Classe de Terminale S
1
LES SUITES NUMERIQUES
I) Activité n° 1 Suites arithmétiques ou Géométrique (voir activité suites numériques) Etude d’une Spirale formée de succession d’arc de cercles
Etude d’une Spirale formée de succession de segments perpendiculaires aux axes du repère.
II Convergence des suites monotones 1) Suites majorée, minorée, bornée
Une suite ( ) est majorée lorsqu'il existe un réel tel que pour tout entier naturel n , . Une suite ( ) est minorée lorsqu'il existe un réel tel que pour tout entier naturel n ,
Une suite
n n
n n
u M u M
u m m u
≤
≤ (un) est bornée lorsqu'elle est majorée et minorée : m≤un ≤M.
Exemples :
2
2 1 2
2
( 1) sin
ontrer que la suite définie par: , pour 1 est bornée.
ontrer que la suite définie par: 1, pour 1 est majorée par 2.
2 1
Montrer que est croissante, calculer lim 5
n n
n n
k
n n
M u n n
n
M u n
k u n
n
=
→+∞
− +
= ≥
= ≥
= + +
∑
1 0
, en déduire que 1 2.
5 Montrer par récurrence que la suite ( ) est bornée: 6 0.
n n
n n n
u u
u u + u avec u
≤ ≤
= + =
2) Suites monotones
1
Soit ( ) une suite numérique
( ) est croissante si pour tout entier naturel n, ou à partir d'un certain rang, on a: . ( ) est décroissante si pour tout entier naturel n, ou à partir d'un certa
n
n n n
n
u
u u u
u
≤ +
in rang, on a: 1. La suite ( ) est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.
n n
n
u u u
≥ +
3) Suites convergentes
Une suite ( ) est convergente si sa limite est un nombre fini .
Une suite ( ) est divergente si sa limite est infini ou si elle n'admet pas de limite.
n n
u u
Propriétés : Les théorèmes concernant les limites des fonctions en + ∞ s'appliquent aux suites numériques.
4) Théorèmes de comparaison :
Si pour tout entier ou à partir d'un certains rang, et si ( ) et ( ) convergent vers , alors la suite ( ) converge aussi vers .
Si pour tout entier ou à partir d'un certains rang,
n n n n n
n
n
n v u w v w l
u l
n v u
≤ ≤
≤ et lim , alors lim .
Si pour tout entier ou à partir d'un certains rang, et lim , alors lim .
n x n x n
n n n n
x x
v u
n v u u v
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
= +∞ = +∞
≤ = −∞ = −∞
5) Suite récurrente
1 0
Soit une fonction continue, ( ) une suite numérique définie par la relation de récurrence ( ) et la donnée de .
Si la suite ( ) converge vers un réel , alors la suite ( ) converge vers
n
n n
n n
f u
u f u u
u l f u f
+ =
( ).
Le réel vérifie l'équation ( ).(on dit que est un point fixe de la fonction ) l
l l= f l l f
6) Théorème (admis) : convergence des suites monotones
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
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TP : Etude des suites récurrentes définies par leur premier terme et les relations : un+1 = f u( n)
un+1 =aun+b III) Suites adjacentes
1) Définition
Soit ( ) et ( ) deux suites numériques.
( ) et ( ) sont dites adjacentes si: ( ) est croissante, ( ) est décroissante
n n
n n n
n
u v
u v u
v
•
•
La suite ( n n) est positive et lim ( n n) 0
v u x v u
• − →+∞ − =
2) Théorème : Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.
Démonstration :
1 1 1
1
Soit ( ) et ( ) deux suites adjacentes avec ( ) croissante, ( ) décroissante et lim ( ) 0.
Montrons que 0 :
Considérons la suite de finie par .
( ) (
n n n n n n n
n n
n n n
n n n n n n
n n
u v u v v u
v u
w v u
w w v u v u
u u
→+∞
+ + +
+
− =
− ≥
= −
− = − − +
= − + 1
1 1
1
)
( ) étant croissante alors 0. étant décroissante, 0
on a : 0 donc ( ) est donc décroissante, comme elle converge vers 0, on en déduit que tous ses termes sont
n n
n n n n n n
n n n
v v
u u u v v v
ainsi w w w
+
+ +
+
−
− ≤ − ≤
− ≤
0 0
0 0 0 0
0 0
positifs.
donc on a 0 .
Montrons que ( ) et ( ) convergent.
( ) est croissante , de même, ( ) est décroissante
d'où et
, ( ) est majorée par ,
n n n n n
n n
n n n n
n n n n
n n
w v u u v
u v
u u u v v v
u u v v u v u v
u v u v
= − ≥ ⇔ ≤
⇒ ≤ ⇒ ≤
≤ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
≤
0 0
comme elle est croissante elle converge vers . , ( ) est minorée par , comme elle est décroissante elle converge vers '.
or lim ( ) 0 ' 0 '.
Donc les deux suites ont la même limite.
n n
n n
n
l
u v v u l
v u l l l l
→+∞
≤
− = ⇔ − = ⇔ =
3) Propriété :
Tout nombre réel, peut être encadrer par les termes successifs de deux suites ( ) et ( ), avec ( ) une suite croissante, ( ) une suite décroissante et 10 .
est la limite commune des des
n n
n
n n n n
l a b
a b b a
l
− = −
deux suites adjacentes (an) et ( ).bn
