Suites numériques

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Première 6 S – 2007/2008 Exercices – 7

Suites numériques

Exercice 1 Les nombres triangulaires

Les disciples de Pythagore (

vi^e

siècle av. J.-C.) vénéraient les nombres entiers.

Leur symbole, la « Tetraktys » représentait le « Dix Divin ».

Dix est en fait le 4

^e

nombre de la « collection » des nombres triangulaires :

T

1

= 1 T

2

= 3 T

3

= 6 T

4

= 10 1/ a) Représenter le 5

^e

nombre triangulaire noté T

5

et donner sa valeur.

b) Peut-on déterminer aussi facilement le 100

^e

nombre noté T

100

?

c) Pour étudier les propriétés de ces nombres, les pythagoriciens utilisaient des procédés géométriques : à l’aide du diagramme ci-contre, déterminer 2

×

T

5

et retrouver la valeur de T

5

.

2/ Plus généralement, appelons T

_n

le n

^e

nombre triangulaire. La juxtaposition de deux triangles rectangles isocèles représentant T

n

donne un rectangle.

a) Indiquer le nombre de lignes et de colonnes de ce rectangle.

b) En déduire l’expression de T

_n

en fonction de n.

3/ Exprimer T

_n+1

, T

_n+1−

T

_n

, T

_n+1

T

_n

en fonction de n.

4/ a) Donner la valeur de T

100

. Quelle est la somme des n premiers entiers naturels non nuls ?

b) Calculer la somme S des 1000 premiers entiers naturels non nuls.

• À chaque entier n

>

1, on associe un nombre triangulaire noté T

_n

: on dit que T ou (T

n

)

n>1

est une suite numérique.

• Les nombres T

1

, T

2

, T

3

,... sont les termes de la suite.

• La relation T

_n

= n(n + 1)

2 permet de calculer directement T

_n

en fonction de n. On dit que T est définie sous forme fonctionnelle.

Exercice 2 Approcher

√

2 On désire approcher

√

2 par des nombres rationnels.

1/ a) Vérifier l’égalité suivante :

√

2 = 1 + 1 1 +

√

2 b) En déduire les égalités :

√

2 = 1 + 1

2 + 1

1 +

√

2 et

√

2 = 1 + 1

2 + 1

1 +

√

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Première 6 S – 2007/2008 Exercices – 7

On pourrait alors être tenté d’écrire :

√

2 = 1 + 1

2 + 1

2 + . . . Mais il faudrait donner un sens à cette écriture...

2/ Pour approcher ce nombre à l’aide de rationnels, on définit les nombres suivants : F

1

= 1 ; F

2

= 1 + 1

2 ; F

3

= 1 + 1 2 + 1

2 ; F

4

= 1 + 1 2 + 1

2 + 1 2 a) Simplifier chacune des fractions précédentes.

b) Écrire, de la même manière, F

5

et F

6

.

c) Pour calculer plus rapidement ces nombres, il peut être utile de remarquer que chacun se calcule à partir de celui qui le précède.

Vérifier que : F

2

= 1 + 1

1 + F

1

; F

3

= 1 + 1 1 + F

4

; F

4

= 1 + 1 1 + F

5

. d) Soit g la fonction définie sur [0; +

∞

[ par :

g(x) = 1 + 1 1 + x

Reprendre les égalité précédentes en utilisant la fonction g.

e) Écrire une relation liant F

_n+1

et F

_n

.

f) En partant F

1

, combien de fois faut-il appliquer g pour obtenir F

6

? F

10

? F

_n

? 3/ Les égalités du début de l’exercice suggèrent que F

_n

se rapproche de

√

2 quand n devient grand.

La touche « ANS » d’une calculatrice permet de récupérer le résultat du dernier calcul effectué. On peut donc, pour obtenir les différents termes, effectuer les calculs suivants :

Sur une Casio :

1 EXE

1 + 1 ÷ ( 1 + ^SHIFT

(

−

)

) EXE EXE EXE EXE EXE

...

Sur une T.I. :

1 ^ENTER

1 + 1 ÷ ( 1 + _2ND

(

−

)

) ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER

...

Que remarque-t-on ?

• On dit que la suite numérique (F

n

)

n>1

est définie par récurrence car chaque terme se calcule en fonction du précédent.

• On dit que (F

n

)

n>1

converge vers

√

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Première 6 S – 2007/2008 Exercices – 7

Exercice 3 Deux modes de génération Soit f la fonction définie sur [0; +

∞

[ par :

f (x) =

√

1 + x Partie A

Soit (u

n

) la suite définie pour tout entier n

>

1 par u

_n

= f (n).

1/ Donner les valeurs exactes des cinq premiers termes de la suite (u

n

).

2/ On a représenté ci-contre la courbe C

_f

d’équation y = f (x). Faire appa- raître sur le graphique les cinq premiers

termes de la suite.

¹ ² ³ ⁴ ⁵

1 2

O −→ı

−

→

Cf

Partie B

Soit (v

n

) la suite telle que :

(

v

1

= 1

v

_n+1

= f (v

n

) pour n

>

1 1/ Donner les valeurs exactes des cinq premiers termes de la suite (v

n

).

2/ On a représenté ci-contre la courbe C

_f

et la droite d d’équation y = x.

1 1

O −→ı

−

→

Cf

a) Placer le point A

1

(v

1

; f (v

1

)) c’est-à-dire (v

1

; v

2

).

b) Utiliser A

1

et la droite d pour placer le point B

2

(v

2

; v

2

).

c) Placer le point A

2

(v

2

; v

3

) puis le point B

3

(v

3

; v

3

). On fait ainsi apparaître les différents termes de la suite (v

n

) sur l’axe des abscisses.

3/ Résoudre l’équation f (x) = x.

4/ Vers quelle valeur semble converger la suite (v

n

) ?

Bien que les deux suites fassent intervenir la même fonction, elles sont très différentes car leur mode de génération est différent.

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