Suites numériques

(1)

Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/3 Terminale S

2015-2016 Activités

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Activités pages 14-15 – Corrigé

Activité 1

1. On a immédiatement, en remplaçant n par 1 :

P1 : « 1+ ≥ +a 1 a » Q1 : « 10¹−1 est divisible par 9 »

R1 : « 1 2 3

1 2 3

× = × × »

Les propriétés P₁, Q₁ et R₁ sont clairement vraies.

2. a. On a :

1

Pn₊ : «

(

¹⁺^a

)

ⁿ⁺¹^{≥ +}¹

(

ⁿ⁺¹

)

^a^»

1

Qn₊ : « 10ⁿ⁺¹−1 est divisible par 9 »

1

Rn₊ : «

( ) ( ) ( ) (

¹

) (

²

) (

³

)

1 2 2 3 ... 1 1 2

3

n n n

n n n n + × + × +

× + × + + × + + + × + = »

b. Supposons que P_n soit vraie. On a donc

(

¹⁺^a

)

ⁿ^{≥ +}¹ ^na^.

Comme a est un réel strictement positif, il en va de même pour 1+a et on obtient immédiatement :

(

¹⁺^a

)

ⁿ^{≥ +}¹ ^na^{⇔ +}

(

¹ ^a

) (

ⁿ^{× +}¹ ^a

) (

^{≥ +}¹ ^na

) (

^{× +}¹ ^a

) (

^{⇔ +}¹ ^a

)

ⁿ⁺¹^{≥ +}¹

(

ⁿ⁺¹

)

^a⁺^na²

Comme na²>0, il vient immédiatement :

(

¹⁺^a

)

ⁿ⁺¹^{≥ +}¹

(

ⁿ⁺¹

)

^a⁺^na²^{⇒ +}

(

¹ ^a

)

ⁿ⁺¹^{≥ +}¹

(

ⁿ⁺¹

)

^a

(en fait, on a plus précisément

(

¹⁺^a

)

ⁿ⁺¹^{> +}¹

(

ⁿ⁺¹

)

^a mais l’inégalité stricte entraîne l’inégalité large qui est la seule dont nous avons besoin)

Ainsi, la propriété est vraie au rang n+1.

Supposons maintenant que Q_n soit vraie. On a donc 10ⁿ−1 qui est divisible par 9.

On s’intéresse à 10ⁿ⁺¹−1.

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Il vient immédiatement :

( ) ( ) ( )

10ⁿ⁺1− =1 10 10× ⁿ− =1 10× 10ⁿ− + − =1 1 1 10× 10ⁿ− +1 10 1 10− = × 10ⁿ− +1 9 Comme on a supposé que 10ⁿ−1 était divisible par 9, il existe un entier naturel k tel que 10ⁿ− =1 9k. On a alors : ¹⁰ⁿ⁺¹^{− =}^{1 10}^×

(

¹⁰ⁿ^{− + =}¹

)

^{9 10 9}^× ^k^{+ = ×}⁹ ⁹

(

¹⁰^k⁺¹

)

^.

Ainsi 10ⁿ⁺¹−1 est divisible par 9.

Supposons enfin que la propriété R_n soit vraie. On a donc :

( ) (

¹

) (

²

)

1 2 2 3 ... 1

3

n n n

n n × + × +

× + × + + × + =

Intéressons-nous maintenant au produit : 1 2 2 3 ...× + × + + × + + + × +n

(

n 1

) (

n 1

) (

n 2

)

. Comme R_n est supposée vraie, on a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2 2 3 ... 1 1 2 1 2

3

1 2 1

3

1 2 3

3

1 2 3

3

n n n

n n n n n n

n n n

× + × +

× + × + + × + + + × + = + + × +

⎛ ⎞

= + × + ×⎜⎝ + ⎟⎠

= + × + × +

+ × + × +

=

Ainsi, la propriété R_n₊₁ est vraie.

Activité 4

1. a. L’algorithme proposé affiche la plus petite valeur de n pour laquelle on a 1₂ ³ n 10

< − . En l’implémentant sur une calculatrice, on obtient n=32.

A titre de vérification : 1₂ ³ ³ 1, 04 10 10 31

− −

× >

et 1₂ 1₁₀ 1 1 ³ 32 2 1 024 1 000 10

= = < = − .

b. Dans cette question, on cherche la plus petite valeur de N à partir de laquelle la suite

( )

un prend des valeurs strictement inférieures à 10⁻⁶. Par rapport à la situation précédente, il suffit donc de remplacer 10⁻³ par 10⁻⁶ dans l’algorithme.

c. Notons d’abord que pour tout entier naturel n non nul, on a immédiatement : 1₂ n >0. Soit maintenant ε un réel strictement positif.

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On a, en tenant compte du fait que la fonction racine carrée est strictement croissante sur

\+ : 1₂ ² 1 1 1

un n n

ε n ε

ε ε ε

< ⇔ < ⇔ > ⇔ > = . Il suffit donc de choisir 1

N ^> ε pour avoir u_n <ε pour tout entier naturel n tel que n≥N. Plus précisément, on peut choisir pour N (mais ce n’est pas une obligation !) le plus petit entier naturel strictement supérieur à 1

ε . Comme on a 1 1 1

E E 1

ε ε ε

⎛ ⎞≤ < ⎛ ⎞+

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , ce plus

petit entier est simplement 1

E 1

ε

⎛ ⎞ +

⎜ ⎟

⎝ ⎠ (pour rappel : 1

E ε

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ désigne la partie entière du réel 1

ε ^).

2. Remarquons d’abord que l’on a, pour tout entier naturel n non nul : 1 n >0.

On a ensuite, en tenant compte du fait que la fonction carrée est strictement croissante sur

\+ :

1 1 1 2 1

vn n n

ε n ε

ε ^{⎛ ⎞}ε ε

< ⇔ < ⇔ > ⇔ >⎜ ⎟⎝ ⎠ = . En choisissant cette fois 1

E 1

N ε

= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+ , il vient : n≥N⇒ <0 v_n<ε. On en déduit : lim _n 0

n v

→+∞ = .