Suites numériques
DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE
Blaise Pascal
septembre 2016
« L’homme sage est celui qui connait ses limites. »
Harry Callahan "Magnum Force"
Sommaire
1. Comportement global d’une suite 1.1 Suites monotones
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
2. Limite d’une suite 2.1 Limite infinie 2.2 Limite finie
2.3 Convergence et divergence 2.4 Opérations sur les limites
Sommaire
1. Comportement global d’une suite 1.1 Suites monotones
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
2. Limite d’une suite 2.1 Limite infinie 2.2 Limite finie
2.3 Convergence et divergence 2.4 Opérations sur les limites
Définition 1
Soit(un)une suite de nombres réels. On dit que :
la suite(un)est croissante lorsque pour tout entiern,un 6un+1.
la suite(un)est décroissante lorsque pour tout entiern,un>un+1. la suite(un)est monotone lorsqu’elle ne change pas de variations : elle est soitcroissante soitdécroissante.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 1
Soit(un)une suite de nombres réels. On dit que :
la suite(un)est croissante lorsque pour tout entiern,un 6un+1.
la suite(un)est décroissante lorsque pour tout entiern,un>un+1. la suite(un)est monotone lorsqu’elle ne change pas de variations : elle est soitcroissante soitdécroissante.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 1
Soit(un)une suite de nombres réels. On dit que :
la suite(un)est croissante lorsque pour tout entiern,un 6un+1. la suite(un)est décroissante lorsque pour tout entiern,un>un+1.
la suite(un)est monotone lorsqu’elle ne change pas de variations : elle est soitcroissante soitdécroissante.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 1
Soit(un)une suite de nombres réels. On dit que :
la suite(un)est croissante lorsque pour tout entiern,un 6un+1. la suite(un)est décroissante lorsque pour tout entiern,un>un+1.
la suite(un)est monotone lorsqu’elle ne change pas de variations : elle est soitcroissante soitdécroissante.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 1
Soit(un)une suite de nombres réels. On dit que :
la suite(un)est croissante lorsque pour tout entiern,un 6un+1. la suite(un)est décroissante lorsque pour tout entiern,un>un+1. la suite(un)est monotone lorsqu’elle ne change pas de variations : elle est soitcroissante soitdécroissante.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 1
Soit(un)une suite de nombres réels. On dit que :
la suite(un)est croissante lorsque pour tout entiern,un 6un+1. la suite(un)est décroissante lorsque pour tout entiern,un>un+1. la suite(un)est monotone lorsqu’elle ne change pas de variations : elle est soit croissante soitdécroissante.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 1
Soit(un)une suite de nombres réels. On dit que :
la suite(un)est croissante lorsque pour tout entiern,un 6un+1. la suite(un)est décroissante lorsque pour tout entiern,un>un+1. la suite(un)est monotone lorsqu’elle ne change pas de variations : elle est soit croissante soit décroissante.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Méthode
Pour étudier le sens de variation d’une suite(un)on peut : étudier le signe de(un+1−un).
siun=f(n), étudier le sens de variation de la fonctionf sur[0 ; +∞[. si pour toutn∈Nun>0, comparer un+1
un
à 1.
conjecturer le sens de variation de la suite puis le démontrer par récurrence.
Méthode
Pour étudier le sens de variation d’une suite(un)on peut : étudier le signe de(un+1−un).
siun=f(n), étudier le sens de variation de la fonctionf sur[0 ; +∞[.
si pour toutn∈Nun>0, comparer un+1
un
à 1.
conjecturer le sens de variation de la suite puis le démontrer par récurrence.
Méthode
Pour étudier le sens de variation d’une suite(un)on peut : étudier le signe de(un+1−un).
siun=f(n), étudier le sens de variation de la fonctionf sur[0 ; +∞[.
si pour toutn∈Nun>0, comparer un+1
un
à 1.
conjecturer le sens de variation de la suite puis le démontrer par récurrence.
Méthode
Pour étudier le sens de variation d’une suite(un)on peut : étudier le signe de(un+1−un).
siun=f(n), étudier le sens de variation de la fonctionf sur[0 ; +∞[.
si pour toutn∈Nun>0, comparer un+1
un
à 1.
conjecturer le sens de variation de la suite puis le démontrer par récurrence.
Exercice 1
Étudier le sens de variation de chacune des suites définies pourn∈Nci-après :
1.
un = 2n2−n2.
vn=n+ cos(n)3.
wn= 3n+ (−1)nExercice 2
Soit(un)la suite définie paru0= 1et telle que pour tout entier natureln, un+1=√
2 +un.
1.
Démontrer que, pour toutn∈N,06un 6un+162.2.
Que peut-on en déduire ?Exercice 3
Justifier que la suite(un)définie pour toutn∈Nparun= (−1)n n’est pas monotone.
Exercice 1
Étudier le sens de variation de chacune des suites définies pourn∈Nci-après :
1.
un = 2n2−n2.
vn=n+ cos(n)3.
wn= 3n+ (−1)nExercice 2
Soit(un)la suite définie paru0= 1et telle que pour tout entier natureln, un+1=√
2 +un.
1.
Démontrer que, pour toutn∈N,06un 6un+162.2.
Que peut-on en déduire ?Exercice 3
Justifier que la suite(un)définie pour toutn∈Nparun= (−1)n n’est pas monotone.
Exercice 1
Étudier le sens de variation de chacune des suites définies pourn∈Nci-après :
1.
un = 2n2−n2.
vn=n+ cos(n)3.
wn= 3n+ (−1)nExercice 2
Soit(un)la suite définie paru0= 1et telle que pour tout entier natureln, un+1=√
2 +un.
1.
Démontrer que, pour toutn∈N,06un 6un+162.2.
Que peut-on en déduire ?Exercice 3
Justifier que la suite(un)définie pour toutn∈Nparun= (−1)n n’est pas monotone.
Sommaire
1. Comportement global d’une suite 1.1 Suites monotones
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
2. Limite d’une suite 2.1 Limite infinie 2.2 Limite finie
2.3 Convergence et divergence 2.4 Opérations sur les limites
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)estmajorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern, un6M.
la suite(un)estminorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern, un>m.
la suite(un)estbornée signifie qu’elle est la foismajorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)est majorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern, un6M.
la suite(un)estminorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern, un>m.
la suite(un)estbornée signifie qu’elle est la foismajorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)est majorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern,un6M.
la suite(un)estminorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern, un>m.
la suite(un)estbornée signifie qu’elle est la foismajorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)est majorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern, un6M.
la suite(un)estminorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern, un>m.
la suite(un)estbornée signifie qu’elle est la foismajorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O M
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)est majorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern, un6M.
la suite(un)estminorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern, un>m.
la suite(un)estbornée signifie qu’elle est la foismajorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)est majorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern, un6M.
la suite(un)est minorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern, un>m.
la suite(un)estbornée signifie qu’elle est la foismajorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)est majorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern, un6M.
la suite(un)est minorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern,un>m.
la suite(un)estbornée signifie qu’elle est la foismajorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)est majorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern, un6M.
la suite(un)est minorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern, un>m.
la suite(un)est bornée signifie qu’elle est la foismajorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O m
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)est majorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern, un6M.
la suite(un)est minorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern, un>m.
la suite(un)est bornée signifie qu’elle est la foismajorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
Définition 2
Soit(un)une suite de nombres réels. Dire que : la suite(un)est majorée signifie que :
il existe un réelM tel que pour tout entiern, un6M.
la suite(un)est minorée signifie que :
il existe un réelmtel que pour tout entiern, un>m.
la suite(un)est bornée signifie qu’elle est la fois majorée et minorée.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O m M
Exercice 4
Soit(un)la suite définie pourn>1 parun= 1 + 2
n. Montrer que(un)est bornée.
Exercice 5
Déterminer un majorant de la suite(un)définie pour toutn∈Npar un=
n
X
p=0
2 7
p
.
Exercice 6
Étudier les bornes éventuelles de la suite(un)définie pourn∈Npar un=n2−10n−3, et de la suite(vn)définie pourn∈Nparvn= 3n2
n2+ 1.
Exercice 4
Soit(un)la suite définie pourn>1 parun= 1 + 2
n. Montrer que(un)est bornée.
Exercice 5
Déterminer un majorant de la suite(un)définie pour toutn∈Npar un =
n
X
p=0
2 7
p
.
Exercice 6
Étudier les bornes éventuelles de la suite(un)définie pourn∈Npar un=n2−10n−3, et de la suite(vn)définie pourn∈Nparvn= 3n2
n2+ 1.
Exercice 4
Soit(un)la suite définie pourn>1 parun= 1 + 2
n. Montrer que(un)est bornée.
Exercice 5
Déterminer un majorant de la suite(un)définie pour toutn∈Npar un =
n
X
p=0
2 7
p
.
Exercice 6
Étudier les bornes éventuelles de la suite(un)définie pourn∈Npar un =n2−10n−3, et de la suite(vn)définie pourn∈Nparvn= 3n2
n2+ 1.
Sommaire
1. Comportement global d’une suite 1.1 Suites monotones
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
2. Limite d’une suite 2.1 Limite infinie 2.2 Limite finie
2.3 Convergence et divergence 2.4 Opérations sur les limites
Sommaire
1. Comportement global d’une suite 1.1 Suites monotones
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
2. Limite d’une suite 2.1 Limite infinie 2.2 Limite finie
2.3 Convergence et divergence 2.4 Opérations sur les limites
Idée
Le perchiste prodige : Quelle que soit la hauteur de la barre ( !), il finira par la franchir !
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O A
Idée
Le perchiste prodige : Quelle que soit la hauteur de la barre ( !), il finira par la franchir !
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O A
Idée
Le perchiste prodige : Quelle que soit la hauteur de la barre ( !), il finira par la franchir !
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O A
Idée
Le perchiste prodige : Quelle que soit la hauteur de la barre ( !), il finira par la franchir !
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O A
Définition 3
Dire qu’une suite de réels(un)tend vers+∞signifie que tout intervalle du type ]A; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rangN.
Autrement dit :
Pour toutA∈R, il existe un rang1N tel que, pour toutn>N,un > A.
Notation
Pour dire que(un)tend vers+∞, on note : lim
n→+∞un = +∞.
1. Ndépend deA.
Définition 3
Dire qu’une suite de réels(un)tend vers+∞signifie que tout intervalle du type ]A; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rangN.
Autrement dit :
Pour toutA∈R, il existe un rang1N tel que, pour toutn>N,un > A.
Notation
Pour dire que(un)tend vers+∞, on note : lim
n→+∞un = +∞.
1. Ndépend deA.
Définition 3
Dire qu’une suite de réels(un)tend vers+∞signifie que tout intervalle du type ]A; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rangN.
Autrement dit :
Pour toutA∈R, il existe un rang1N tel que, pour toutn>N,un > A.
Notation
Pour dire que(un)tend vers+∞, on note : lim
n→+∞un= +∞.
1. Ndépend deA.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 O
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 O
A
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 O
A
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 O
A0
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 O
A0
N0
Exercice 7
Soit(un)la suite définie pourn∈Nparun=n2.
1.
Démontrer que limn→+∞un= +∞.
2.
Écrire un algorithme qui, pour une valeurAentrée par l’utilisateur (A∈R+), trouve le plus petit entierN à partir duquelun> A.Propriété 1 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√n=+∞ lim
n→+∞n=+∞ lim
n→+∞n2=+∞
n→+∞lim nα=+∞ (α∈N∗)
Démonstration
À faire.
Exercice 8
Adapter la définition d’une limite infinie pour proposer une définition de
n→+∞lim un =−∞.
Propriété 1 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√n= +∞ lim
n→+∞n=+∞ lim
n→+∞n2=+∞
n→+∞lim nα=+∞ (α∈N∗)
Démonstration
À faire.
Exercice 8
Adapter la définition d’une limite infinie pour proposer une définition de
n→+∞lim un =−∞.
Propriété 1 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√n= +∞ lim
n→+∞n= +∞ lim
n→+∞n2=+∞
n→+∞lim nα=+∞ (α∈N∗)
Démonstration
À faire.
Exercice 8
Adapter la définition d’une limite infinie pour proposer une définition de
n→+∞lim un =−∞.
Propriété 1 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√n= +∞ lim
n→+∞n= +∞ lim
n→+∞n2= +∞
n→+∞lim nα=+∞ (α∈N∗)
Démonstration
À faire.
Exercice 8
Adapter la définition d’une limite infinie pour proposer une définition de
n→+∞lim un =−∞.
Propriété 1 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√n= +∞ lim
n→+∞n= +∞ lim
n→+∞n2= +∞
n→+∞lim nα= +∞ (α∈N∗)
Démonstration
À faire.
Exercice 8
Adapter la définition d’une limite infinie pour proposer une définition de
n→+∞lim un =−∞.
Propriété 1 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√n= +∞ lim
n→+∞n= +∞ lim
n→+∞n2= +∞
n→+∞lim nα= +∞ (α∈N∗)
Démonstration
À faire.
Exercice 8
Adapter la définition d’une limite infinie pour proposer une définition de
n→+∞lim un =−∞.
Propriété 1 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√n= +∞ lim
n→+∞n= +∞ lim
n→+∞n2= +∞
n→+∞lim nα= +∞ (α∈N∗)
Démonstration
À faire.
Exercice 8
Adapter la définition d’une limite infinie pour proposer une définition de
n→+∞lim un =−∞.
Sommaire
1. Comportement global d’une suite 1.1 Suites monotones
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
2. Limite d’une suite 2.1 Limite infinie 2.2 Limite finie
2.3 Convergence et divergence 2.4 Opérations sur les limites
Idée
La pêche au chalut : Les mailles du filet se resserrent autour des petits poissons qui ne pourront plus s’échapper.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O l
Définition 4
Dire qu’une suite de réels(un)tend vers un réell signifie que tout intervalle ouvertcontenantl contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang N. Autrement dit,
Quel que soitε >0, il existe un rangN tel que, pour toutn>N, un ∈
l−ε;l+ε .
Notation
Pour dire que(un)tend vers le nombrel, on note : lim
n→+∞un=l.
Définition 4
Dire qu’une suite de réels(un)tend vers un réell signifie que tout intervalle ouvertcontenantl contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang N. Autrement dit,
Quel que soitε >0, il existe un rangN tel que, pour toutn>N, un ∈
l−ε;l+ε .
Notation
Pour dire que(un)tend vers le nombrel, on note : lim
n→+∞un=l.
Définition 4
Dire qu’une suite de réels(un)tend vers un réell signifie que tout intervalle ouvertcontenantl contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang N. Autrement dit,
Quel que soitε >0, il existe un rangN tel que, pour toutn>N, un ∈
l−ε;l+ε .
Notation
Pour dire que(un)tend vers le nombrel, on note : lim
n→+∞un=l.
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
n un
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O l l−ε l+ε
N
Exercice 9
Considérons la suite(un)définie pourn∈N∗ parun= n+ 1 n .
1.
Conjecturer la limite éventuelle de la suite(un).2.
Démontrer ou infirmer cette conjecture.3.
Écrire un algorithme qui, pour une valeurrentrée par l’utilisateur (r∈R+∗), trouve le plus petit entierN à partir duquel(un)appartient à l’intervalle 1−r; 1 +r.
Propriété 2 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√1
n =0 lim
n→+∞
1
n =0 lim
n→+∞
1
n2 =0 lim
n→+∞
1
nα =0 (α∈N∗)
Propriété 2 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√1
n = 0 lim
n→+∞
1
n =0 lim
n→+∞
1
n2 =0 lim
n→+∞
1
nα =0 (α∈N∗)
Propriété 2 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√1
n = 0 lim
n→+∞
1
n = 0 lim
n→+∞
1
n2 =0 lim
n→+∞
1
nα =0 (α∈N∗)
Propriété 2 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√1
n = 0 lim
n→+∞
1
n = 0 lim
n→+∞
1
n2 = 0 lim
n→+∞
1
nα =0 (α∈N∗)
Propriété 2 (Limites à connaître)
n→+∞lim
√1
n = 0 lim
n→+∞
1
n = 0 lim
n→+∞
1
n2 = 0 lim
n→+∞
1
nα = 0 (α∈N∗)
Sommaire
1. Comportement global d’une suite 1.1 Suites monotones
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
2. Limite d’une suite 2.1 Limite infinie 2.2 Limite finie
2.3 Convergence et divergence 2.4 Opérations sur les limites
Définition 5
Une suite qui tend vers un réell fini estconvergente. Sinon elle estdivergente.
Remarque
Il y a donc deux sortes de suites divergentes :
celles qui tendent vers+∞ou−∞commeun=n2ouun=−n2.
celles qui n’ont pas de limite, commeun= (−1)n ouun = sin(n).
Définition 5
Une suite qui tend vers un réell fini est convergente . Sinon elle estdivergente.
Remarque
Il y a donc deux sortes de suites divergentes :
celles qui tendent vers+∞ou−∞commeun=n2ouun=−n2.
celles qui n’ont pas de limite, commeun= (−1)n ouun = sin(n).
Définition 5
Une suite qui tend vers un réell fini est convergente . Sinon elle est divergente .
Remarque
Il y a donc deux sortes de suites divergentes :
celles qui tendent vers+∞ou−∞commeun=n2ouun=−n2.
celles qui n’ont pas de limite, commeun= (−1)n ouun = sin(n).
Définition 5
Une suite qui tend vers un réell fini est convergente . Sinon elle est divergente .
Remarque
Il y a donc deux sortes de suites divergentes :
celles qui tendent vers+∞ou−∞commeun =n2ouun=−n2.
celles qui n’ont pas de limite, commeun= (−1)n ouun = sin(n).
Définition 5
Une suite qui tend vers un réell fini est convergente . Sinon elle est divergente .
Remarque
Il y a donc deux sortes de suites divergentes :
celles qui tendent vers+∞ou−∞commeun =n2ouun=−n2. celles qui n’ont pas de limite, commeun= (−1)n ouun = sin(n).
Théorème 1
Si une suite converge, alors sa limite est unique.
Démonstration
Supposons que la suite(un)ait deux limites distinctesl etl0 avecl > l0. On considère un réelε < l−l0
2 et on noteI=
l−ε;l+ε et J=
l0−ε;l0+ε .
On a alorsI∩J =∅carl−ε > l0+ε.
Or si(un)converge versl alors, il existe un réel N tel que, pour toutn > N, un∈I.
et si(un)converge aussi versl0 alors, il existe un réel N’ tel que, pour tout n > N0,un∈J.
Donc pour toutn > N etn > N0, un∈J etun∈J.
Ce qui est impossible puisqueI∩J =∅. L’hypothèse de départ était donc fausse.
Donc la limite est unique.
O
l0−ε l0+ε l0 I
l J l−ε l+ε
n
Exercice 10
Démontrer que si une suite est convergente, alors elle est bornée. La réciproque est-elle vraie ?
Sommaire
1. Comportement global d’une suite 1.1 Suites monotones
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
2. Limite d’une suite 2.1 Limite infinie 2.2 Limite finie
2.3 Convergence et divergence 2.4 Opérations sur les limites
Théorème 2 (Limite d’une somme)
Limite d’une somme
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un+vn)
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ Forme Indéterminée
Théorème 2 (Limite d’une somme)
Limite d’une somme
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un+vn)
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ Forme Indéterminée
Théorème 2 (Limite d’une somme)
Limite d’une somme
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un+vn)
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ Forme Indéterminée
Théorème 2 (Limite d’une somme)
Limite d’une somme
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un+vn)
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ Forme Indéterminée
Théorème 2 (Limite d’une somme)
Limite d’une somme
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un+vn)
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ Forme Indéterminée
Théorème 2 (Limite d’une somme)
Limite d’une somme
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un+vn)
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ Forme Indéterminée
Théorème 2 (Limite d’une somme)
Limite d’une somme
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un+vn)
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ Forme Indéterminée
Théorème 3 (Limite d’un produit)
Limite d’un produit
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un×vn)
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 3 (Limite d’un produit)
Limite d’un produit
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un×vn)
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 3 (Limite d’un produit)
Limite d’un produit
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un×vn)
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 3 (Limite d’un produit)
Limite d’un produit
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un×vn)
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 3 (Limite d’un produit)
Limite d’un produit
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞(un×vn)
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 4 (Limite d’un quotient)
Limite d’un quotient
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞
un
vn
l l0 6= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 4 (Limite d’un quotient)
Limite d’un quotient
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞
un
vn
l l0 6= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 4 (Limite d’un quotient)
Limite d’un quotient
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞
un
vn
l l0 6= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 4 (Limite d’un quotient)
Limite d’un quotient
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞
un
vn
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 4 (Limite d’un quotient)
Limite d’un quotient
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞
un
vn
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 4 (Limite d’un quotient)
Limite d’un quotient
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞
un
vn
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
Théorème 4 (Limite d’un quotient)
Limite d’un quotient
n→+∞lim un lim
n→+∞vn lim
n→+∞
un
vn
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
Exercice 11
Déterminer la limite éventuelle de chacune des suites définies ci-dessous surN:
1.
un =n2+ 3n−60;2.
vn= −5 2n+ 7;3.
wn= 1000n−n2;4.
sn= 5 + 2n 3 +n2;5.
tn =√n+ 1−√ n;
6.
xn =√n2+ 1−√ n
7.
yn=√n2+ 2−√
n2+n+ 2.
FIN
https://www.youtube.com/watch?v=CG2cux_6Rcw
