TP INF
O1re
SUITES NUMÉRIQUES LA SPIRALE
Objectif de la séance :
Construire une spirale et calculer sa longueur.
Construction de la spirale :
Ouvrir un nouveau fichierGeoGebra. Reproduire les étapes suivantes :
1. Faire apparaître les axes et la grille. Construire le carré ABCD de 4 unités de côté avec l’outil Polygone régulier (placer les points A et B et indiquer le nombre de côtés) . 2. Construire ensuite - avec le même outil - les quatre carrés suivants. Zoomer pour faire
apparaître une grille suffisamment fine pour placer les points nécessaires . 3. Avec l’outil Arc de cercle tracer les arcs BD
_
, DF
_
etc. (Augmenter l’épaisseur du trait et modifier la couleur) .
tAppeler le professeur !
Calcul de la longueur de la spirale :
1. On note l1 la longueur du premier arc :
l1 = ≈
1 http://rallymaths.free.fr/
2. Calculer l2 puis exprimer l2 en fonction de l1 :
l2 = ≈ l2=
3. Exprimer ln+1 en fonction de lnpour tout n>1 : ln+1=
La suite (ln) est donc une suite
de premier termel1 = et de raisonq=
4. Calcul de la longueur L5 de la spirale au rang 5 : L5 =
5
X
k=1
lk= ≈
Vers l’infini et au delà !
1. Montrer que la longueur de la spirale au rang n est donnée par la formule : Ln=
n
X
k=1
lk= 4π
1− 1
2 n
2. Calculer L10 et L15 à 10−4 près :
L10≈ L15≈
3. Que se passe-t-il si le nombre d’arcs de cercle tend vers l’infini ?
2 http://rallymaths.free.fr/
