
I. Autour de la convergence de suites
[Gou��, §�.�/Ch�, p��/���]Définition d’une suite convergente/divergente, exemples deun = (1 + 1/n)n n≠ææ+Œ e(ou plus simple ...), deun = (≠1)n
Unicité de la limite, somme, produit de limites ... Une suite convergente est bornée
lim inf,lim sup: existence et unicité, la suite converge vers¸si et seulement si¸ = lim inf = lim sup, exemple d’une suite sous-additive [QZ��]
Valeur d’adhérence, caractérisation, exemples Convergence si on a une unique valeur d’adhérence Théorème deB������-W����������
Exemples des suites arithmétiques et géométriques Suites deC�����
II. Comportements de suites réelles
[El��]K=Rdans cette partie, sauf mention explicite (théorème deC�����) Théorème des gendarmes, exemples
Suites adjacentes, exemple [Gou��, p���], segments emboités
II. A. Comparaison asymptotique
[Gou��, §�.�, p��–��]D����������. Soientuetvdeux suites. On dit qu’au voisinage de+Œ:
• vdomineu, et on noteun=O(vn), si÷C >0,÷n0œN|’nØn0,|un|ÆC|vn|,
• uest négligeable devantv, et on noteun=o(vn), si’Á>0,÷n0œN,’nØn0,|un|Æ Á|vn|,
• uetvsont équivalentes, et on noteun ≥vn, siun≠vn=o(vn).
E�������. n2+ sin(n) =O(n2)etn2+ sin(n)≥n2
P�����������. On les propriétés suivantes :
(i) oetOsont stables par somme, c’est-à-dire siun=o(wn)etvn =o(wn), alorsun+vn= o(wn), et de même avecO,
(ii) o,Oet≥sont stables par produit, passage à une puissance. Par exemple siun=O(wn) etvn=O(zn), alorsunvn=O(wnzn), puis siun≥wnetvn≥zn, alorsunvn≥wnzn. R��������. La relation≥n’est pas compatible avec l’addition :n+2≥n+1et≠n≥ ≠n mais2”≥1.
Définition d’un développement asymptotique.
T��������. [��������� ��� ��������� �� �����������]
Soientu = (un)nœNà valeurs dansKetv = (vn)nœNà valeurs dansR+. NotonsSn(u) = q
kÆnuketRn(u) =q
k>nuk(et de mêmeSn(v)etRn(v)) les sommes partielles et restes d’ordrenœNassociés. Alors :
un =o(vn) un =O(vn) un≥vn
q
nœNvn<+Œ Rn(u) =o(Rn(v)) Rn(u) =O(Rn(v)) Rn(u)≥Rn(v) q
nœNvn= +Œ Sn(u) =o(Sn(v)) Sn(u) =O(Sn(v)) Sn(u)≥Sn(v)
II. B. Étude de suites récurrentes
[FGN��, p��–���] [Gou��, Ch�, p���]T��������. [�������� ��C�����]
Soit(an)nœNœCNtelle quean næ+Œ≠æ ¸. Alorsn1qn
k=1ak næ+Œ≠æ ¸.
A�����������. Soitfune application continue définie au voisinage de0+admettant un développement asymptotique en�de la formef(x) = x≠ax–+o(x–), oùa > 0et –>1. Alors pouru0>0assez petit, la suiteudéfinie parun+1=f(un)pournœNvérifie
un≥ 1
(na(–≠1))–≠11 .
Exemples def = sinetf = log(1 +.).
A�����������. Soit(un)nœNla suite définie paru0 œ Ret, pour toutn œ N,un+1 = un+ e≠un. Alors on a leDA2suivant :un= lnn+ln2nn +o!lnn
n
".
Suites récurrentes linéaires [Gou��]
III. Approximation
[Dem��, ChIV, p��] [Rou��]Approximation d’un irrationnel par des rationnels [Gou��, Ch�, p���]
Coe�icient de convergence, convergence géométrique, quadratique
Suites récurrentes avec point fixe : vitesse de convergence en fonction de la dérivée en le point fixe ...
Méthode deR������-R���������[Dem��, §III.�.�, p��]
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
Agrégation – Leçons ���– Suites numériques. Convergences, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
T��������.
Soitf : [c, d]≠æRune fonctionC2, oùc < d, et telle quef(c)<0< f(d)etfÕ>0sur [c, d]. On considère la suite récurrente définie parx0 œ[c, d]etxn+1=xn≠ff(xÕ(xnn))pour nœN.
Alors en notantal’unique0def, on a :
(i) il existe– > 0tel que pour toutx0 œ [a≠–, a+–],(xn)nœNconverge versade manière quadratique et il existeC >0telle que’nœN,|xn+1≠a|ÆC|xn≠a|2. (ii) si de plusfÕÕ > 0sur[a, d], alors pour toutx0 œ]a, d],(xn)nœNest strictement dé-
croissante etxn+1≥næ+Œ 2ffÕÕÕ(a)(a)(xn≠a)2. Autre méthode : descente de gradient
������
Étude les suites numériques permet de comprendre les nombres réels (constructions, suites des décimaux, ...) et o�re un cadre fondamental qui amène des applications en analyse, inté- gration, analyse complexe, probabilités, ....
������������
Une bonne introduction historique : [FGN��, p��].
���������
Q Pour quels◊œRla suite(un= cos(n◊))nœNconverge-t-elle?
R Distinguer selon que◊/fiest commensurable ou non : si non la suite ne converge pas car elle est dense dans[≠1,1], si oui elle est périodique donc ne converge que si◊œ2fiZ. Q Même exercice avec(vn = sin(n◊))nœN.
R On montre qu’une suite converge si et seulement si l’autre converge. Nécessairement la li- mite est alors0... Autre manière de faire : penser quecos(n◊) = Ÿ(en◊)puis utiliser le théorème deC�����.
Q Donner un développement asymptotique deun =Ôn+un≠1oùu1= 1.
R On montrer queunÆ2Ôn=o(n)par récurrence. Puis : un+1=Ôn(
1 +un/n) =Ôn(1+1/2un/n+o(un/n)) =Ô
n+1/2un/Ô
n+o(un/Ôn) Doncun≥Ô
npuisun+1=Ô
n+12+o(1). En réinjectant on obtient un+1=Ô
n+1 2≠ 1
4n+o(1/n)
�������������
[Dem��] J.-P.D�������: Analyse numérique et équations di�érentielles. Collection Grenoble Sciences,����.
[El��] M.E�A�����:Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions. Ellipses,����.
[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Analyse�. Cassini,����.
[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�èmeédition,����.
[QZ��] H.Q��������et C.Z����:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�èmeédition,����.
[Rou��] F.R�������:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,����.
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
