suites numériques

suites numériques

Table des matières

1 Mots clés - Notations - Formules 3

1.1 Vocabulaire . . . . 3

1.2 Notations . . . . 4

1.3 Formules . . . . 5

2 suites numériques, généralités 6 2.1 activités . . . . 7

2.2 à retenir . . . . 8

2.3 exercices . . . . 9

2.4 correction exercices . . . . 10

3 suites arithmétiques 11 3.1 suites de termes . . . . 11

3.1.1 activités . . . . 11

3.1.2 corrigés activités . . . . 15

3.1.3 à retenir . . . . 18

3.1.4 exercices . . . . 19

3.1.5 corrigés exercices . . . . 21

3.1.6 Q.C.M. suites arithmétiques sans somme des termes . . . . 22

3.1.7 corrigé Q.C.M. suites arithmétiques sans somme des termes . . . . 23

3.2 somme des termes . . . . 24

3.2.1 activité : somme des entiers . . . . 24

3.2.2 à retenir . . . . 24

3.2.3 exercices . . . . 25

3.2.4 corrigés exercices . . . . 26

3.2.5 Q.C.M. suites arithmétiques avec somme des termes . . . . 27

3.2.6 corrigé Q.C.M. suites arithmétiques avec somme des termes . . . . 28

3.3 évaluation suites arithmétiques . . . . 29

4 suites géométriques 30 4.1 suite des termes . . . . 30

4.1.1 activités . . . . 30

4.1.2 corrigés activités . . . . 34

4.1.3 à retenir . . . . 37

4.1.4 exercices . . . . 38

4.1.5 corrigés exercices . . . . 41

4.2 somme des termes . . . . 42

4.2.1 activité : somme des premiers termes . . . . 42

4.2.2 à retenir . . . . 42

4.2.3 exercices . . . . 43

4.2.4 corrigés exercices . . . . 44

4.2.5 Q.C.M. suites géométriques avec somme des termes . . . . 45

4.2.6 corrigé Q.C.M. suites géométriques avec somme des termes . . . . 46

http:// abcmaths.e-monsite.com

5 études des variations de suites numériques 48

5.1 activités . . . . 48

5.1.1 activité 1 : sens de variation . . . . 48

5.2 à retenir . . . . 49

5.3 exercices . . . . 51

5.4 corrigés exercices . . . . 52

6 approche de la notion de limite à partir d’exemples 53 6.1 activités . . . . 53

6.1.1 activité 1 : approche de la notion de limite . . . . 53

6.2 à retenir . . . . 54

6.3 exercices . . . . 55

6.4 corrigés exercices . . . . 57

7 devoir maison 58 7.1 dm 1 . . . . 58

7.2 corrigé dm 1 . . . . 59

7.3 dm 2 . . . . 60

7.4 corrigé dm 2 . . . . 61

8 évaluations 62 9 travaux pratiques 62 9.1 tp 1 . . . . 62

9.2 tp 2 . . . . 65

9.3 tp 3 . . . . 68

9.4 tp 4 . . . . 71

9.5 tp 5 . . . . 74

9.6 corrigé tp 5 . . . . 77

9.7 tp 6 : Comparaison de Suites Arithmétiques . . . . 81

10 sujets de bac 83 10.1 bac 1 et 2 . . . . 83

10.2 bac 3 . . . . 85

11 Activités interdisciplinaires 87

11.0.1 travail 1 : (prévisions avec courbes de tendance) . . . . 87

1 Mots clés - Notations - Formules

1.1 Vocabulaire

Il faut connaître la signification des mots ou expressions suivantes : 1. suite numérique

2. suite numérique de nature arithmétique 3. suite numérique de nature géométrique 4. les termes d’une suite numérique

5. le rang d’un terme d’une suite numérique 6. le nom d’un terme d’une suite numérique 7. le valeur d’un terme d’une suite numérique 8. formule de récurrence

9. formule explicite

10. la raison d’une suite arithmétique

11. la raison d’une suite géométrique

1.3 Formules

Il faut connaître par coeur les formules suivantes :

1. la suite u est arithmétique ⇐⇒

u

− u

= nombre constant = r

pour tout rang n 2. la suite u est arithmétique ⇐⇒

u

= u

+ r

pour tout rang n

3. u est arithmétique de premier terme u

et de raison r = ⇒

u

= u

+ r × n

pour tout rang n

4. u est arithmétique de premier terme u

et de raison r = ⇒

u

= u

+ r × (n − 1)

pour tout rang n

5. u est arithmétique ⇐⇒ les points de la suite dans un repère sont alignés selon

une droite

6. u est arithmétique

⇒

☛

✡

✟

Somme des termes = premier terme + dernier terme

2 × nombre de termes

7. la suite u est géométrique ⇐⇒

☛

✡

✟

✠

u

u

= nombre constant = q (et q > 0) pour tout rang n 8. la suite u est géométrique ⇐⇒

u

= u

× q

(et q > 0) pour tout rang n

9. u est géométrique de premier terme u

et de raison q > 0 = ⇒

u

= u

× q

pour tout rang n

10. u est géométrique de premier terme u

et de raison q > 0 = ⇒

u

= u

× q

pour tout rang n

11. u

est géométrique ⇐⇒ les points de la suite dans un repère sont placés selon une

✝

☎

courbe exponentielle

12. u est géométrique

⇒

✎

✍

☞

✌

Somme des termes = premier terme × 1 − raison

1 − raison

2.1 activités

activité 1. suite définie par une formule explicite ou une formule de récurrence des gradins sont constitués de poutres comme ceci (voir dessin )

on considères la suite u des nombres de poutres par niveau en commençant par le haut qui sera appelé le rang 0, le nombre de poutres de rang n ∈ N est noté u

1. formule de récurrence

(a) donner les valeur de u

, u

, u

, u

(b) comment passe t-on de u

à u

? (donner une relation entre ces deux termes) (c) en déduire les valeur de u

, u

, u

(d) utiliser la calculatrice pour obtenir les valeurs de u

, u

puis u

(e) utiliser la calculatrice pour trouver la plus petite valeur de n telle que u

≥ 500 2. formule explicite

(a) trouver une formule qui donne directement u

en fonction de n (commencer par u

, u

, u

, u

puis généraliser à n)

(b) retrouver les valeurs de u

, u

puis u

(c) retrouver algébriquement la plus petite valeur de n telle que u

≥ 500 3. pour aller un peu plus loin

soit S

= u

+ u

+ ... + u

la somme des nombres de poutres qu’il faut au total du rang 0 au rang n

(a) donner les valeurs de S

, S

, S

et S

(b) observer la figure et expliquer pourquoi S

= (u

+ u

) × 4 puis vérifier que l’on retrouve bien S

2

(c) calculer S

par un raisonnement analogue (d) montrer que S

= (n + 1)

(e) en déduire la hauteur maximale de gradin que l’on peut construire avec 1000 poutres au total et préciser le nombre de poutres qui restent

activité 2. suite définie uniquement par une formule de récurrence soit la suite u définie par

u

= 200

u

= 0, 95u

+ 5 1. calculer u

, u

, u

, u

, u

et u

2. essayer de trouver la plus petite valeur de n telle que u

< 100 3. un club à 200 membres inscrits le premier mois,

chaque mois, 5% des membres partent, mais le responsable arrive toujours à obtenir 5 nouvelles inscriptions

(a) montrer que le nombre d’inscrit le n

mois est u

(b) que semble devenir le nombre d’inscrits à long terme ? activité 3. suite définie uniquement par une formule explicite

soit la suite u définie par v

= 100 + 100 × 0, 95

1. calculer v

, v

, v

, v

, v

et v

2. que semble t-il pour les suites v et u où u est la suite de l’exercice précédent ?

2.2 à retenir

définition 1 : (suite numérique réelle)

Une

suite numérique réelle notée

u est une

liste ordonnée et infinie de nombres réels

exemples :

1.

ordinal 1

2

3

4

5

6

7

8

...

rangs des termes 0 1 2 3 4 5 6 7 ...

noms des termes u

u

u

u

u

u

u

u

...

termes de la suite u 10 11,5 13 14,5 16 17,5 19 20,5 ...

le premier terme, (terme de rang 0) est 10, le second terme ( de rang 1) est 11,5 ...

2.

ordinal 1

2

3

4

5

6

...

rangs des termes 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ...

noms des termes v

v

v

v

v

v

...

termes de la suite u 516550 499228 419375 502671 498372 506608 ...

le premier terme, (terme de rang 2000) est 516550 ...

remarques :

1. en général on donne aux suites les noms u, v, w, ...

2. il y a toujours un premier terme, un second terme, ...

3. pour une suite u par exemple, le rang du premier terme peut être choisit arbitrairement en fonction du sujet d’étude ( 2000 pour l’an 2000 par exemple )

une fois fixé le rang du premier terme (2000 par exemple) le nom du premier terme est nécessairement u

et le nom du suivant u

s’obtient en augmentant le rang de 1 ainsi de suite...

4. l’ensemble des termes de la suite u est aussi noté (u

)

5. on peut aussi "voir" une suite u comme une fonction de N dans R qui à tout n ≥ k (où k est le rang du premier terme) associe un réel noté u(n) ou plus simplement u

u

serait l’image de n par la fonction u et on note :

u : N −→ R n 7−→ u

définition 2 : (relation de récurrence)

Une suite numérique réelle u est définie par

récurrence signifie que

(1) on connaît la valeur du

premier terme

(2)



 

 

on connaît une

relation de récurrence

qui permet de calculer le

terme suivant

à partir d’un

terme quelconque

exemple :

pour la suite u définie pour tout n ∈ N par

u

= 100

u

= 2u

− 10

: u

= 100 u

= 2u

− 10 = 2 × 100 − 10 = 190 u

= 2u

− 10 = 2 × 190 − 10 = 370

pour calculer u

il faut calculer tous les termes qui précèdent u

définition 3 : (formule explicite)

Une suite numérique réelle u est

définie explicitement signifie que

l’on peut calculer un

terme quelconque directement à partir de son

rang

(de son indice) et d’une

formule explicite

exemple :

pour la suite u définie pour tout n ∈ N par u

= 2n − 10 :

u

= 2 × 0 − 10 = − 10 u

= 2 × 1 − 10 = − 8 u

= 2 × 100 − 10 = 190

2.3 exercices exercice 1 :

1. soit la suite u définie par pour tout n ∈ N

par la formule explicite qui donne u

en fonction de n : u

= (2n − 20)(60 − 3n)

(a) calculer les 5 premiers termes de cette suite

(à la main puis avec la calculatrice puis avec un tableur) (b) déterminer u

(c) pour quelles valeurs de n cette suite est-elle positive ? (justifier) 2. soit la suite u définie par pour tout n ∈ N par son premier terme

et par la formule de récurrence qui donne le terme suivant à partir du terme précédent : u

= 6 et u

= (u

− 2)(6 − u

)

(a) calculer les 5 premiers termes de cette suite et essayer de déterminer u

(à la main puis avec la calculatrice puis avec un tableur)

(b) que se passe t-il si cette fois u

= 5 ?

activité 0 : (suite logique)

1. déterminer au moins deux termes suivants de la suite logique et compléter la phrase (a) − 8; − 5; − 2; 1; 4; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

(b) 11; 7; 3; − 1; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ajoute ...

(c) 2, 7; 4, 1; 5, 5; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

2. on dit que ces suites sont de natures ... car, pour passer d’un terme à l’autre, on : ...

3. la suite suivante est-elle arithmétique ? (justifier) : 1; 3; 6; 10; 15; ...

activité 1 : (noms des termes, rangs des termes, ordinaux des termes et formule explicite pour calculer un terme quelconque)

1. soit une suite arithmétique notée « u » ou « (u

) » de raison notée « r = 5 » où le

1

terme est noté u

avec u

= 10

(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :

10

1er

u

b b b b b b b b b b b b

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

(b) remarque :

si le premier terme s’appelle u

et la raison r alors on a la formule explicite pour calculer directement u

en fonction de u

et r :

u

= ...

(c) soit u une suite arithmétique de 1

terme u

= 20 et de raison r = − 2 calculer le 1000

terme et donner son nom : 1000

terme = u

= ...

2. soit une suite arithmétique notée « u » ou « (u

) » de raison notée « r = 5 » où le

1

terme est noté u

avec u

= 10

(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :

10

1er

u

b b b b b b b b b b b b

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

(b) remarque :

si le premier terme s’appelle u

et la raison r alors on a la formule explicite pour calculer directement u

en fonction de u

et r :

u

= ...

(c) soit u une suite arithmétique de 1

terme u

= 20 et de raison r = − 2

calculer le 1000

terme et donner son nom : 1000

terme = u

= ...

activité 0 bis : (suite logique)

1. déterminer au moins deux termes suivants de la suite logique et compléter la phrase (a) − 8; − 5; − 2; 1; 4; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

(b) 11; 7; 3; − 1; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ajoute ...

(c) 2, 7; 4, 1; 5, 5; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

2. on dit que ces suites sont de nature ... car, pour passer d’un terme à l’autre, on : ...

3. la suite suivante est-elle arithmétique ? : 1; 3; 6; 10; 15; ...

activité 1 bis : (terme quelconque)

1. soit une suite arithmétique de premier terme 10 et de raison 5 (a) calculer le 2

le 3

et le 4

terme

2

terme = ...

3

terme = ...

5

terme = ...

(b) calculer le 10

terme : 10

terme = ...

(c) combien de fois ajouter 5 pour obtenir le 100

terme ? : ...

(d) combien de fois ajouter 5 pour obtenir le n

terme où n > 1 est un entier naturel ? : ...

(e) que remarque t-on ?

2. soit une suite arithmétique de 1

terme 20 et de raison − 2 calculer le 1000

terme : 1000

terme = ...

activité 2 bis : (noms des termes)

1. soit une suite arithmétique notée « u » ou « (u

) » et de raison notée « r = 2 » où le 1

terme est noté u

= 10

(a) comment est noté le 2

? le 3

? le 10

terme ? 2

terme = ...

3

terme = ...

10

terme = ...

(b) quel est le rang de u

? : ...

(c) exprimer chacun des termes précédents en fonction de u

et r 2

terme = ...

3

terme = ...

10

terme = ...

(d) que remarque t-on ? :

2. soit une suite arithmétique notée « u » ou « (u

) » et de raison notée « r = 2 » où le 1

terme est noté u

= 10

(a) comment est noté le 2

? le 3

? le 10

terme ? (b) quel est le rang de u

?

(c) exprimer chacun des termes précédents en fonction de u

et r

(d) que remarque t-on ?

activité 4 : Comparaison de suites

Votre travail consiste à choisir entre deux locaux à louer en fonction des contrats fixés par les loueurs, ceci afin de minimiser le coût de location pour le locataire pour une durée maximale de deux ans.

Deux tarifs sont au choix :

Tarif 1 : 800 e le premier mois puis augmentation du loyer de 25 e par mois Tarif 2 : 1200 e le premier mois puis baisse du loyer de 25 e par mois

1. On pose u

= 800 et on considère la suite u des montants des loyers pour le tarif 1 (a) préciser et justifier la nature de la suite u, donner son premier terme et sa raison (b) donner la formule de récurrence de u

en fonction de u

(c) calculer u

, u

, u

et u

et interpréter la valeur de u

(d) donner la formule explicite de u

en fonction de n

(e) résoudre l’inéquation u

≥ 1200 et interpréter le résultat (f) calculer S

= u

+ u

+ ... + u

et interpréter le résultat

2. On pose v

= 1200 et on considère la suite v des montants des loyers pour le tarif 2 (a) préciser et justifier la nature de la suite v, donner son premier terme et sa raison (b) donner la formule de récurrence de v

en fonction de v

(c) calculer v

, v

, v

et v

et interpréter la valeur de v

(d) donner la formule explicite de v

en fonction de n

(e) résoudre l’inéquation v

≤ 800 et interpréter le résultat (f) calculer S

= v

+ v

+ ... + v

et interpréter le résultat

3. pour quelle durée la mensualité est-elle la même pour les deux loyers ? 4. quel tarif (1 ou 2 ) conseiller à une entreprise qui a besoin d’un local

(a) pour 6 mois ? (b) pour 12 mois ?

(c) pour 18 mois ? (d) pour 24 mois ?

5. représenter graphiquement les deux suites dans le repère ci dessous et retrouver graphi- quement (tracés apparents) les résultats des questions 1.e. 2.e. et 3 ci dessus

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 n 6. à partir de quelle durée, le tarif 2 devient-il plus avantageux que le 1 ? (méthode libre)

( aide : exprimer S

= u

+ ... + u

et S

= v

+ ... + v

en fonction de n et comparer S

et S

)

3.1.2 corrigés activités

corrigé activité 4 : Comparaison de suites

1. On pose u

= 800 et on considère la suite u des montants des loyers pour le tarif 1 (a) la suite u est de nature

arithmétique

car

pour passer d’un terme à l’autre on ajoute toujours le même nombre

✞

✝

☎

r = +25

appelé raison de la suite son

premier terme est 800

(b) formule de récurrence de

u

= u

+ r

donc

u

= u

+ 25

(c) u

= 800 + 25 =

825

u

= 825 + 25 =

850

(par récurrence) ou

u

= 800 + 25 × 2 =

850

(par calcul explicite) u

= 850 + 25 =

875

(par récurrence)

ou

u

= 800 + 25 × 3 =

875

(par calcul explicite) u

= 800 + 25 × 10 =

1025

(par calcul explicite)

ce qui signifie que Dans 10 mois le loyer du tarif 1 sera de 875 e

(d) formule explicite de u

en fonction de n, u

= 800 + 25 × n soit

u

= 25n + 800

(e) u

≥ 1200 pour n?

25n + 800 ≥ 1200 25n ≥ 1200 − 800 25n ≥ 400

n ≥ 400

✞

25

✝

☎

n ≥ 16

✞

✝

☎

Dans 16 mois, le loyer sera d’au moins 1200 e

(f) S

= u

+ u

+ ... + u

=

☛

✡

✟

✠

1

terme + dernier terme

2 × nombre de termes = u

+ u

2 × 12 avec







u

= 800

u

= 800 + 25 × 11 = 1075 nombre de termes = 12 soit S

= 800 + 1075

2 × 12 =

11250

✞

✝

☎

un total de 11250 e sont payés en loyers pour les 12 premiers mois

2. On pose v

= 1200 et on considère la suite v des montants des loyers pour le tarif 2 (a) la suite v est de nature

arithmétique

car

pour passer d’un terme à l’autre on ajoute toujours le même nombre

✞

✝

☎

r = +25

appelé raison de la suite son

premier terme est 1200

(b) formule de récurrence de

v

= v

+ r

donc

v

= v

− 25

(c) v

= 1200 − 25 =

1175

v

= 1175 − 25 =

1150

(par récurrence) ou

v

= 1200 − 25 × 2 =

1150

(par calcul explicite) v

= 1150 − 25 =

1125

(par récurrence)

ou

v

= 1200 − 25 × 3 =

1125

(par calcul explicite) v

= 1200 − 25 × 10 =

950

(par calcul explicite)

ce qui signifie que Dans 10 mois le loyer du tarif 2 sera de 950 e

(d) formule explicite de v

en fonction de n, v

= 1200 − 25 × n soit

v

= − 25n + 1200

(e) v

≤ 800 pour n?

− 25n + 1200 ≤ 800 25n ≤ 800 − 1200

− 25n ≤ − 400 n ≥ − 400

− 25

✞

✝

☎

n ≥ 16

✞

✝

☎

Dans 16 mois, le loyer sera de moins de 800 e

(f) S

= v

+ v

+ ... + v

=

☛

✡

✟

✠

1

terme + dernier terme

2 × nombre de termes = v

+ v

2 × 12 avec







v

= 1200

v

= 1200 − 25 × 11 = 925 nombre de termes = 12 soit S

= 1200 + 925

2 × 12 =

12750

✞

✝

☎

un total de 12750 e sont payés en loyers pour les 12 premiers mois

3. pour quelle durée la mensualité est-elle la même pour les deux loyers ? :

− 25n + 1200 = 25n + 800

− 25n − 25n = 800 − 1200 n = − 400

− 50 =

8 donc après 8 mois, les mensualités sont égales

4. quel tarif (1 ou 2 ) conseiller à une entreprise qui a besoin d’un local (a) pour 6 mois :

tarif 1 car 5175 < 6825

(b) pour 12 mois :

tarif 1 car 11250 < 12750

(c) pour 18 mois ?

tarif 2 car 18225 > 17775

(d) pour 24 mois ?

tarif 2 car 26100 > 21900

5. représenter graphiquement les deux suites dans le repère ci dessous et retrouver graphi- quement (tracés apparents) les résultats des questions 1.e. 2.e. et 3 ci dessus

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

b b b b b

bc bc bc bc bc

n 6. à partir de quelle durée, le tarif 2 devient-il plus avantageux que le 1 ? (méthode libre)

S

= u

+ ... + u

= 800 + 800 + 25n

2 × (n + 1) = 1600 + 25n

2 × (n + 1) S

= v

+ ... + v

= 1200 + 1200 − 25n

2 × (n + 1) = 2400 − 25n

2 × (n + 1) On utilise le tableau de valeurs de la calculatrice

n 15 16 17

S

15800 17000 18225

S

16200 17000 17775

comparaison de S

et S

S

< S

S

= S

S

> S

C’est donc

à partir d’une durée de 17 + 1 = 18 mois

de location que le tarif 2 devient plus avantageux que le tarif 1

3.1.3 à retenir

définition 4 : (suite arithmétique et formule de récurrence) quelle que soit la suite u de nombres réels :

u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u

⇐⇒ quel que soit n ∈ N :

u

− u

= r

⇐⇒ ∀ n ∈ N :

✍

☞

✌

u

= u

+ r

| {z }

f ormule de r´ecurrence

remarque :

la différence entre deux termes consécutifs quelconques de la suite est constante et reste égale à un nombre noté r et appelé raison de la suite

on dit aussi que "pour passer d’un terme à un autre, on ajoute toujours le même nombre"

appelé raison de la suite exemples :

i. − 7; − 4; − 1; 2; 5; 8; ...

est une suite arithmétique de raison r = 3 et de 1

terme − 7 car on passe d’un terme au suivant en ajoutant 3

ii. 17, 5; 15, 8; 14, 1; 12, 4; ...

est une suite arithmétique de raison r = − 1, 7 et de 1

terme 15, 8 car on passe d’un terme au suivant en ajoutant − 1, 7

propriété 1 : (suite arithmétique et formule explicite en fonction de n) quelle que soit la suite notée u ou (u

) de nombres réels :

si u est arithmétique de 1

terme noté

u

et de raison notée r alors u

= 1

terme + raison × (´ ecart entre 0 et n)

✝

☎

u

= u

+ nr

u

est le (n + 1)

terme où le terme après n variations

si u est arithmétique de 1

terme noté

u

et de raison notée r alors u

= 1

terme + raison × (´ ecart entre 1 et n)

✝

☎

u

= u

+ (n − 1)r

u

est le n

terme où le terme après n − 1 variations remarques :

i. l’écart entre deux nombre a et b avec a ≤ b est b − a

ii. si u est arithmétique de 1

terme noté u

et de raison notée r alors u

= 1

terme + raison × (´ ecart entre k et n) avec (n ≥ k) soit

✝

☎

u

= u

+ (n − k)r

exemples :

i. soit une suite arithmétique de 1

terme u

= 10 et de raison 1, 5 le n

terme en fonction de n est u

= u

+ (n − 1)r = 10 + 1, 5(n − 1) par exemple

u

= u

+ (100 − 1) × 1, 5 = 10 + 99 × 1, 5 = 158, 5

ii. soit une suite arithmétique de 1

terme u

= 10 et de raison 1, 5 le (n + 1)

terme en fonction de n est u

= u

+ nr = 10 + 1, 5n par exemple

u

= u

+ (100 − 0) × 1, 5 = 10 + 100 × 1, 5 = 160

3.1.4 exercices exercice 2 :

voici un graphique « corrigé » d’évolution des demandes et des places disponibles pour une certaine filière de BEP dans un département. ( la 1ère année est l’année 2001)

0 200 400 600

0 1 2 3 4 5 6 7 8

b b b b b

bc bc bc bc bc

n ef f ectif s

demandes

of f res 668

626 584

542 500

150 195

240 285

330

soient d

et p

les nombres respectifs de demandes et de places l’année 2000 + n où n est un nombre entier

1. les nombres de places et de demandes constituent des suites de quelles natures ? (jus- tifier), donner le premier terme et la raison

2. calculer d

et p

puis d

et p

3. donner les "formules de récurrence" d

en fonction de d

ainsi que p

en fonction de p

4. calculer d

et p

5. donner les "formules explicites" de d

et p

en fonction de n

6. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle la demande devrait atteindre 0 7. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle l’offre devrait atteindre 800 8. résoudre l’inéquation : d

< p

et en déduire l’année où la demande sera satisfaite

(vérifier graphiquement) exercice 3 :

en 2006, une personne place un capital C

= 1000 euros à t = 3% d’intérêts simples annuels cette personne ne touche plus à son compte par la suite

( « intérêts simples » signifie que : chaque année, les intérêts sont de t% du capital initial )

1. calculer les intérêts « I » annuels en euros 2. soit C

le montant du compte l’année 2006 + n

(a) calculer C

, C

, C

et C

(b) exprimer C

en fonction de C

et préciser la nature le 1er terme et la raison de la suite (C

)

(c) exprimer C

en fonction de n

(d) déterminer l’année à partir de laquelle le capital aura doublé

(e) calculer le capital à placer pour avoir 2000 euros après 10 ans avec t = 3%

(f) calculer le taux t pour avoir 2000 euros en 10 ans avec un capital initial de 1000

euros.

exercice 4 :

un bateau remorqueur est en train de ramener un iceberg de 1000 tonnes du pôle sud et cet iceberg fond en perdant 0, 65 tonnes par heure en moyenne

on note u

la masse de l’iceberg dans n heures ( n est un nombre entier )

1. préciser la nature de la suite numérique (u

), son premier terme u

et sa raison 2. déterminer la masse de l’iceberg après 10h puis 3 jours puis une semaine. (u

= ...) 3. exprimer la masse de l’iceberg dans n heures en fonction de n (u

= ...)

4. dans combien de temps la masse de l’iceberg passera t-elle sous les 600 tonnes ? ( conclusion en jours et heures à 1 heure prés )

exercice 5 :

à un péage autoroutier, un caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicules et a re- marqué qu’il enregistrait 6 véhicules par minute en moyenne

on note v

le nombre moyen de véhicules enregistrés par le caissier dans n minutes 1. préciser la nature de la suite numérique (v

), son premier terme v

et sa raison 2. déterminer le nombre de véhicules enregistrés par le caissier dans 3 heures. (v

= ...) 3. exprimer le nombre de véhicules enregistrés dans n minutes en fonction de n (v

= ...) 4. dans combien de temps le nombre de véhicules enregistrés dépassera t-il 2000 ? ( conclu-

sion en heures et minutes à 1 minute près ) exercice 6 :

la population d’une ville a cette année un effectif de 10000 habitants, et il est prévu un accroissement annuel absolu de la population de 1500 habitants par an

1. déterminer selon ces prévisions l’effectif de la population de la ville dans 1 an, dans 10 ans.

2. exprimer l’effectif de la population dans n années, noté P

3. déterminer le nombre d’années pour que la population dépasse 30000 habitants.

4. que devrait être l’accroissement annuel de la population pour que l’effectif de 30000 soit atteint dans 16 années.

5. une autre ville (Ville B ) avec un accroissement absolu annuel de 1500 atteindra les 30000 habitants dans 10 années, quel est alors l’effectif de la ville B aujourd’hui ? exercice 7 :

Monsieur X vient d’obtenir un prêt en s’engageant à en rembourser 70 euros ce mois puis 75 euros le mois prochain, puis 80 euros le mois suivant et ainsi de suite.

on note u

la somme remboursée dans n mois ( n entier )

1. Préciser la nature de la suite (u

) ainsi que son premier terme u

et sa raison 2. déterminer la mensualité remboursée dans 2 ans. (u

= ...)

3. exprimer la mensualité remboursée dans n mois en fonction de n(u

= ...)

4. déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les 120 euros

5. déterminer la somme totale remboursée en un an.

3.1.6 Q.C.M. suites arithmétiques sans somme des termes

Il n’y a q’une seule bonne réponse pour chaque question, trouvez la et justifiez par un calcul

Questions Réponses

1. Quelle suite est arithmétique ? 2 4 8 16 32 ...

640 320 160 80 40 ...

2,1 5,2 8,3 11,5 ...

20,9 18,7 16,5 14,3 ...

2.

Que vaut le 10

terme de la suite arithmétique ?

100 105 110 115 ...

150 50 145 45 3.

La suite u est arithmétique, u

= 100 et r = 10

que vaut u

?

300 290 310 4.

La suite u est arithmétique, u

= 200 et r = − 5

que vaut u

?

100 105 95 5.

La suite u est arithmétique, u

= 10 et r = 5

que vaut u

en fonction de n ?

u

= 10n + 5 u

= 5n + 10 u

= 10 × 5

u

= 5 × 10

6.

La suite u est arithmétique, u

= 10 et r = − 5

que vaut u

en fonction de n ?

u

= − 5n + 15 u

= − 5n + 10 u

= − 10n − 5 u

= 10n − 5

7.

La suite u est arithmétique, u

= 30 et r = 3

à partir de quelle valeur de n a t-on u

> 500 ?

n ≥ 156 n ≥ 157 n > 157

8.

La suite u est arithmétique, u

= 500 et r = − 8

à partir de quelle valeur de n a t-on u

< 100 ?

n ≥ 50 n ≤ 50 n ≥ 51

9.

La suite u est arithmétique, de premier terme 3 et de raison 4 quelle est la formule de récurrence de u

en fonction de u

?

u

= u

+ 3 u

= 3n + 4 u

= u

+ 4 u

= 4n + 3 10.

Quelle suite u est arithmétique, de premier terme -4 et de raison 5 ?

u

= u

+ 4

u

= u

− 4

u

= u

+ 5

u

= u

− 5

3.2 somme des termes

3.2.1 activité : somme des entiers

1. soit u, une suite arithmétique de 1

terme 1 et de raison 1 les 10 premiers termes sont alors : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 on cherche la valeur de la somme des 10 premiers termes, soit :

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 mais aussi S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 (a) en additionnant membre à membre les égalités précédentes, écrire 2S à l’aide d’un produit (b) en déduire la valeur de S

(c) procéder de même pour déterminer la somme des 100 premiers nombres entiers non nuls 2. soit u, une suite de 1

terme 10 et de raison 5

(a) écrire la somme des 6 premiers termes

(b) déterminer cette somme en utilisant la méthode précédente

(c) déterminer de même la somme des 100 premiers termes de cette suite.

3. comment faire pour trouver la somme des premiers termes d’ne suite arithmétique ? 3.2.2 à retenir

propriété 2 : (formule de la somme)

quelle que soit la suite notée u ou (u

) de nombres réels : si u est arithmétique de 1

terme noté

u

alors S = u

+u

+...+u

=

☛

✡

✟

✠

u

+ u

2 × (n + 1) =

☛

✡

✟

✠

premier + dernier

2 × (nombre de termes) S est la somme des n + 1 premiers termes

si u est arithmétique de 1

terme noté

u

alors S = u

+ ... + u

=

☛

✡

✟

✠

u

+ u

2 × n =

☛

✡

✟

✠

premier + dernier

2 × (nombre de termes) S est la somme des n premiers termes

remarques :

i. pour la somme S des n − k + 1 termes consécutifs de la suite arithmétique S = u

+ u

+ ... + u

avec n > k, on a aussi :

S = premier + dernier

2 × (nombre de termes) = u

+ u

2 × (n − k + 1) exemples :

i. soit une suite arithmétique de 1

terme u

= 10 et de raison 1, 5 S = u

+ u

+ ... + u

=?

u

= 10

u

= 10 + 1, 5 × 19 = 38, 5 donc S = u

+ u

2 × 20 = 10 + 38, 5

2 × 20 = 485 ii. soit une suite arithmétique de 1

terme u

= 10 et de raison 1, 5

S = u

+ u

+ ... + u

=?

u

= 10

u

= 10 + 1, 5 × 20 = 40 donc S = u

+ u

2 × 21 = 10 + 40

2 × 21 = 525 iii. soit une suite arithmétique de 1

terme u

= 10 et de raison 1, 5

S = u

+ u

+ ... + u

=?

u

= 10 + 1, 5 × 10 = 25

u

= 10 + 1, 5 × 20 = 40 donc S = u

+ u

2 × (20 − 10 + 1) = 25 + 40

2 × 11 = 357, 5

3.2.3 exercices exercice 8 :

calculer astucieusement la somme suivante en justifiant votre méthode 1. S = 2 + 22 + 42 + 62 + 82 + 102 + 122 + 142 + 162 + 182

2. S = 1600 + 1550 + 1500 + 1450 + 1400 + 1350 + 1300 + 1250 + 1200 + 1150 + 1100 exercice 9 :

on laisse tomber une pierre dans le vide :

elle parcourt 5 mètres la première seconde, 15 mètres la 2

seconde, 25 mètres la 3

, ...

soit une augmentation de la distance parcourue chaque seconde de 10 mètres par rapport à la distance précédente ( en fait sur terre c’est 9, 81m/s )

Soit d

la distance parcourue la n

seconde

1. donner les valeurs de : d

, d

, d

et d

et dire ce que représente d

2. exprimez d

en fonction de n

3. calculer la distance totale S

= d

+ d

+ . . . + d

parcourue pendant 10 secondes 4. calculer la distance S

totale parcourue pendant les 20 premières secondes.

5. montrer que la distance totale parcourue pour n secondes est S

= 5n

6. cette pierre met 4 secondes pour atteindre le fond d’un puits, quelle est la profondeur de ce puits ?

exercice 10 :

un sportif fait 2 tours de piste aujourd’hui puis 5 tours demain puis 8 tours après demain et ainsi de suite ...

soit u

le nombre de tours de piste effectué dans n jours ( le n

inclus) . 1. donner les valeurs de : u

, u

, u

et u

2. calculer le nombre de tours S

= u

+ u

+ . . . + u

parcourus pendant les 30 premiers jours.

exercice 11 :

une personne décide d’arrêter de fumer

Ce mois ci elle a dépensé 430 euros en tabac, chaque mois, elle diminue sa dépense en tabac de 7 euros.

Soit v

la dépense en tabac le n

jour avec v

= 430 1. donner les valeurs de v

et v

.

2. calculer la somme totale dépensée pour les 5 prochaines années ( 60 mois)

3.2.5 Q.C.M. suites arithmétiques avec somme des termes

Il n’y a q’une seule bonne réponse pour chaque question, trouvez la et justifiez par un calcul

Questions Réponses

1. Quelle suite est arithmétique ? 2 4 8 16 32 ...

2,1 5,2 8,3 11,4 ...

20,9 18,7 16,5 14,2 ...

2.

La suite u est arithmétique, u

= 100 et r = 8

que vaut u

?

252 260 268 3.

La suite u est arithmétique, u

= 100 et r = 8

que vaut u

?

352 260 268 4.

Que vaut le 20

terme de la suite arithmétique ?

200 205 210 215 ...

395 300 305 5.

La suite u est arithmétique, u

= 5 et r = 10

que vaut u

en fonction de n ?

u

= 10n + 5 u

= 5n + 10 u

= 10 × 5

6.

La suite u est arithmétique, u

= 5 et r = 10

que vaut u

en fonction de n ?

u

= 10n + 5 u

= 5n + 10 u

= 10n − 5

7.

La suite u est arithmétique, u

= 50 et r = 3

à partir de quelle valeur de n a t-on u

> 1000 ?

n ≥ 316 n ≥ 317 n > 317

8.

La suite u est arithmétique, u

= 1000 et r = − 5

à partir de quelle valeur de n a t-on u

< 200 ?

n ≥ 160 n ≤ 160 n ≥ 161

9.

La suite u est arithmétique, de premier terme 4 et de raison 3 quelle est la formule de récurrence de u

en fonction de u

?

u

= u

+ 3 u

= 3n + 4 u

= u

+ 4 10.

La suite u est arithmétique, u

= 5 et r = 20

que vaut S = u

+ ... + u

?

205 910 950 11.

La suite u est arithmétique, u

= 5 et r = 10

que vaut S = u

+ u

+ ... + u

?

100

50757, 5

51005

4 suites géométriques

4.1 suite des termes

4.1.1 activités

activité 0 : (suite logique)

1. déterminer au moins deux termes suivants de la suite logique et compléter la phrase (a) 0, 5; 1; 2; 4 ; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

(b) 128; 64; 32; 16; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

(c) 2; 1, 8; 1, 62; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

2. on dit que ces suites sont de natures ... car, pour passer d’un terme à l’autre, on : ...

3. la suite suivante est-elle géométrique ? (justifier) : 1; 2; 6; 12; 36; ...

activité 2 : (noms des termes, rangs des termes, ordinaux des termes et formule explicite pour calculer un terme quelconque)

1. soit une suite géométrique notée « u » ou « (u

) » de raison notée « q = 3 » où le

1

terme est noté u

avec u

= 10

(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :

10

1er

u

b b b b b b b b b b b b

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

(b) remarque :

si le premier terme s’appelle u

et la raison q alors on a la formule explicite pour calculer directement u

en fonction de u

et q :

u

= ...

(c) soit u une suite géométrique de 1

terme u

= 20 et de raison q = 1, 5 calculer le 20

terme et donner son nom : 20

terme = u

= ...

2. soit une suite arithmétique notée « u » ou « (u

) » de raison notée « q = 0, 8 » où le

1

terme est noté u

avec u

= 1000

(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :

1000

1er

u

b b b b b b b b b b b b

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

...

terme = u

= ...

(b) remarque :

si le premier terme s’appelle u

et la raison r alors on a la formule explicite pour calculer directement u

en fonction de u

et q :

u

= ...

(c) soit u une suite géométrique de 1

terme u

= 20000 et de raison q = 0, 7

calculer le 30

terme et donner son nom : 30

terme = u

= ...

activité 0 bis : (suite logique)

1. déterminer au moins deux termes suivants de la suite logique et compléter la phrase (a) 0, 5; 1; 2; 4; ...; ... pour passer d’une terme à l’autre, on ...

(b) 128; 64; 32; 16; ...; ... pour passer d’une terme à l’autre, on multiplie ...

(c) 2; 1, 8; ; 1, 62; 1, 458 pour passer d’une terme à l’autre, on ...

2. on dit que ces suites sont de nature ... car, pour passer d’une terme à l’autre, on : ...

3. la suite suivante est-elle géométrique ? : 1; 2; 6; 12; 36; ...

activité 1 bis : (terme quelconque)

1. soit une suite géométrique de premier terme 5 et de raison 10 (a) calculer le 2

le 3

et le 4

terme

2

terme = ...

3

terme = ...

5

terme = ...

(b) calculer le 10

terme : 10

terme = ...

(c) combien de fois multiplier par 10 pour obtenir le 100

terme ? : ...

(d) combien de fois multiplier par 10 pour obtenir le n

terme où n > 1 est un entier naturel ? : ...

(e) que remarque t-on ?

2. soit une suite géométrique de 1

terme 1000 et de raison 0, 2 calculer le 20

terme : 20

terme = ...

activité 2 bis : (noms des termes)

1. soit une suite géométrique notée « u » ou « (u

) » et de raison notée « q = 1, 1 » où le 1

terme est noté u

= 100

(a) comment est noté le 2

? le 3

? le 10

terme ? 2

terme = ...

3

terme = ...

10

terme = ...

(b) quel est le rang de u

? : ...

(c) exprimer chacun des termes précédents en fonction de u

et q 2

terme = ...

3

terme = ...

10

terme = ...

(d) que remarque t-on ? :

2. soit une suite géométrique notée « u » ou « (u

) » et de raison notée « q = 1, 1 » où le 1

terme est noté u

= 10

(a) comment est noté le 2

? le 3

? le 10

terme ? (b) quel est le rang de u

?

(c) exprimer chacun des termes précédents en fonction de u

et q

(d) que remarque t-on ?